Файл: А. Б. Сергиенко минобрнауки россии санктПетербургский государственный электротехнический университет лэти им. В. И. Ульянова (Ленина) А. В. Петров а. Б. Сергиенко цифровая обработка сигналов лабораторный практикум.pdf

68
Соответствующий коэффициент передачи по мощности равен
(
)
2
j
n
H
e
− ω
ɶ
, вследствие независимости источников шумов их мощности суммируются. В итоге получаем спектральную плотность мощности (СПМ) собственного шума на выходе фильтра, равную
2 2
2
д
1 2
5 1
( )
1
n
n
j
j
W
F
a e
a e
− ω
−
ω
σ
ω =
+
+
ɶ
ɶ
ɶ
,
(5.1) где
2
n
σ — дисперсия каждого источника шума (входящее в формулу отноше- ние
2
д
n
F
σ
дает двустороннюю СПМ этого источника).
5.3. Индивидуальное задание
Параметры квантуемого гармонического сигнала являются индивиду- альными для каждой бригады и выдаются преподавателем в виде табл. 5.2.
Кроме того, в данной лабораторной работе используется фильтр из индиви- дуального задания для лабораторной работы № 2. Параметры, которые были использованы при синтезе этого фильтра, также приведены в табл. 5.2.
Таблица 5.2
Параметры гармонического сигнала
Параметры фильтра
Амплитуда
Частота
Начальная фаза
Тип
Частота среза
Пульсации в полосе пропускания
Подавление в полосе задерживания
A
0
ω
ɶ , рад/отсчет
ϕ
0
, рад
A
pass
, дБ
A
stop
, дБ
5.4. Указания к выполнению работы
1. Подготовка к началу работы. Запустите MATLAB и сделайте теку- щей папку вашей бригады.
2. Исследование свойств шума квантования. Эта часть работы вы- полняется путем создания MATLAB-программы. Создайте в редакторе
MATLAB новый файл MATLAB-программы и сохраните его с соответст- вующим именем.
Создайте вектор из 10 5
отсчетов вещественного гармонического сигнала с заданными амплитудой, частотой и начальной фазой:
0 0
( )
cos(
)
x k
A
k
=
ω
+ ϕ
ɶ
, k = 0, 1, …, 10 5
− 1.

69
Произведите квантование сигнала, округлив его значения с шагом в
1/256. Для этого можно умножить сигнал на 256, округлить результат функ- цией
round, а затем разделить его на 256:
x_q = round(x*256)/256;
Вычислите шум квантования как разность между квантованным (
x_q) и исходным (
x) сигналами.
Исследуйте свойства шума квантования, получив для этого графики сле- дующих его характеристик:
• самого шума квантования длительностью 200 отсчетов;
• гистограммы;
• корреляционной функции для диапазона сдвигов ±100 отсчетов;
• оценки СПМ.
Сохраните в отчете 4 полученных графика.
Справка
• Для построения графика шума квантования длительностью 200 отсчетов используется функция
plot(x(1:200)), где x — шум квантования.
• Для расчета и отображения гистограммы служит функция hist. Формат вызова:
hist(x, nbin), где x — анализируемый сигнал; nbin — число интервалов гистограммы. Для целей данной работы это число следует вы- брать равным 100.
• Для расчета авто- и взаимных корреляционных функций служит функция
xcorr. Формат вызова для оценки автокорреляционной функции (АКФ) случайного процесса:
[Rx, dk] = xcorr(x, kmax, 'unbiased'), где
x — анализируемый сигнал; kmax — максимальный сдвиг в отсчетах;
Rx — вектор значений рассчитанной АКФ; dk — вектор задержек
(
-kmax:kmax). Полученная АКФ является ненормированной, уровень ее пика (при нулевом сдвиге) равен средней мощности сигнала.
• Для расчета оценки и построения графика СПМ шума квантования в дан- ной работе используется функция
pwelch. Формат вызова для использова- ния в данной лабораторной работе:
pwelch(x, Lb), где x — анализируе- мый сигнал;
Lb — размер блоков, на которые делится сигнал при анализе.
Чем больше размер блока, тем лучше частотное разрешение, но тем больше дисперсия оценки СПМ (из-за уменьшения числа блоков). Рекомендуемая длина блока для целей данной лабораторной работы —
256.

70
Повторите квантование сигнала, расчет шума квантования и получение графиков для следующих ситуаций:
• используется тот же синусоидальный сигнал, но шаг квантования ра- вен 1/16;
• используется тот же синусоидальный сигнал, но шаг квантования ра- вен 1;
• дискретный белый гауссов шум (БГШ) с нулевым средним значением и числом отсчетов 10 5
, шаг квантования — 1/256. Сгенерированный случай- ный сигнал необходимо отмасштабировать так, чтобы его максимальное (по модулю) значение было равно единице:
x = x/max(abs(x));
Справка
Сгенерировать дискретный БГШ можно с помощью функции
randn, которая генерирует некоррелированные псевдослучайные числа с гауссовым распре- делением, нулевым средним и единичной дисперсией. Формат вызова функ- ции для целей данной работы:
sn = randn(1, N), где 1 — число строк генерируемой матрицы;
N — число ее столбцов (в результате использования такой комбинации параметров получается вектор-строка длиной
N отсчетов);
sn — вектор отсчетов шума.
• речевой сигнал из файла mtlb.mat (он входит в набор имеющихся в
MATLAB тестовых сигналов), шаг квантования — 1/256. Для его загрузки используйте команду
load mtlb, после ее выполнения в памяти появятся переменные
mtlb (вектор отсчетов сигнала) и Fs (частота дискретизации; в данной лабораторной работе это значение не используется). Загруженный сигнал необходимо отмасштабировать так, чтобы его максимальное (по мо- дулю) значение было равно единице:
x = mtlb/max(abs(mtlb)).
3. Исследование влияния округления коэффициентов фильтра на
его параметры. Эта часть работы выполняется в среде Filter Design and
Analysis Tool.
Запустите среду командой
fdatool и выполните синтез рекурсивного
(IIR) ФНЧ с заданными параметрами:
• Тип АЧХ (раздел Response Type): ФНЧ (Lowpass).
• Тип фильтра (раздел Design Method): рекурсивный (IIR), конкретный тип выбрать из выпадающего списка в соответствии с заданием.

71
• Порядок фильтра (раздел Filter Order): задать вручную, выбрав вари- ант Specify order и введя в поле значение 4.
• Частота среза (раздел Frequency Specifications): задать нормирован- ные частоты (вариант Normalized (0 to 1) в списке Units) и ввести значение из задания в поле, которое в зависимости от типа фильтра будет называться
wc, wpass или wstop.
• Неравномерность АЧХ (раздел Magnitude Specifications): задать из- мерение в децибелах (вариант dB в списке Units) и ввести параметры из за- дания (при их наличии) в поля Apass и/или Astop.
Закончив задание параметров, щелкните на кнопке Design Filter.
По умолчанию фильтр представлен в виде каскада секций 2-го порядка.
Преобразуйте его к одной секции, щелкнув правой кнопкой мыши в поле
Current Filter Information и выбрав в контекстном меню команду Convert
to Single Section.
Замечание
После перехода к одной секции можно убедиться в том, что коэффициенты синтезированного фильтра совпадают с теми, что были приведены в задании к лабораторной работе № 2. Просмотреть коэффициенты можно, щелкнув на кнопке
Filter Coefficients в панели инструментов. После этого вернитесь к просмотру АЧХ фильтра.
Щелкните на кнопке
Set quantization parameters из набора кнопок, расположенных в нижней части левой стороны окна. Появится панель зада- ния параметров квантования.
В списке Filter arithmetic (тип арифметики фильтра) выберите вариант
Fixed-point (с фиксированной точкой).
По умолчанию будет выбрана вкладка Coefficients, на которой задаются параметры квантования коэффициентов фильтра. Чтобы эффекты округления коэффициентов были более явными, в данной лабораторной работе исполь- зуется 8-битовое квантование. Введите в поле Coefficient word length значе- ние 8 и щелкните на кнопке Apply (для остальных элементов данной вкладки оставьте значения по умолчанию).
В поле графиков будут показаны две АЧХ, соответствующие исходному
(Reference) и квантованному (Quantized) фильтрам. Скорее всего, их разли- чия будут весьма сильными, квантованный фильтр может даже оказаться не- устойчивым. Перейдите в визуализатор фильтров FVTool, щелкнув на кнопке

72 панели инструментов
Full View Analysis, и сохраните в отчете графики
АЧХ (Magnitude Response) и расположения нулей и полюсов на комплекс- ной плоскости (Pole/Zero Plot).
Теперь преобразуем исходный (неквантованный) фильтр к каскаду сек- ций 2-го порядка. Для этого в списке Filter arithmetic выберите вариант
Double-precision floating-point (с плавающей точкой двойной точности), за- тем щелкните правой кнопкой мыши в поле Current Filter Information и вы- берите в контекстном меню команду Convert to Second-Order Sections.
Снова вернитесь к квантованному варианту с фиксированной точкой, выбрав в списке Filter arithmetic вариант Fixed-point.
Заметные различия между АЧХ исходного и квантованного фильтров должны исчезнуть. Перейдите в FVTool и сохраните в отчете график АЧХ,
увеличив его таким образом, чтобы на нем крупным планом отображалась по- лоса пропускания и были видны небольшие различия между двумя АЧХ в этой области.
4. Исследование собственного шума цифрового фильтра. Эта часть работы также выполняется в среде Filter Design and Analysis Tool. Для уп- рощения сопоставления результатов моделирования с результатами теорети- ческих расчетов рассматривается фильтр, представленный в виде одной сек-
ции, реализованной в прямой форме. Поскольку в предыдущем разделе рабо- ты было показано, что 8-разрядное квантование коэффициентов не обеспечи- вает достаточной точности при реализации фильтра в виде одной секции, в данном разделе число двоичных разрядов увеличивается до 16.
Для преобразования исходного (неквантованного) фильтра к одной сек- ции выберите в списке Filter arithmetic вариант Double-precision floating-
point, затем щелкните правой кнопкой мыши в поле Current Filter Informa-
tion и выберите в контекстном меню команду Convert to Single Section. За- тем выберите в этом же контекстном меню команду Convert Structure. В появившемся одноименном окне выберите первый вариант из списка: Direct-
Form I (прямая форма реализации).
Снова вернитесь к квантованному варианту с фиксированной точкой, выбрав в списке Filter arithmetic вариант Fixed-point.
На вкладке Coefficients задайте 16-битовое представление в поле Coeffi-
cient word length, для остальных параметров сохраните значения по умолча- нию. Щелкните на кнопке Apply.

73
Перейдите на вкладку Filter Internals (параметры промежуточных вы- числений) и принудительно задайте усечение результатов умножения до
16 старших бит. Для этого в списке Product mode (режим вычисления произ- ведений) выберите вариант Keep MSB (сохранять старшие биты). После это- го станет доступно для ввода поле Product word length (число разрядов для результатов умножения). Введите в это поле число 16. Щелкните на кнопке
Apply.
Щелкните на кнопке
(Round-off Noise Power Spectrum) для вывода графика оценки СПМ собственного шума цифрового фильтра. Перейдите в
FVTool и сохраните в отчете этот график, увеличив в нем масштаб по верти- кали так, чтобы был виден только график, относящийся к квантованному фильтру (он изображен сплошной линией и обозначен в легенде как
Lowpass…: Quantized).
5. Сохранение информации о фильтре. Сохраните сеанс среды FDA-
Tool командой меню File Save session или Save session as. Кроме того, не- обходимо записать значения коэффициентов числителя и знаменателя функ- ции передачи рассматриваемого фильтра — они будут необходимы для тео- ретического расчета СПМ собственного шума цифрового фильтра. Для этого щелкните на кнопке
(Filter Coefficients) и запишите значения коэффици- ентов квантованного числителя (Quantized Numerator) и квантованного знаменателя (Quantized Denominator) с не менее чем четырьмя значащими цифрами.
Примечание
Для расчета теоретической СПМ собственного шума в MATLAB можно вме- сто ручной записи коэффициентов экспортировать их из среды FDATool в виде переменных, содержащих векторы коэффициентов числителя и знаме- нателя. Для этого воспользуйтесь командой File Export.
5.5. Содержание отчета
Отчет должен содержать:
• созданный в процессе работы программный код, оформленный в виде законченного документа и сопровождаемый полученными в ходе работы графиками;
• полученные графики характеристик фильтра;

74
• теоретический график СПМ собственного шума цифрового фильтра, реализованного в прямой форме. Расчет производится по (5.1), скорректиро- ванной с учетом того, что порядок анализируемого фильтра равен 4;
• выводы по результатам работы.
5.6. Контрольные вопросы
1. Какие из этих десятичных чисел могут быть точно представлены в вычислительных устройствах: 0.1, 0.2, 0.25, 0.36, 0.375, 0.5?
2. Можно ли построить цифровой фильтр, вычисления в котором будут выполняться абсолютно точно? Зависит ли это от типа фильтра (рекурсивный или нерекурсивный)?
3. Для какого из исследованных сигналов теоретические предположе- ния о свойствах шума квантования выполняются лучше всего?
4. Квантованию с большим числом уровней (например, 256) подверга- ются 2 гармонических сигнала с частотами
1 6
0.5236
ω = π
≈
ɶ
рад/отсчет и
2 0.5
ω =
ɶ
рад/отсчет. В чем будут состоять различия в распределении вероят- ности, корреляционных функциях и спектрах шума квантования в этих двух случаях?
5.
Объясните на качественном уровне, как примерно должны распола- гаться уровни неравномерного квантования для гармонического сигнала, ес- ли необходимо минимизировать среднюю мощность (дисперсию) шума кван- тования.
6.
Изобразите структурную схему исследуемого в лабораторной работе фильтра (прямая форма реализации без разбиения на секции), произведя при этом масштабирование его коэффициентов, чтобы все они лежали в диапазо- не
−
1…+1. Считая, что коэффициенты представляются в формате 1.7, найди- те коэффициент, относительная погрешность представления для которого оказывается максимальной, и определите эту относительную погрешность.
7.
Изобразите структурную схему исследуемого в лабораторной работе фильтра (прямая форма реализации без разбиения на секции) и определите, какое количество разрядов целой части (включая знаковый разряд) необхо- димо обеспечить на выходе каждой операции умножения для того, чтобы при работе фильтра не возникало переполнений. Считать, что значения входного и выходного сигналов лежат в диапазоне
−
1…+1.

75 8.
Рекурсивный цифровой фильтр представлен в виде каскада секций
2-го порядка. Зависит ли собственный шум округления на выходе фильтра от порядка включения секций?
9.
Сопоставить измеренное и теоретическое значения дисперсии шума квантования для указанного преподавателем сигнала.
10.
Объяснить вид гистограммы шума квантования (ее форму и место расположения пиков на горизонтальной оси) для случая гармонического сиг- нала при указанном преподавателем шаге квантования.
11.
Объяснить вид АКФ шума квантования (положение боковых пиков
АКФ на горизонтальной оси) для случая гармонического сигнала при указан- ном преподавателем шаге квантования.

76
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Айфичер Э. С., Джервис Б. У. Цифровая обработка сигналов: практиче- ский подход / пер. с англ. М.: Вильямс, 2004.
Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов / пер. с англ. М.: Бином-Пресс,
2007.
Оппенгейм А., Шафер Р. Цифровая обработка сигналов / пер. с англ. М.:
Техносфера, 2012.
Основы цифровой обработки сигналов: курс лекций / А. И. Солонина,
Д. А. Улахович, С. М. Арбузов, Е. Б. Соловьева. СПб.: БХВ-Петербург, 2005.
Сергиенко А. Б. Цифровая обработка сигналов: учеб. пособие. СПб.:
БХВ-Петербург, 2011.
Солонина А. И., Арбузов С. М. Цифровая обработка сигналов. Модели- рование в MATLAB. СПб.: БХВ-Петербург, 2008.
Цифровая обработка сигналов и
MATLAB
/
А. И. Солонина,
Д. М. Клионский, Т. В. Меркучева, С. Н. Перов. СПб.: БХВ-Петербург, 2013.

77
ОГЛАВЛЕНИЕ
1. ДИСКРЕТНЫЕ СИГНАЛЫ ............................................................................... 3 2. ДИСКРЕТНЫЕ ФИЛЬТРЫ.............................................................................. 18 3. ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ............................................... 33 4. ПРОЕКТИРОВАНИЕ ДИСКРЕТНЫХ ФИЛЬТРОВ..................................... 46 5. ЭФФЕКТЫ КВАНТОВАНИЯ И ОКРУГЛЕНИЯ.......................................... 60
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ............................................... 76

Петров Александр Валерьевич,
Сергиенко Александр Борисович
Цифровая обработка сигналов
Лабораторный практикум
Редактор Н. В. Кузнецова
Подписано в печать 27.11.18. Формат 60×84 1/16.
Бумага офсетная. Печать цифровая. Печ. л. 5,0.
Гарнитура «Times New Roman». Тираж 82 экз. Заказ ____
Издательство СПбГЭТУ «ЛЭТИ»
197376, С.-Петербург, ул. Проф. Попова, 5