Файл: методичка по математике для агро и зоо.docx

Итак, .

Условная вероятность того, что второй день сентября не будет дождливым при условии, что первого сентября дождя не было, равна т.к. при этом условии число возможных исходовn=30-1=29, а благоприятных m=20-1=19.

Аналогично, условная вероятность того, что 3 сентября дождя не будет, если его не было предыдущие два дня, равна

Следовательно

Тема 10. Повторные испытания.

Основные вопросы теории.

1.Повторные независимые испытания. Схема испытаний Бернулли. Биноминальное распределение вероятностей. Формулы Бернулли. Определение наивероятнейшего числа появлений события.

2.Локальная и интегральная теоремы Муавра – Лапласа. Формула Пуассона. Области применения биномиального распределения вероятностей.

Примеры решения задач.

Задача 20

В бурте картофеля имеется 10% клубней, поражённых болезнью. Каковы вероятности того, что из пяти взятых наугад клубней:

1. ни один не будет поражён болезнью;

2. окажется только два клубня поражённых болезнью;

3. будет не более одного клубня поражённого болезнью?

Решение.

Вероятность того, что наугад взятый клубень поражён болезнью вероятность того, что клубень здоровый

1). Обозначим событие В - пять клубней не поражены болезнью. Тогда и

Используя формулу Бернулли , где,p=0,1, q=0,9, m=0, n=5, получим тот же результат

2). Пусть С – событие, состоящее в том, что два клубня из пяти поражены болезнью. Здесь n=5, m=2, p=0,1, q=0,9 и по формуле Бернулли

3). Пусть теперь событие D состоит в том, что из пяти клубней поражённых болезнью клубней будет не более одного. Это событие может быть представлено в виде суммы двух событий:

D₀ – все пять клубней здоровы (0 поражённых клубней);

D₁ – из пяти клубней лишь один поражён болезнью (а четыре – здоровы), т.е. D=D₀+D₁, где D₀и D₁–несовместные.

Вероятности событий D₀и D₁ получаем по формуле Бернулли:

поэтому

Задача 21.

Вероятность изготовления нестандартной тракторной детали равна 0,003. Найти вероятность того, что в партии из 1000 деталей окажется 4 нестандартные.

Решение

Проводится ряд повторных независимых испытаний изготовление деталей для тракторов. Число испытаний n=1000. В каждом испытании вероятность появления нестандартной детали равна р=0,003. Требуется найти Р₁₀₀₀(4). Так как вероятность р близка к 0, а число испытаний очень велико, то для решения задачи применим формулу Пуассона для редких событий:

np=1000∙0,003=3, m=4,

Задача 22.

При сортировке персиков вероятность того, что наудачу взятый персик не соответствует стандарту, составляет 0,2. Каковы вероятности того, что из наугад взятых 500 персиков: 1) окажутся нестандартными 90 штук; 2) нестандартных будет не менее 85, не более 110 штук.

Решение.

1). При больших значениях числа испытаний n вычисление вероятностей P_n(m) по формуле Бернулли становится очень трудным. В этом случае удобно пользоваться локальной формулой Муавра – Лапласа: где.

Значения функции определяются по таблице №1 (см. приложение). При этом нужно помнить, что функциячетная, т.е..

По условию задачи

n=500, m=90, h=0,2, q=1-p=0,8.

Тогда По таблице 1 приложения находим1,12)=0,2131. Тогда искомая вероятность

2). Если нужно вычислить вероятность того, что некоторое событие при большом количестве n повторных независимых испытаний произойдёт не ровно m раз, а не менее m₁и не более m₂ раз, то можно пользоваться интегральной формулой Муавра – Лапласа:

где

Значение функции Лапласа Ф(х) определяются по таблице №2 (см. приложение). При этом нужно помнить, что функция Ф(х) нечётная, т.е. Ф(-х)=-Ф(х), и при х>5 Ф(х)=0,5.

По условию задачи

n=500, m₁=85, m₂=110, p=0,2, q=0,8,

По таблице 2 приложения находим:

Ф(-1,68)=-Ф(1,68)=-0,4535, Ф(1,12) =0,3686

Тогда исходная вероятность

Тема 11. Случайные величины и их числовые характеристики.

Основные вопросы теории.

1. Понятие случайной величины. Дискретные и непрерывные случайные величины. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины. Аналитический, табличный и графические способы задания закона распределения вероятностей дискретной случайной величины.

2. Понятие о законе распределения вероятностей непрерывной случайной величины. Плотность вероятности. Нормальное распределение случайной величины.

3. Числовые характеристики случайной величины. Вероятностный смысл математического ожидания. Математическое ожидание числа появлений события в независимых испытаниях. Свойства математического ожидания.

4. Дисперсия как мера рассеяния значений случайной величины. Способы вычисления дисперсии дискретной случайной величины. Дисперсия числа появления события в независимых испытаниях. Свойства дисперсии. Среднее квадратическое отклонение.

5. Числовые характеристики случайной величины, распределённой по нормальному закону, вероятность ее попадания в заданный интервал.

Примеры решения задач

Задача 23

Задан закон распределения вероятностей дискретной случайной величины:

Вычислить: 1) математическое ожидание

2) дисперсию

3) среднее квадратическое отклонение, изобразить закон распределения графически и показать на чертеже вычисленное математическое ожидание.

Решение.

1. Математическое ожидание дискретной случайной величины вычисляется по формуле:

Подставляя данные из таблицы в формулу получаем:

2. Дисперсия дискретной случайной величины равна по определению:

но ее удобнее вычислить по формуле

Вычислим