Файл: Нод и нок многочленов.docx

нужное количество членов с нулевыми коэффициентами). Тогда суммой многочленов и называется многочлен



Произведением многочленов и , определенных согласно (1.2) и (1.3) (при любых соотношениях между и ), называется



т.е

(1.4)

Из определения суммы многочленов получаем:

Утверждение 1.1. Пусть , — многочлены из . Тогда , либо



Если и , то



Если при этом K не содержит делителей нуля, то

(1.5)

Теорема 1.2. Пусть — некоторое кольцо. Тогда множество многочленов образует кольцо. Это кольцо является ассоциативным, коммутативным, содержит единицу и не содержит делителей нуля тогда и только тогда, когда кольцо соответственно ассоциативно, коммутативно, содержит единицу и не содержит делителей нуля. В частности, если — поле, то

---

— ассоциативное, коммутативное кольцо с единицей и без делителей нуля.

Доказательство. Операции сложения и умножения обладают следующими легко проверяемыми свойствами: для любых многочленов , и справедливо

1) (коммутативность сложения),

2) (ассоциативность сложения),

3) , если — коммутативное кольцо (коммутативность умножения),

4) , если — ассоциативное кольцо (ассоциативность умножения),

5) (дистрибутивность),

6) ( (дистрибутивность).

Докажем, например, ассоциативность умножения многочленов, если — ассоциативное кольцо. Если и определены согласно (1.2) и (1.3) соответственно и



то



где, согласно (1.4) (мы пользуемся дистрибутивностью в кольце ),



Аналогично, если



откуда .

Легко видеть, что в константа 0 (и только она) является нейтральным элементом относительно сложения, т. е. для любого справедливо . Для многочлена

---

противоположным (относительно сложения) является



Под операцией вычитания тогда понимается . Если кольцо содержит единицу 1, то также содержит 1. Константа 1 (и только она) является нейтральным элементом относительно умножения в . Из (1.5) получаем, что если в нет делителей нуля, то в также нет делителей нуля, т. е. из равенства следует, что или .

2. 
   Операции над многочленами
   

С многочленами над числовым кольцом можно проводить операции сложения, вычитания и умножения. Данные операции сводятся к приведению подобных членов. Ясно, что в результате получится многочлен с коэффициентами из этого же кольца. Выразим коэффициенты произведения многочленов через коэффициенты сомножителей. Пусть в результате перемножения многочленов получается многочлен Тогда и после приведения подобных получим , в правой части равенства предполагается, что при и при

---

. Таким образом, найдены формулы для вычисления коэффициентов произведения , где .

C многочленами над числовым полем, кроме перечисленных операций, определена операция деления с остатком. Задача деления многочлена на многочлен может быть сформулирована следующим образом: найти такой многочлен , называемый частным, при котором степень многочлена -наименьшая. Многочлен называется остатком деления на . Говорят, что многочлен делится на многочлен , если остаток от деления равен нулю. Если степень меньше степени , то частное равно нулю. Пусть степень не меньше степени . Из требования минимальности степени и правила умножения многочленов выводим, что степень не превосходит и . Задача деления многочлена на многочлен сводится к аналогичной задаче деления многочлена , но уже меньшей степени. Понятно, что таким образом частное и остаток от деления определяются единственным образом. Алгоритм деления оформляют «уголком» и чисто внешне похож на деление целых чисел с остатком. В качестве примера, деление «уголком» многочлена

---

на многочлен с остатком приведено на рисунке ниже.



При делении на двучлен можно воспользоваться более компактной схемой деления, называемой схемой Горнера. В основе этой схемы лежит очевидный факт, что при выполнении деления «уголком» на каждом шаге меняется только один коэффициент в текущем «остатке». Поэтому, схему деления «уголком» можно записать в одну строчку. Для примера, поделим многочлен на двучлен по схеме Горнера. Результат приведен на рисунке ниже.



Кроме перечисленных операций используется операция подстановки в многочлен, или вычисления значения многочлена в точке. При выполнении данной операции, вместо переменной подставляют число. В результате получается числовое выражение, значение которого и называется значением многочлена. Число, значение многочлена в котором равно 0, называется корнем многочлена. Теорема Безе утверждает, что остаток от деления многочлена на двучлен равен . Таким образом, схему Горнера можно использовать не только для вычисления частного и остатка от деления на двучлен, но и для вычисления значения многочлена в точке. [3]

---