Файл: А. Б. Сергиенко минобрнауки россии санктПетербургский государственный электротехнический университет лэти им. В. И. Ульянова (Ленина) А. В. Петров а. Б. Сергиенко цифровая обработка сигналов лабораторный практикум.pdf

60
5. ЭФФЕКТЫ КВАНТОВАНИЯ И ОКРУГЛЕНИЯ
5.1. Цели работы
• Исследование свойств шума квантования.
• Исследование влияния округления коэффициентов фильтра на его па- раметры.
• Исследование собственного шума цифрового фильтра.
5.2. Теоретические сведения
Форматы представления чисел. Система цифровой обработки сигна- лов представляет собой некое вычислительное устройство, числа в котором хранятся с использованием двоичной системы счисления. Для хранения каж- дого числа выделяется ограниченный объем памяти, а соответствие между содержимым этой памяти и числом называется форматом представления
чисел. Стандартными являются 2 варианта: форматы с фиксированной запя-
той (fixed point) и с плавающей запятой (floating point).
Независимо от используемого формата количество представимых чисел является конечным: с помощью K бит можно представить 2
K
различных чисел.
Название «формат с фиксированной запятой» означает, что в двоичном представлении дробного числа для хранения его целой и дробной частей от- ведено фиксированное число разрядов. Иными словами, запятая, разделяю- щая целую и дробную части в двоичном представлении числа, находится на
фиксированном месте. Часто формат с фиксированной запятой обозначают парой целых чисел: M.N, где M — число разрядов целой части числа (вклю- чая знак), а N — число разрядов дробной части.
Для расчета представляемого числа отдельные биты суммируются с ве- совыми коэффициентами, равными степеням двойки (для разрядов дробной части показатели степени являются отрицательными). Отрицательные числа хранятся с использованием дополнительного кода; это означает, что вес са- мого старшего (левого) разряда является отрицательным.
В качестве примера в табл. 5.1 показано, как выглядят двоичные пред- ставления некоторых чисел в формате 4.2.

61
Таблица 5.1
Вес двоичного разряда
−2 3
2 2
2 1
2 0
2
−1 2
−2
Представляемое число (формат 4.2)
0 0
0 0 .
0 0
0 0
0 0
0 .
0 1
2
−2
= 0.25 0
0 1
1 .
1 0
2 1
+ 2 0
+ 2
−1
= 3.5 0
1 1
1 .
1 1
2 2
+ 2 1
+ 2 0
+ 2
−1
+ 2
−2
= 7.75 1
0 0
0 .
0 0
−2 3
= −8 1
0 0
0 .
0 1
−2 3
+ 2
−2
= −7.75 1
1 1
1 .
1 0
−2 3
+ 2 2
+ 2 1
+ 2 0
+ 2
−1
= −0.5 1
1 1
1 .
1 1
−2 3
+ 2 2
+ 2 1
+ 2 0
+ 2
−1
+ 2
−2
= −0.25
Таблица 5.1 наглядно показывает основные черты форматов с фиксиро- ванной запятой:
• самые маленькие (по модулю) представимые числа равны ±2
−N
;
• шаг между соседними представимыми числами является фиксирован- ным, он равен 2
−N
;
• неотрицательным числам соответствует нулевое значение старшего бита, отрицательным — единичное;
• диапазон представимых чисел несимметричен: самое большое по мо- дулю отрицательное число равно −2
M−1
, а максимальное положительное —
на единицу младшего разряда меньше, чем 2
M−1
, оно равно 2
M−1
− 2
−N
Достоинствами формата с фиксированной запятой являются равномер- ность шага представимых чисел и простота реализации арифметических опе- раций; главный недостаток — ограниченный динамический диапазон. Дина- мическим диапазоном называют отношение между самым большим и самым малым по модулю (но отличным от нуля) числами, которые можно предста- вить с помощью данного формата. Для формата с фиксированной запятой это отношение равно 2
M+N−1
В формате с плавающей запятой используется экспоненциальное пред- ставление чисел: x = s ⋅ f ⋅ 2
e
, где s = ±1 — знак числа; f — мантисса (хранится в формате с фиксированной запятой); e — порядок (целое число). Благодаря экспоненциальному представлению этот формат обладает существенно большим динамическим диапазоном, чем формат с фиксированной запятой при том же общем числе бит для хранения числа. Однако платой за это явля- ется неравномерность ряда чисел и повышенная сложность реализации арифметических операций.

62
Наиболее серьезные проблемы, связанные с конечной точностью пред- ставления чисел, возникают при использовании форматов с фиксированной запятой, поэтому в данной лабораторной работе рассматриваются только они.
Шум квантования. Квантованием называется процесс преобразования истинных значений отсчетов сигнала в двоичные числа, имеющие конечное число разрядов. При представлении отсчетов дискретного сигнала в виде чи- сел с ограниченной разрядностью происходит их округление. Разность e(t) между исходным и округленным значениями называется шумом квантова-
ния: к
( )
( )
( )
e t
s t
s t
=
−
, где
s(t) — исходный сигнал; s
к
(t) — квантованный сигнал.
При равномерном квантовании значения шума квантования лежат в сле- дующих пределах:
( )
2 2
e t
∆
∆
−
≤
≤
, где
∆ — расстояние между соседними уровнями квантования, т. е. разность между ближайшими возможными значениями квантованного сигнала.
В большинстве случаев можно считать e(t) случайным процессом, имеющим равномерное распределение вероятности в указанных пределах.
Такой случайный процесс имеет нулевое среднее значение и дисперсию, рав- ную
2 12
∆
После дискретизации шум квантования представляет собой последова- тельность чисел
e
(
kT
), образующую
дискретный случайный процесс
. Во мно- гих случаях отсчеты этой последовательности можно считать некоррелиро- ванными друг с другом и статистически независимыми от квантуемого сиг- нала. Таким образом, шум квантования моделируется в виде аддитивного бе- лого шума с равномерным распределением.
Указанные предположения о свойствах шума квантования близки к ре- альности, если шаг уровней квантования ∆ достаточно мал — настолько, что квантованные значения соседних отсчетов сигнала в большинстве случаев различаются на
несколько
уровней квантования. Если же сигнал надолго «за- висает» между двумя уровнями, отсчеты шума квантования перестают быть некоррелированными, теряется при этом и их статистическая независимость от сигнала.

63
Равномерное квантование гарантирует, что
размах
шума квантования не будет превосходить величины шага квантования ∆ (за исключением тех слу- чаев, когда значение входного сигнала выходит за допустимые пределы). Од- нако если потребовать минимизации
среднеквадратического
значения шума квантования, оптимальный набор уровней квантования будет зависеть от ста- тистических свойств сигнала, а именно от плотности вероятности его мгно- венных значений. В этом случае интуитивно ясно, что уровни квантования должны располагаться плотнее друг к другу в областях тех значений, кото- рые сигнал принимает с большей вероятностью.
Эффекты квантования в цифровых фильтрах.
Шум квантования — не единственная проблема, связанная с конечной разрядностью используе- мых чисел. Так, неизбежное округление разнообразных коэффициентов, ис- пользуемых в алгоритмах цифровой обработки сигналов, приводит к тому, что параметры фильтров и других устройств отличаются от желаемых, при- чем возможны ситуации, когда эти отличия весьма существенны. Кроме того, из-за округления промежуточных результатов может происходить накопле- ние вычислительных погрешностей, также искажающих конечный результат.
Квантование коэффициентов цифровых фильтров. При практической реализации фильтров неизбежно возникает необходимость округления их ко-
эффициентов, так как они должны храниться с использованием заданного формата представления чисел. Из-за этого характеристики фильтра претерпе- вают искажения, величина которых зависит не только от погрешности пред- ставления коэффициентов, но и от исходных параметров фильтра и формы его построения.
В нерекурсивных фильтрах коэффициенты равны отсчетам импульсной характеристики и линейно связаны с комплексным коэффициентом передачи, поэтому малые искажения коэффициентов приводят к малым искажениям частотных характеристик, так что проблемы, связанные с округлением коэф- фициентов, проявляются редко. Однако, если фильтр должен иметь очень крутой спад АЧХ между полосами пропускания и задерживания, округление коэффициентов все же может привести к заметным искажениям частотных характеристик. Поэтому после округления коэффициентов следует обяза- тельно проконтролировать параметры фильтра, чтобы проверить, удовлетво- ряет ли он предъявляемым требованиям.
Значительно серьезнее округление коэффициентов сказывается на ха- рактеристиках рекурсивных фильтров, поскольку коэффициенты знаменателя

64 функции передачи связаны с импульсной и частотными характеристиками
нелинейно. Как правило, наибольшие искажения происходят в тех случаях, когда АЧХ фильтра имеет крутые скаты в переходных зонах между полосами пропускания и задерживания.
Масштабирование коэффициентов цифровых фильтров. При разра- ботке систем, работающих в реальном масштабе времени, для ускорения вы- числений часто используется формат с фиксированной запятой. В этом слу- чае может оказаться, что значения некоторых коэффициентов фильтров вы- ходят за пределы диапазона, представимого в выбранном формате. Для ре- шения данной проблемы прибегают к масштабированию фильтров. Наибо- лее часто коэффициенты приводят к диапазону [–1, 1].
При масштабировании цифрового фильтра все его коэффициенты де-
лятся на одну и ту же константу, и на нее же умножается рассчитанный вы- ходной сигнал. В качестве масштабирующего множителя удобно выбирать степень двойки, поскольку умножение на положительную степень двойки в формате с фиксированной запятой сводится к поразрядному сдвигу двоично- го представления числа влево.
На рис. 5.1 в качестве примера показаны исходный фильтр (а) и резуль- тат его масштабирования с коэффициентом 4 (б).
0 0059 0 0059 0 0053 3 0477
–3 8240 2 2926
–0 5523 0 0096 0 0053
z
–1
x( )
k
y( )
k
z
–1
z
–1
z
–1
z
–1
z
–1
z
–1
z
–1 0 00 5 1
0 00 13 0 00 3 1
0.7619
–
0 0.956 0.5731
–0.1381 0 00 24 0 00 3 1
z
–1
x( )
k
y( )
k
z
–1
z
–1
z
–1
z
–1
z
–1
z
–1
z
–1 4
а
б
Рис. 5.1. Схема фильтра до (
а) и после (б) масштабирования коэффициентов
Чем больше порядок фильтра, тем больше могут быть абсолютные зна- чения коэффициентов в его рекурсивной части без нарушения устойчивости фильтра. Поэтому, если фильтр высокого порядка реализуется «целиком» (без

65 разделения его на каскадно включенные секции), может оказаться, что самые маленькие (по модулю) коэффициенты из-за округления после масштабиро- вания потеряют несколько значащих цифр. Это может привести к сильному искажению характеристик фильтра. Реализация фильтра в виде каскадно включенных секций 2-го порядка значительно ослабляет эти искажения, так как в каждой отдельно взятой секции абсолютные значения коэффициентов рекурсивной части при выполнении условия устойчивости не могут превы- шать 2. Таким образом, в результате масштабирования и округления коэффи- циенты секций 2-го порядка потеряют не более одной значащей цифры.
На рис. 5.2 показан результат преобразования фильтра 4-го порядка, приведенного на рис. 5.1, в каскад из двух секций 2-го порядка. Видно, что значения всех коэффициентов по модулю не превышают 2.
0 0059 1.2 7 0 3 1.5401
–0.6422
z
–1
x( )
k
z
–1
z
–1
z
–1 1.5076
–0.8599
z
–1
y( )
k
z
–1
z
–1
z
–1
–0.2996
Рис. 5.2. Реализация фильтра в виде каскада секций 2-го порядка
Переполнение разрядной сетки в процессе вычислений. В процессе вычисления выходного сигнала фильтра производится множество операций умножения и сложения. При этом промежуточные результаты вычислений могут значительно превосходить окончательное значение и вызвать перепол- нение разрядной сетки вычислительного устройства.
Уменьшить вероятность переполнений можно, используя для хранения чисел формат с плавающей запятой, обладающий большим динамическим диапазоном, однако в этом случае возрастает сложность реализации арифме- тических операций. В любом случае разработанная система обработки сигна- лов должна тщательно тестироваться для обнаружения потенциальных про- блем, связанных с конечной точностью вычислений.
Округление промежуточных результатов вычислений. При реализа- ции различных алгоритмов обработки сигналов в процессе вычислений фор- мируется множество промежуточных результатов. Формат хранения этих ре- зультатов зачастую вынуждает округлять их, что приводит к появлению до-

66 полнительных погрешностей. Операции, при которых появляются эти по- грешности, зависят от способа представления чисел, используемого в вычис- лительном устройстве.
При использовании арифметики с фиксированной запятой операции сложения и вычитания не приводят к необходимости округления результа- тов — они могут вызвать лишь переполнение. Действительно, ведь количест- во знаков после запятой у результата сложения двух чисел, представленных в формате с фиксированной запятой, такое же, как было у слагаемых. А вот для представления целой части суммы может понадобиться больше разрядов, и, если их количество окажется недостаточным, возникнет переполнение.
В отличие от сложения, умножение чисел с фиксированной запятой при- водит к увеличению числа значащих цифр результата (по сравнению с со- множителями) и, следовательно, к необходимости округления. В качестве примера перемножим 2 числа, представленных в формате 4.2 (в верхней строке вычисления представлены в двоичной системе счисления, в ниж- ней — в десятичной):
0011.10 × 0111.11 = 011011.001,
3.5 × 7.75 = 27.125.
Точный результат содержит 3 двоичных разряда после запятой, поэтому он не может быть представлен в исходном формате 4.2 без округления. Число значащих цифр целой части тоже увеличилось и стало равно 5, при использо- вании исходного формата 4.2 это приведет к переполнению. В данном случае для отсутствия ошибок округления и переполнений результат необходимо хранить в формате 6.4.

Аналитическая модель собственного шума в фильтрах с фиксиро-
ванной запятой. Для статистического анализа ошибок округления, возни- кающих при выполнении вычислений с фиксированной запятой, в структур- ную схему фильтра вводятся эквивалентные источники шума, размещаемые в тех точках, где производится округление. Такими точками, как правило, яв- ляются выходы умножителей (ведь при сложении чисел с фиксированной за- пятой погрешностей не возникает). Предполагается, что эти источники обла- дают следующими свойствами:
• распределение вероятности генерируемых ими шумов является рав- номерным, ширина диапазона равномерного распределения равна единице младшего разряда используемого формата представления чисел;

67
• шумовые отсчеты, генерируемые источниками, являются некоррели- рованными, т. е. генерируется белый шум;
• шумы, генерируемые разными источниками, являются статистически независимыми;
• собственные шумы фильтра и обрабатываемый полезный сигнал так- же являются статистически независимыми.
Условия, при которых эти предположения близки к реальности, такие же, как и для выполнения аналогичных предположений о шумах квантования сигнала — сетка уровней равномерного квантования должна быть настолько частой, чтобы значение сигнала между соседними отсчетами изменялось на
несколько уровней.
Способ организации вычислений в фильтре определяется его структур- ной схемой, поэтому для фильтров, реализованных в разных формах, стати- стические свойства собственных шумов тоже будут разными. В качестве примера на рис. 5.3 показана структурная схема прямой формы реализации фильтра 2-го порядка, включающая источники собственных шумов.
b
1
b
2
b
0
–a
1
–a
2
x( )
k
y( )
k
n
b0
( )
k
n
b1
( )
k
n
b2
( )
k
n
a1
( )
k
n
a2
( )
k
z
–1
z
–1
z
–1
z
–1
Рис. 5.3. Фильтр 2-го порядка с эквивалентными источниками собственных шумов
Из рис. 5.3 видно, что в данном случае все 5 собственных шумов явля- ются слагаемыми общей суммы, формирующей выходной сигнал фильтра.
Таким образом, шум от любого источника проходит на выход только через рекурсивную часть фильтра, так что функция передачи для любого источни- ка шума оказывается равна
1 2
1 2
1
( )
1
n
H
z
a z
a z
−
−
=
+
+