Файл: А. Б. Сергиенко минобрнауки россии санктПетербургский государственный электротехнический университет лэти им. В. И. Ульянова (Ленина) А. В. Петров а. Б. Сергиенко цифровая обработка сигналов лабораторный практикум.pdf

Ñàíêò-Ïåòåðáóðã
2018
ЦИФРОВАЯ
ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ
А. В. Петров, А. Б. Сергиенко

МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» им. В. И. Ульянова (Ленина)
А. В. ПЕТРОВ А. Б. СЕРГИЕНКО
ЦИФРОВАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ
Лабораторный практикум
Санкт-Петербург
Издательство СПбГЭТУ «ЛЭТИ»
2018

УДК 621.391
ББК 32.811.3
П30
Петров А. В., Сергиенко А. Б.
П30 Цифровая обработка сигналов: лабораторный практикум. СПб.: Изд-во
СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2018. 78 с.
ISBN 978-5-7629-2342-2
Представлено описание пяти компьютерных лабораторных работ, вы- полняемых при изучении курса «Цифровая обработка сигналов» в системе
MATLAB с использованием специализированного пакета расширения Signal
Processing Toolbox.
Предназначено для студентов факультета радиотехники и телекоммуни- каций, обучающихся по программам подготовки бакалавров по направлению
11.03.01 «Радиотехника», а также по программе подготовки специалистов по специальности 11.05.01 «Радиоэлектронные системы и комплексы».
УДК 621.391
ББК 32.811.3
Рецензенты: кафедра радиосистем и обработки сигналов Санкт-
Петербургского государственного университета телекоммуникаций им. проф.
М. А. Бонч-Бруевича; канд. техн. наук В. М. Москалев (Военно-космическая академия им. А. Ф. Можайского).
Утверждено редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия
ISBN 978-5-7629-2342-2

СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2018

3
1. ДИСКРЕТНЫЕ СИГНАЛЫ
1.1. Цели работы
• Знакомство со средой MATLAB.
• Формирование и построение графика кусочно-линейного дискретного сигнала.
• Расчет и построение графика спектра дискретного сигнала.
• Расчет и построение графика аналогового сигнала, восстановленного по дискретным отсчетам в соответствии с теоремой Котельникова.
1.2. Теоретические сведения
Дискретизация аналогового сигнала. Исходный физический сигнал
(напряжение, ток и т. д.) является непрерывной функцией времени s(t). Такие сигналы, определенные во все моменты времени, называют аналоговыми
(рис. 1.1, а). Последовательность чисел {x(k)}, представляющая сигнал при цифровой обработке, является дискретным рядом и не может полностью со- ответствовать аналоговому сигналу (рис. 1.1, б).
t
0
k
0
s(t)
x(k)
а
б
Рис. 1.1. Аналоговый (а) и дискретный (б) сигналы
Числа, составляющие последовательность {x(k)}, являются значениями сигнала в отдельные (дискретные) моменты времени и называются отсчета-
ми сигнала x(k). Как правило, отсчеты берутся через равные промежутки времени T, называемые периодом дискретизации (или интервалом, шагом дискретизации):
x(k) = s(kT).
(1.1)
Величина, обратная периоду дискретизации, называется частотой дис-
кретизации: F
д
= 1/T. Соответствующая ей круговая частота определяется следующим образом: ω
д
= 2π/T.

4
В общем случае представление сигнала набором дискретных отсчетов приводит к потере информации, так как мы ничего не знаем о поведении сиг- нала в промежутках между отсчетами. Однако существует класс аналоговых сигналов, для которых такой потери информации не происходит и которые могут быть точно восстановлены по значениям своих дискретных отсчетов.
Процесс преобразования аналогового сигнала в последовательность от- счетов называется дискретизацией, а результат такого преобразования —
дискретным сигналом.
Спектр дискретного сигнала. Преобразование Фурье (ПФ) позволяет вычислить спектральную плотность сигнала, представляющего собой непре- рывную функцию времени:
( )
( )
j t
S
s t e
dt
∞
− ω
−∞
ω =
∫
ɺ
(1.2)
ПФ — это взаимная корреляционная функция (ВКФ) при нулевом сдви- ге между сигналом и комплексными гармоническими колебаниями с разны- ми частотами. Поэтому спектр дискретного сигнала рассчитывается анало- гичным образом через ВКФ в дискретном времени:
( )
( )
j k
k
X
x k e
∞
− ω
=−∞
ω =
∑
ɶ
ɺ ɶ
,
(1.3) где ω
ɶ — нормированная частота. Она равна изменению фазы между сосед- ними отсчетами гармонического сигнала и измеряется в радианах на отсчет.
Из этой формулы видно главное свойство спектра любого дискретного сигнала: спектр является периодическим, его период равен 2π рад/отсчет (это значение соответствует нормированной частоте дискретизации: д
2
ω = π
ɶ
рад/отсчет):
(
2 )
( )
X
X
ω ± π =
ω
ɺ
ɺ
ɶ
ɶ .
Следует также обратить внимание на размерность спектральной функ- ции дискретного сигнала: она совпадает с размерностью отсчетов.
Установим связь между спектром дискретного сигнала и спектром ана- логового сигнала. Пусть значения
x
(
k
) являются отсчетами аналогового сиг- нала
s
(
t
), взятыми с периодом
T
(1.1). В этом случае спектр дискретного сиг- нала (см. (1.3)) связан со спектром аналогового сигнала (1.2) следующим об- разом:

5 д
1 2
( )
n
n
X
S
T
T
∞
=−∞
ω − π


ω =




∑
ɶ
ɺ
ɺ
ɶ
(1.4)
Таким образом, спектр дискретного сигнала представляет собой беско- нечный ряд сдвинутых копий спектра исходного непрерывного сигнала
s
(
t
)
(на рис. 1.2 изображен модуль спектра дискретного сигнала). Расстояние по частоте между соседними копиями спектра равно частоте дискретизации
ω
д
= 2π/
T
0
w д
/2
w
–w д
| ( )|
X w
–
/2
w д
w д
0
p w
–2p
–p
2p


Рис. 1.2. Модуль спектра дискретного сигнала
Характер спектра дискретного сигнала демонстрирует частотно- временную дуальность преобразования Фурье:
• периодический сигнал → дискретный спектр (ряд Фурье);
• периодический спектр → дискретный сигнал.
Формула (1.3) позволяет рассчитать спектр последовательности отсче- тов {
x
(
k
)}, никак не связывая эти отсчеты с аналоговым сигналом. Форму- ла (1.4) предполагает, что отсчеты {
x
(
k
)} получены путем дискретизации аналогового сигнала
s
(
t
), и показывает связь между спектрами дискретного и аналогового сигналов. Следует подчеркнуть, что эти 2 формулы дают одина- ковый результат.
Отсюда следует еще один важный факт. Соединить отсчеты {
x
(
k
)} для получения аналогового сигнала можно произвольным образом. В каждом случае аналоговый сигнал будет, разумеется, иметь свой спектр. Однако ре- зультат суммирования сдвинутых копий спектров по формуле (1.4) всегда будет одним и тем же, поскольку определяется только значениями дискрет- ных отсчетов {
x
(
k
)} = {
s
(
kT
)} и формулой (1.3).
Формула обратного преобразования Фурье в дискретном времени анало- гична формуле вычисления коэффициентов комплексного ряда Фурье:

6 1
( )
( )
2
j k
x k
X
e
d
π
ω
−π
=
ω
ω
π
∫
ɶ
ɺ ɶ
ɶ
Свойства преобразования Фурье в дискретном времени. Под свойст- вами ПФ подразумевается взаимное соответствие трансформаций сигналов и их спектров. Ниже перечислены основные свойства ПФ в дискретном времени.
Линейность. ПФ в дискретном времени, согласно определению (1.3), является линейной комбинацией отсчетов последовательности, поэтому оно подчиняется принципу суперпозиции:
1 2
( )
( )
( )
y k
ax k
bx k
=
+
↔
1 2
( )
( )
( )
Y
aX
bX
ω =
ω +
ω
ɺ
ɺ
ɺ
ɶ
ɶ
ɶ .
Задержка.
При задержке сигнала на
∆k
отсчетов амплитудный спектр не меняется, а фазовый спектр приобретает дополнительное слагаемое
k
−ω∆
ɶ
, линейно зависящее от частоты:
( )
(
)
y k
x k
k
=
− ∆
↔ ( )
( )
j
k
Y
X
e
− ω∆
ω =
ω
ɶ
ɺ
ɺ
ɶ
ɶ
Свертка.
Линейной свертке дискретных последовательностей соответ- ствует произведение их спектров:
1 2
( )
( )
(
)
n
y k
x n x k
n
∞
=−∞
=
−
∑
↔
1 2
( )
( )
( )
Y
X
X
ω =
ω
ω
ɺ
ɺ
ɺ
ɶ
ɶ
ɶ .
Чередование знаков сигнала.
Изменение знаков у элементов исходной последовательности с нечетными номерами приводит к сдвигу спектра сиг- нала по частоте на π рад/отсчет:
( )
( ) ( 1)
k
y k
x k
−
=
⋅ −
↔ ( )
(
)
Y
X
ω =
ω + π
ɺ
ɺ
ɶ
ɶ
Инвертирование последовательности во времени.
Инверсия последо- вательности отсчетов во времени соответствует инверсии спектра по частоте:
( )
(
)
y k
x
k
= −
↔ ( )
(
)
Y
X
ω =
−ω
ɺ
ɺ
ɶ
ɶ .
Вставка нулей.
Вставка
N
– 1 нулей между соседними элементами ис- ходной последовательности приводит к сужению спектра сигнала в
N
раз:
(
),
,
( )
где — любое целое число,
0,
,
x k N
k
Nm
y k
m
k
Nm
=

= 
≠

↔ ( )
(
)
Y
X N
ω =
ω
ɺ
ɺ
ɶ
ɶ .
Восстановление аналогового сигнала по теореме Котельникова. Ри- сунок 1.2 наглядно демонстрирует и способ восстановления непрерывного сигнала по дискретным отсчетам. Для этого необходимо пропустить дис-

7 кретный сигнал через идеальный фильтр нижних частот (ФНЧ) с частотой среза, равной половине частоты дискретизации. Амплитудно-частотная ха- рактеристика (АЧХ) такого фильтра показана на рис. 1.2 штриховой линией, а импульсная характеристика (ИХ) имеет форму sin(
) (
)
t T
t T
π
π
. Выходной сигнал (если сдвинутые копии спектра на рис. 1.2 не перекрываются, он бу- дет в точности совпадать с исходным аналоговым сигналом), таким образом, будет представлять собой сумму сдвинутых и умноженных на отсчеты сиг- нала копий ИХ идеального ФНЧ: sin
( )
(
)
k
t
kT
T
s t
s kT
t
kT
T
∞
=−∞
−


π




=
−
π
∑
(1.5)
Подводя итог сказанному, сформулируем
теорему Котельникова: лю- бой сигнал
s(t), спектр которого не содержит составляющих с частотами вы- ше некоторого значения в
в
2
f
ω = π , может быть без потерь информации пред- ставлен своими дискретными отсчетами {
s(kT)}, взятыми с интервалом T, удовлетворяющим следующему неравенству: в
в
1 2
T
f
π
<
=
ω
Восстановление исходного непрерывного сигнала s(t) по набору его дис- кретных отсчетов {s(kT)} производится по формуле (1.5).
1.3. Индивидуальное задание
В данной лабораторной работе рассматри- вается кусочно-линейный сигнал s(t), заданный параметрами U
k
, T
k
, k = 1…4, как показано на рис. 1.3.
При выполнении работы производится дискретизация данного сигнала с заданной час- тотой F
д
Параметры сигнала и используемая часто- та дискретизации являются индивидуальными для каждой бригады и выдаются преподавате- лем в виде табл. 1.1.
0
Т
1
Т
2
U
1
U
2
U
3
U
4
s t
( )
t
Рис. 1.3. Кусочно-линейный сигнал, исследуемый в работе

8
Таблица 1.1
U
1
, В
U
2
, В
U
3
, В
U
4
, В
T
1
, мс
T
2
, мс
F
д
, кГц
1.4. Указания к выполнению работы
1. Запуск MATLAB и знакомство с его средой.
Запустите программу
MATLAB (ее значок на рабочем столе имеет вид
). Откроется окно
MATLAB.
MATLAB — интерпретируемый язык программирования, позволяющий осуществлять вычисления как в интерактивном режиме, так и путем запуска программ (сценариев, scripts). Работа в интерактивном режиме сводится к на- бору в командной строке MATLAB необходимых команд (выполнение ко- манды производится после нажатия клавиши
Enter
), например:
>> A = sqrt(cos(pi/12)^2 + 1)
A =
1.3903
В результате выполнения данной команды будет создана переменная A со значением, равным
(
)
2
cos
12 1
π
+ .
• Создайте переменные для всех параметров сигнала (U
1
…U
4
, T
1
, T
2
) и частоты дискретизации F
д
Справка
Все созданные и хранящиеся на данный момент в памяти переменные ото- бражаются в рабочей области Workspace.
2. Формирование дискретного сигнала. MATLAB ориентирован на работу с векторами и матрицами. Используйте эти возможности для создания
вектора отсчетов заданного сигнала: x(k) = u(kT), где T = 1/F
д
— интервал дискретизации.
• Сформируйте вектор моментов времени взятия отсчетов.
Справка
Для создания векторов в виде арифметических прогрессий используется сим- вол двоеточия. Конструкция x1:dx:x2 означает создание равномерной по- следовательности чисел с первым элементом x1, шагом dx и конечным зна- чением, равным x2 или меньше его не более чем на dx. Если шаг последова- тельности равен единице, dx можно не указывать: x1:x2.

9
• Рассчитайте значения отсчетов первого линейного фрагмента сигнала
(u(t) = a
1
t + b
1
при t = 0…T
1
). Значения параметров a
1
и b
1
, а также диапазон используемых номеров элементов вектора моментов времени определите са- мостоятельно.
Справка
Для обращения к части элементов вектора нужно указать в круглых скобках
вектор номеров этих элементов. Чаще всего требуется обращение к одиноч- ному элементу (x(n)) или сплошному диапазону номеров (x(n1:n2)). Для ссылки на последний элемент можно использовать ключевое слово end.
Внимание!
В отличие от многих языков программирования, нумерация элементов в
MATLAB всегда начинается с единицы!
• Аналогичным образом рассчитайте значения отсчетов второго линей- ного фрагмента сигнала (u(t) = a
2
t + b
2
при t = T
1
…T
2
). Значения параметров
a
2
и b
2
, а также диапазон используемых номеров элементов вектора момен- тов времени определите самостоятельно.
Замечание
Если на момент взятия отсчета приходится скачок уровня аналогового сигна- ла, для целей данной работы значение дискретного отсчета может быть вы- брано произвольно в пределах диапазона скачка. Однако с теоретической точки зрения правильнее всего принять значение отсчета равным середине скачка (полусумме значений аналогового сигнала справа и слева от скачка).
• Постройте график дискретного сигнала, использовав сначала функ- цию plot, а затем функцию stem, чтобы сравнить результаты их работы.
Справка
Наиболее часто для построения графиков используется функция plot в форме plot(y) или plot(x, y) (в первом случае по горизонтали откла- дываются номера элементов вектора, во втором варианте строится зависи- мость y(x)). Параметры x и y должны быть векторами одинаковой длины.
Для построения графиков дискретных сигналов полезна функция stem, ко- торая имеет такой же синтаксис. Она строит графики в виде вертикальных
«стебельков».

10
3. Создание MATLAB-программы. Для дальнейшей работы необходи- мо превратить код, созданный в интерактивном режиме, в MATLAB- программу (сценарий, script). Для этого выполните следующее:
• Создайте (средствами Windows) папку для лабораторных работ вашей бригады. Место расположения этих папок указывает преподаватель.
• В окне MATLAB сделайте созданную папку бригады текущей папкой.
Для этого служит поле Current Folder в верхней части окна.
• В панели истории введенных команд (Command History) выделите команды, с помощью которых задавались параметры дискретного сигнала и производилось его формирование (выделение диапазона строк производится путем щелчка мышью при нажатой клавише Shift). Скопируйте выделенные команды в буфер обмена.
Справка
Если панель Command History отсутствует на экране, включите ее отобра- жение командой меню Desktop Command History.
• Создайте новый файл MATLAB-программы (самый левый значок
(New script) панели инструментов, команда меню File New Script или клавиши Ctrl + N) и вставьте программный код из буфера обмена.
• Сохраните файл, дав ему соответствующее имя.
Справка
Имена файлов в MATLAB фактически являются идентификаторами пере-
менных, поэтому на них налагаются ограничения. Допустимые символы: ла- тинские буквы, цифры, символ подчеркивания; первый символ — не цифра.

  1   2   3   4   5   6   7   8