Файл: А. Б. Сергиенко минобрнауки россии санктПетербургский государственный электротехнический университет лэти им. В. И. Ульянова (Ленина) А. В. Петров а. Б. Сергиенко цифровая обработка сигналов лабораторный практикум.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 18.01.2024
Просмотров: 244
Скачиваний: 12
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
51 0
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0 0.5 1
а
б
Рис. 4.3. Пульсации АЧХ при минимизации квадратической ошибки (а) и ЧХ при минимаксной оптимизации (б)
Минимаксная оптимизация.
При p = ∞ норма ошибки (4.3) равна мак- симальному абсолютному отклонению характеристики от заданной. Мини- мизация этой нормы, т. е. решение минимаксной (minimax) оптимизационной задачи
(
)
{ },{ }
max
( )
( )
( )
min
i
i
b
a
w
D
K
ω
ω
ω −
ω →
ɺ
ɺ
, приводит к тому, что упомянутое максимальное абсолютное отклонение дос- тигается на нескольких частотах. Таким образом, данный подход приводит к фильтрам с равномерными пульсациями АЧХ (рис. 4.3, б), что математиче- ски выражается следующим образом: pass pass stop stop
w
d
w
d
=
, где
w
pass и
w
stop
— значения кусочно-постоянной весовой функции
w
(
ω) в полосе пропускания и полосе задерживания соответственно;
d
pass
— макси- мальное отклонение АЧХ от заданной в полосе пропускания;
d
stop
— макси- мальное значение АЧХ в полосе задерживания.
Для нерекурсивных фильтров минимаксная задача может быть решена с помощью элегантного итерационного метода, основанного на чебышевской аппроксимации с использованием алгоритма многократной замены Ремеза.
Соответствующий алгоритм расчета применительно к синтезу дискретных фильтров разработан Парксом и Макклелланом и базируется на двух основ- ных положениях:
52
• максимальное абсолютное отклонение частотной характеристики от заданной наблюдается в экстремумах АЧХ, а также на граничных частотах полос пропускания и задерживания, причем знаки отклонения чередуются;
• значение частотной характеристики на фиксированной частоте линей-
но зависит от коэффициентов фильтра.
Таким образом, если известны значения частот (их называют экстре- мальными), на которых наблюдается максимальное отклонение частотной характеристики от заданной, то для нахождения коэффициентов фильтра до- статочно решить систему линейных уравнений.
Сущность алгоритма Паркса—Макклеллана заключается в итерацион- ном поиске экстремальных частот. После задания начального приближения циклически выполняются следующие действия:
• составляется и решается система линейных уравнений для нахожде- ния коэффициентов фильтра, дающих частотную характеристику, отклоне- ния которой от заданной имеют на экстремальных частотах одинаковый мо- дуль и чередующиеся знаки;
• рассчитывается частотная характеристика получившегося фильтра и определяются положения ее локальных экстремумов. В результате формиру- ется новый набор экстремальных частот.
Перечисленные шаги выполняются до тех пор, пока изменение экстре- мальных частот не станет меньше заданного порога.
Синтез с использованием окон
является субоптимальным методом и предназначен для синтеза нерекурсивных фильтров. Идея его очень проста.
Прежде всего задается желаемый комплексный коэффициент передачи в виде непрерывной функции, определенной в диапазоне частот от нуля до частоты
Найквиста (если синтезируется вещественный фильтр) или до частоты дис- кретизации (если проектируется комплексный фильтр). Обратное преобразо- вание Фурье этой характеристики, вычисленное с учетом ее периодического характера, даст бесконечную в обе стороны последовательность отсчетов импульсной характеристики. Для получения реализуемого нерекурсивного фильтра заданного порядка эта последовательность усекается — из нее вы- бирается центральный фрагмент нужной длины.
Простое усечение последовательности отсчетов импульсной характери- стики соответствует использованию прямоугольного окна. Из-за усечения первоначально заданная частотная характеристика искажается — она свора-
53 чивается со спектром окна. В результате появляются переходные полосы ме- жду областями пропускания и задерживания, наблюдаются колебания коэф- фициента передачи в полосах пропускания, а в полосах задерживания АЧХ, как правило, приобретает лепестковый характер.
Для ослабления перечисленных эффектов и прежде всего для уменьше- ния уровня лепестков в полосах задерживания усеченная импульсная харак- теристика умножается на весовую функцию (окно), плавно спадающую к краям.
Часто используемой на практике весовой функцией является окно Кай- зера, форма которого зависит от дополнительного параметра β. Существует эмпирическая формула, связывающая параметр β с уровнем подавления бо- ковых лепестков α (в дБ) при синтезе ФНЧ:
0,4 0,
21,
0,5842(
21)
0,07886(
21),
21 50,
0,1102(
8,7),
50.
α <
β =
α −
+
α −
≤ α ≤
α −
α >
Аналогично методу минимизации квадратической ошибки для оконного метода характерны неравномерные пульсации АЧХ, уровень которых возрас- тает вблизи переходной зоны (см. рис. 4.3,
а
). Однако в данном методе уров- ни пульсаций на краях полос пропускания и задерживания всегда примерно совпадают друг с другом.
4.3. Индивидуальное задание
Требования к синтезируемому фильтру являются индивидуальными для каждой бригады и выдаются преподавателем в виде табл. 4.1.
Таблица 4.1
Частота дискрети- зации
Граница по- лосы про- пускания
Граница по- лосы задер- живания
Допустимая неравно- мерность АЧХ в поло- се пропускания
Требуемое подавле- ние сигнала в полосе задерживания
F
д
, кГц
F
pass
, кГц
F
stop
, кГц
A
pass
, дБ
A
stop
, дБ
4.4. Указания к выполнению работы
Синтез фильтров выполняется с помощью графической среды Filter De-
sign and Analysis Tool, входящей в состав пакета расширения Signal Process-
ing Toolbox системы MATLAB.
54
1. Подготовка к началу работы. Запустите MATLAB и сделайте теку- щей папку вашей бригады.
Для запуска среды Filter Design and Analysis Tool наберите в главном окне MATLAB следующую команду:
fdatool
Появится окно среды Filter Design and Analysis Tool.
Переключатель Response Type (тип синтезируемой АЧХ) в процессе выполнения работы должен оставаться в положении по умолчанию — Low-
pass (ФНЧ).
2. Метод билинейного преобразования. Установите переключатель
Design Type (метод синтеза) в положение IIR (рекурсивные фильтры).
В выпадающем списке, расположенном справа от пункта IIR, выберите фильтр Баттерворта (Butterworth) и выполните следующие действия:
1. Установите переключатель Filter Order в положение автоматического определения порядка фильтра (Minimum Order).
2. В разделе Frequency Specifications задайте частоту дискретизации
(Fs) и граничные частоты полосы пропускания (Fpass) и задерживания
(Fstop). В выпадающем списке Units должны быть выбраны абсолютные единицы измерения частоты, удобные для ввода чисел (в Гц или кГц).
3. В разделе Magnitude Specifications задайте величину неравномерно- сти АЧХ в полосе пропускания (Apass) и подавление сигнала в полосе за- держивания (Astop). В выпадающем списке Units должен быть выбран вари- ант dB (децибелы).
4. Произведите синтез фильтра, щелкнув на кнопке Design Filter. Зане- сите порядок получившегося фильтра в табл. 4.2 (он отображается в строке
Order раздела Current Filter Information в левом верхнем углу окна среды
FDATool).
Таблица 4.2
Тип фильтра
Порядок фильтра
F
pass
, кГц
F
stop
, кГц
τ
min
, отсчеты
τ
max
, отсчеты
Баттерворта
Чебышева 1-го рода
Чебышева 2-го рода
Эллиптический
55 5. Сохраните в отчете графики АЧХ, ФЧХ, групповой задержки, им- пульсной характеристики и расположения нулей и полюсов.
Справка
Для переноса необходимых графиков в документ Word следует щелкнуть в панели инструментов среды FDATool на кнопке Full View Analysis или выбрать команду меню View Filter Visualization Tool. Откроется окно ви- зуализатора характеристик фильтров, в котором можно копировать графики в буфер обмена с помощью команды меню Edit Copy Figure.
6. По графику АЧХ определите реальные границы переходной зоны по- лучившегося фильтра, т. е. определите частоты F
pass и F
stop
(с точностью до
1 Гц), на которых коэффициент передачи в последний раз достигает значения
−A
pass
(в дБ) и в первый раз достигает значения −A
stop
(в дБ). Измерения производятся визуально, с использованием средств масштабирования графи- ка. Занесите результаты в табл. 4.2.
7. По графику групповой задержки (Group Delay Response) определите минимальную (τ
min
) и максимальную (τ
max
) величину задержки (в отсчетах), вносимой фильтром в полосе пропускания (т. е. в диапазоне частот 0…F
pass
).
Измерения производятся визуально, с использованием средств масштабиро- вания графика. Занесите результаты в табл. 4.2.
Повторите пункты 1–6 для оставшихся стандартных способов аппрок- симации прямоугольных АЧХ:
• фильтр Чебышева 1-го рода (Chebyshev Type I);
• фильтр Чебышева 2-го рода (Chebyshev Type II);
• эллиптический фильтр (фильтр Золотарева—Кауэра) (Elliptic).
3. Синтез с использованием окон. Установите переключатель Design
Method в положение FIR (нерекурсивный фильтр) и выберите метод синтеза с использованием окон (Window).
Задайте автоматический расчет порядка фильтра (переключатель Filter
Order в положении Minimum order) и убедитесь, что в разделах Frequency
Specifications и Magnitude Specifications указаны требуемые значения. В разделе Options будет автоматически выбрано окно Кайзера (Kaiser), так как только для него поддерживается автоматический выбор порядка фильтра.
Синтезируйте фильтр, занесите порядок получившегося фильтра в табл. 4.3 (он отображается в строке Order раздела Current Filter Informa-
56
tion в левом верхнем углу окна среды FDATool), сохраните для отчета гра- фики его АЧХ, импульсной характеристики и расположения нулей на ком- плексной плоскости.
Измерьте по графику АЧХ минимальный и максимальный коэффициен- ты передачи фильтра в полосе пропускания (K
p min и K
p max
), а также макси- мальный коэффициент передачи в полосе задерживания (K
s max
). Измерения производятся визуально, с использованием средств масштабирования графи- ка. Занесите результаты в табл. 4.3.
Таблица 4.3
Метод синтеза
Порядок фильтра
K
p min
, дБ
K
p max
, дБ
K
s max
, дБ
W
stop
Оконный
—
Минимаксный
Среднеквадратический
4. Синтез по минимаксному критерию (метод Ремеза). Установите переключатель Design Method в положение FIR (нерекурсивный фильтр) и выберите минимаксный метод синтеза (Equiripple).
Задайте автоматический расчет порядка фильтра (переключатель Filter
Order в положении Minimum order) и убедитесь, что в разделах Frequency
Specifications и Magnitude Specifications указаны требуемые значения.
Синтезируйте фильтр, занесите порядок получившегося фильтра в табл. 4.3 (он отображается в строке Order раздела Current Filter Informa-
tion в левом верхнем углу окна среды FDATool), сохраните для отчета гра- фики его АЧХ, импульсной характеристики и расположения нулей на ком- плексной плоскости.
Измерьте по графику АЧХ минимальный и максимальный коэффициен- ты передачи фильтра в полосе пропускания (K
p min и K
p max
), а также макси- мальный коэффициент передачи в полосе задерживания (K
s max
). Измерения производятся визуально, с использованием средств масштабирования графи- ка. Занесите результаты в табл. 4.3.
Задайте ручной выбор порядка фильтра (переключатель Filter Order в положении Specify order) и установите порядок фильтра, получившийся при автоматическом его выборе.
Постепенно увеличивая значение весового коэффициента для полосы задерживания (поле Wstop в разделе Magnitude Specifications) и синтезируя фильтр заново, добейтесь того, чтобы уровень боковых лепестков АЧХ удов-
57 летворял требованиям к подавлению сигнала в полосе задерживания (т. е. не превышал −A
stop
(в дБ)). Занесите найденное значение Wstop в табл. 4.3.
5. Синтез путем минимизации среднеквадратической ошибки. Уста- новите переключатель Design Method в положение FIR (нерекурсивный фильтр) и выберите метод синтеза по минимуму среднеквадратической ошибки (Least-squares).
Задайте ручное указание порядка фильтра (переключатель Filter Order в положении Specify order) и введите значение порядка фильтра, полученное ранее в п. 4 при автоматическом выборе порядка для минимаксного метода.
Убедитесь, что в разделах Frequency Specifications и Magnitude Specifi-
cations указаны требуемые значения. Синтезируйте фильтр.
Постепенно увеличивая значение весового коэффициента для полосы задерживания (поле Wstop в разделе Magnitude Specifications) и синтезируя фильтр заново, добейтесь того, чтобы уровень боковых лепестков АЧХ удов- летворял требованиям к подавлению сигнала в полосе задерживания (т. е. не превышал −A
stop
(в дБ)). Занесите найденное значение Wstop в табл. 4.3.
Сохраните в отчете графики АЧХ фильтра, его импульсной характери- стики и расположения нулей на комплексной плоскости.
Измерьте по графику АЧХ минимальный и максимальный коэффициен- ты передачи фильтра в полосе пропускания (K
p min и K
p max
), а также макси- мальный коэффициент передачи в полосе задерживания (K
s max
). Измерения производятся визуально, с использованием средств масштабирования графи- ка. Занесите результаты в табл. 4.3.
6. Сохранение результатов синтеза. В завершение работы сохраните сеанс среды FDATool командой меню File Save session или Save session as.
В сохраненном файле содержатся последние значения всех введенных во время работы параметров, что позволит при необходимости легко восстано- вить все полученные графики.
4.5. Содержание отчета
Отчет должен содержать:
• исходные данные в виде табл. 4.1;
• формулу (получить самостоятельно) и построенный по ней график импульсной характеристики идеального дискретного ФНЧ с частотой среза, равной границе полосы пропускания F
pass
;
58
• результаты измерений в виде заполненных табл. 4.2 и 4.3;
• перечисленные выше графики АЧХ, ФЧХ, групповой задержки, им- пульсных характеристик, расположения нулей/полюсов для синтезированных фильтров;
• выводы по результатам работы.
1 2 3 4 5 6 7 8
4.6. Контрольные вопросы
1. При сохранении всех требований к АЧХ синтезируемого ФНЧ (гра- ницы полос пропускания и задерживания, допустимые уровни пульсаций в полосах пропускания и задерживания) частоту дискретизации, на которой работает система, повысили в 2 раза. Что произойдет с требуемым порядком фильтра?
2. Как по графику АЧХ можно различить фильтры, синтезированные путем минимизации квадратической ошибки и минимаксным методом?
3. Чем отличаются параметры фильтров с симметричными (четная симметрия) импульсными характеристиками, у одного из которых в середине характеристики имеется один максимальный по величине отсчет, а у друго- го — два одинаковых отсчета максимального уровня?
4. Какие из синтезированных фильтров обеспечивают бесконечное за- тухание сигнала на частоте Найквиста и почему?
5. По графикам АЧХ определить, какими методами могли быть синте- зированы данные фильтры.
6. Почему не для всех применений можно использовать рекурсивные фильтры?
7. Можно ли в нерекурсивном фильтре получить нулевой коэффициент передачи на частоте Найквиста?
8. Почему именно минимаксный метод дал минимальный порядок фильтра при синтезе нерекурсивных фильтров?
9. При каких условиях фильтр Чебышева 2-го рода будет иметь нулевой коэффициент передачи на частоте Найквиста?
10. При каких условиях эллиптический фильтр будет иметь нулевой ко- эффициент передачи на частоте Найквиста?
11. Получить формулу для бесконечной ИХ идеального дискретного фильтра верхних частот (ФЧХ считать равной нулю на всех частотах).
59 12. Получить функцию передачи, структурную схему и ИХ дискретного фильтра, полученного билинейным преобразованием дифференцирующей
RC-цепочки.
13. При синтезе нерекурсивного ФНЧ по минимаксному критерию ис- пользуется весовая функция, равная единице в полосах пропускания и задер- живания и нулю в переходной зоне между ними. Как повлияет изменение ширины этой переходной зоны на величину пульсаций АЧХ получаемого фильтра?
14. Получить формулу для бесконечной ИХ комплексного фильтра с идеальной односторонней полосой пропускания с шириной, равной половине частоты Найквиста (коэффициент передачи равен единице на частотах от 0 до π/2 и нулю на отрицательных частотах от –π до 0 и на положительных ча- стотах от π/2 до +π).
15. Какие типы симметрии (I, II, III, IV) могут иметь нерекурсивные фильтры, синтезируемые в данной лабораторной работе?
16. Какими методами могли быть синтезированы эти 2 нерекурсивных фильтра: а) ФНЧ имеет пульсации, уровень которых как в полосе пропускания, так и в полосе задерживания возрастает при приближении к частоте среза; б) ФНЧ имеет пульсации, величина которых в пределах полосы пропус- кания и в пределах полосы задерживания постоянна (хотя их величина в этих двух полосах необязательно совпадает)?
17. Исходя из значений A
pass и A
stop
, вычислить теоретическое значение весового коэффициента w
stop для использования в минимаксном алгоритме синтеза (считать, что w
pass
= 1). Сопоставить его с экспериментально подоб- ранным значением.
18. Какое из требований — A
pass или A
stop
— является более жестким?
Проиллюстрируйте ответ результатами синтеза фильтра оконным методом.