Файл: А. Б. Сергиенко минобрнауки россии санктПетербургский государственный электротехнический университет лэти им. В. И. Ульянова (Ленина) А. В. Петров а. Б. Сергиенко цифровая обработка сигналов лабораторный практикум.pdf

18
2. ДИСКРЕТНЫЕ ФИЛЬТРЫ
2.1. Цели работы
• Пропускание дискретного сигнала через дискретный фильтр и полу- чение графика выходного сигнала.
• Анализ сигналов, проходящих через элементы памяти фильтра, при реализации фильтра в разных формах.
• Получение графиков характеристик фильтра с помощью среды визуа- лизации фильтров FVTool.
• Разложение функции передачи фильтра на простые дроби и получение аналитической формулы для импульсной характеристики фильтра.
2.2. Теоретические сведения
Алгоритм дискретной фильтрации. Дискретный фильтр — это произ- вольная система обработки дискретного сигнала, обладающая свойствами линейности и стационарности. Линейность означает, что выходная реакция на сумму сигналов равна сумме реакций на эти сигналы, поданные на вход по отдельности, а стационарность — что задержка входного сигнала приводит лишь к такой же задержке выходного сигнала, не меняя его формы.
Любой фильтр обладает определенной частотной характеристикой. Что- бы она была нетривиальной, т. е. чтобы коэффициент передачи фильтра на разных частотах был разным, выходной сигнал фильтра y(k) должен зависеть от нескольких отсчетов входного сигнала x(k). Таким образом, дискретный фильтр должен обладать памятью. Чтобы обеспечить линейность и стацио- нарность, производимые фильтром математические операции должны огра- ничиваться сложением и умножением на константы.
В общем случае дискретный фильтр суммирует (с весовыми коэффици- ентами) некоторое количество входных отсчетов (включая текущий) и неко- торое количество предыдущих выходных отсчетов:
0 1
1 2
( )
( )
(
1)
(
)
(
1)
(
2)
(
),
m
n
y k
b x k
b x k
b x k
m
a y k
a y k
a y k
n
=
+
− +
+
−
−
−
− −
−
−
−
−
…
…
(2.1) где
j
a
и
i
b
— вещественные коэффициенты. Данная формула называется ал-
горитмом дискретной фильтрации.

19
Способы описания дискретных систем. Дискретные системы могут описываться различными способами, которые рассмотрены далее.
Импульсная характеристика. Выходная реакция на единичный им- пульс
( )
k
δ
, определяемая при нулевых начальных условиях, называется им-
пульсной характеристикой
дискретной системы и обозначается
h
(
k
).
Знание импульсной характеристики позволяет проанализировать прохо- ждение через дискретную систему любого сигнала. Выходной сигнал пред- ставляет собой линейную комбинацию импульсных характеристик:
( )
( ) (
)
m
y k
x m h k
m
∞
=−∞
=
−
∑
Данная формула представляет собой
свертку
входного сигнала и им- пульсной характеристики фильтра.
Функция передачи.
Функция
H
(
z
), равная отношению
z
-преобразований выходного и входного сигналов и представляющая собой
z
-преобразование импульсной характеристики системы, называется
функцией передачи
или
системной функцией
дискретной системы:
1 2
0 1
2 1
2 0
1 2
( )
( )
( )
( )
1
m
k
m
n
k
n
b
b z
b z
b z
Y z
H z
h k z
X z
a z
a z
a z
−
−
−
∞
−
−
−
−
=
+
+
+
+
=
=
=
+
+
+
+
∑
…
…

20
Здесь
0
k
b
=
—
коэффициент усиления
,
i
z
—
нули
функции передачи,
i
p
—
полюсы
функции передачи. В точках нулей
( )
0
i
H z = , а в точках полю- сов
(
)
i
H p → ∞ .
В данном случае дискретная система описывается набором параметров
{ }
i
z , { }
i
p , k. Для вещественных систем нули функции передачи являются вещественными либо составляют комплексно-сопряженные пары. То же от- носится и к полюсам. Коэффициент усиления при этом всегда вещественный.
В случае комплексных систем никакие ограничения на значения рассматри- ваемых параметров не накладываются.
Установим связь между расположением нулей и полюсов функции пере- дачи на комплексной плоскости и формой амплитудно-частотной характери- стики (АЧХ) системы. Для этого учтем, что при изменении частоты ω
ɶ в (2.2) точка, изображающая аргумент функции передачи на комплексной плоско- сти, движется по единичной окружности: exp(
)
z
j
=
ωɶ (рис. 2.1).
1 1
0
–1
–1
Re z
Im z
Произведение этих комплексных чисел дает знаменатель коэффициента передачи
Произведение этих комплексных чисел дает числитель коэффициента передачи
Нули функции передачи
Полюсы функции передачи
Рис. 2.1. Влияние расположения нулей и полюсов на форму АЧХ дискретной системы
Следовательно, можно сформулировать следующие правила:
• когда точка exp(
)
z
j
=
ωɶ
находится вблизи одного из нулей
функции передачи
i
z
, соответствующая разность (
)
i
z
z
−
окажется малой по сравне- нию с другими, в результате чего АЧХ в данной области частот будет иметь
провал. Если нуль лежит на единичной окружности, АЧХ на соответствую- щей частоте будет иметь нулевое значение;
• когда точка exp(
)
z
j
=
ω
ɶ
находится вблизи одного из полюсов функции передачи
i
p , соответствующая разность (
)
i
z
p
−
окажется малой по сравне-

21 нию с другими, в результате чего АЧХ в данной области частот будет иметь
подъем. Если полюс лежит на единичной окружности, АЧХ на соответст- вующей частоте будет стремиться к бесконечности;
• чем ближе к единичной окружности расположен нуль (полюс), тем более выраженным будет соответствующий провал (подъем) АЧХ.
В качестве примера рассмотрим систему, имеющую пару полюсов, рав- ных 0.2
±
0.9j, и четыре нуля, два из которых (0.8
±
0.6j) расположены на единичной окружности, а еще два (–0.8
±
0.8j) — вблизи нее (см. рис. 2.1).
Согласно перечисленным ранее принципам, АЧХ этой системы должна иметь пик в районе частоты 0.45, нуль — в районе частоты 0.2 и провал — в районе частоты 0.75 (приведены значения частот, нормированные к частоте
Найквиста). На рис. 2.2 показан график АЧХ рассмотренной системы, кото- рый полностью подтверждает сделанные предположения.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0 5
10 15 20
Рис. 2.2. АЧХ системы подтверждает предсказания, сделанные исходя из расположения нулей и полюсов
Полюсы и вычеты. Представление дробно-рациональной функции пе- редачи в виде суммы простых дробей при отсутствии кратных корней у зна- менателя может быть записано следующим образом:
1
(
)
1 2
0 1
1 1
1 1
2
( )
1 1
1
m n
n
m n
n
r
r
r
H z
k
k z
k
z
p z
p z
p z
−
−
−
−
−
−
−
=
+
+
+
+
+
+
+
−
−
−
…
…
.(2.3)
Здесь
i
p
и
i
r
— полюсы функции передачи и соответствующие им
выче-
ты
. В данном случае система описывается набором параметров { }
i
r
, { }
i
p
, { }
i
k

22
Для вещественных систем полюсы функции передачи являются вещест- венными либо составляют комплексно-сопряженные пары. Вычеты, соответ- ствующие комплексно-сопряженным полюсам, при этом также являются комплексно-сопряженными.
Представление функции передачи в виде суммы простых дробей позво- ляет вычислить импульсную характеристику системы, для чего необходимо произвести обратное
z
-преобразование функции (2.3). Для этого следует вос- пользоваться следующими свойствами:
• z-преобразование единичного импульса δ(k) равно константе: ∆(z) = 1;
• z-преобразование экспоненциального сигнала
( )
,
0
k
x k
rp
k
=
≥ , равно
1
( )
1
r
X z
pz
−
=
−
;
• z-преобразование линейно.
В результате импульсная характеристика системы с функцией переда- чи (2.3) принимает следующий вид:
1 0
( )
(
)
(
)
n
m n
k
i
i
i
i
i
h k
r p
k
k
i
−
=
=
=
+
δ −
∑
∑
(2.4)
Пара комплексно-сопряженных полюсов дает пару слагаемых импульс- ной характеристики в виде комплексно-сопряженных экспонент. Сумма та- ких слагаемых представляет собой вещественную синусоиду с экспоненци- ально меняющейся амплитудой:
(
)
*
*
(
)
(
)
2 Re
(
)
2 Re exp
(arg arg
)
2
cos( arg arg ) .
k
k
k
k
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
k
i
i
i
i
r p
r
p
r p
r
p
j
r
k
p
r
p
k
p
r




+
=
=
⋅
+
=






=
⋅
+
(2.5)
Здесь arg
i
r
и arg
i
p
— фазы комплексных чисел
i
r
и
i
p
Пространство состояний. Сущность представления дискретной сис- темы в пространстве состояний состоит в следующем — имеются вектор па- раметров s(k), описывающих внутреннее состояние системы, и 2 формулы, согласно которым производятся изменение этого состояния и формирование выходного сигнала в зависимости от текущего состояния и входного сигнала:
s(k + 1) = As(k) + Bx(k),
y(k) = Cs(k) + Dx(k).

23
Здесь s(k) — вектор состояния; x(k) и y(k) — соответственно отсчеты входно- го и выходного сигналов; A, B, C и D — параметры, описывающие систему.
Если x и y — скалярные сигналы, и размерность вектора состояния равна N, то размерность параметров будет следующей: A — матрица N×N, B — стол- бец N×1, C — строка 1×N, D — скаляр.
Преобразование параметров пространства состояний в функцию переда- чи осуществляется по формуле:
(
)
1
( )
H z
z
D
−
=
−
+
C
I
A
B
, где I — единичная матрица размером N×N.
Преобразование коэффициентов функции передачи в параметры про- странства состояний не является однозначным. Различным вариантам пред- ставления одной и той же функции передачи в пространстве состояний соот- ветствуют различные формы реализации соответствующего фильтра.
Формы реализации дискретных фильтров. Как отмечено выше, од- ному и тому же фильтру могут соответствовать различные структурные схе- мы. С теоретической точки зрения все они эквивалентны по соотношению
«вход-выход». Однако при практической реализации необходимо обращать внимание на ряд особенностей, присущих этим схемам.
Прямая форма реализации дискретного фильтра. Если реализовать фильтр согласно алгоритму дискретной фильтрации (2.1), то получим струк- турную схему, показанную на рис. 2.3, которая называется прямой формой реализации дискретного фильтра.
Каноническая форма реализации дискретного фильтра. Если в пря- мой форме реализации (рис. 2.3) поменять местами рекурсивную и нерекур- сивную части фильтра и объединить 2 линии задержки, на которые после данной модификации поступает один и тот же входной сигнал, то получим структурную схему канонической формы реализации дискретного фильтра, показанную на рис. 2.4.
По сравнению с прямой реализацией фильтра, при канонической реали- зации используется общая линия задержки, что уменьшает число необходи- мых элементов памяти (элементов задержки). Однако при этом модули от- счетов, хранящихся в линии задержки, могут существенно превосходить ам- плитуду входного и выходного сигналов. Это приводит к необходимости

24
–a
n
b
m–1
S
b
1
b
2
b
m
b
0
–a
1
–a
2
–a
n–1
z
–1
z
–1
z
–1
z
–1
z
–1
z
–1
x( )
k
x( – )
k 1
y( )
k
x( – 2)
k
x( – )
k m
x( –
+ 1)
k m
y( – )
k 1
y( – 2)
k
y( – )
k n
y( – + 1)
k n
Рис. 2.3. Прямая форма реализации дискретного фильтра
S
b
1
b
2
b
m
b
0
S
–a
1
–a
2
–a
m
–a
n
z
–1
z
–1
x( )
k
y( )
k
Рис. 2.4. Каноническая форма реализации дискретного фильтра увеличивать разрядность представления чисел в линии задержки по сравне- нию с разрядностью входного и выходного сигналов, что усложняет реализа- цию устройства.
Транспонированная форма реализации дискретного фильтра. Если поменять в прямой форме реализации (рис. 2.3) последовательность выпол- нения операций умножения и задержки, используя в каждой ветви отдельную линию задержки на нужное количество тактов, то можно получить структур- ную схему транспонированной формы реализации дискретного фильтра, по- казанную на рис. 2.5.

25
Транспонированная схема позволяет эффективно распараллелить вычисления.
Действительно, при реализации фильтра в форме рис. 2.3 или 2.4 можно одновременно выполнять все операции умножения, но для получения выходного результата необ- ходимо дождаться окончания выполнения
всех операций сложения. В транспониро- ванной же схеме, помимо умножения, можно одновременно выполнять и все опе- рации сложения, поскольку они являются независимыми (т. е. не используют в каче- стве суммируемых величин результаты других сложений).
b
1
b
2
b
m–1
b
m
b
0
z
–1
z
–1
z
–1
x( )
k
+
+
+
+
+
y( )
k
–a
1
–a
2
–a
m–1
–a
m
Рис. 2.5. Транспонированная форма реализации дискретного фильтра
Как видно из схемы рис. 2.5, собственно для расчета выходного сигнала необходимо выполнить одно умножение и одно сложение; все остальные операции производят подготовку промежуточных результатов для вычисле- ния последующих выходных отсчетов.
2.3. Индивидуальное задание
В данной лабораторной работе используется сигнал из индивидуального задания для лабораторной работы № 1.
Этот сигнал в процессе выполнения работы пропускается через дискрет- ный рекурсивный фильтр 4-го порядка, функция передачи которого имеет вид:
1 2
3 4
0 1
2 3
4 1
2 3
4 1
2 3
4
( )
1
b
b z
b z
b z
b z
H z
a z
a z
a z
a z
−
−
−
−
−
−
−
−
+
+
+
+
=
+
+
+
+
(2.6)
Коэффициенты фильтра
b
0
…
b
4
,
a
1
…
a
4
являются индивидуальными для каждой бригады и выдаются преподавателем в виде табл. 2.1.
Таблица 2.1
b
0
b
1
b
2
b
3
b
4
a
0
a
1
a
2
a
3
a
4 1