Файл: Mikro_ch2.pdf

Комментарии.

1. По формульной записи функций полезности далеко не всегда легко догадаться, что одна из них является функцией от другой. Но это всегда можно выяснить, сравнив предельные нормы замены: если предельные нормы замены совпадают при любых комбинациях благ, то они выражают одну и ту же систему предпочтений индивидов. При решении задачи 2 определена предельная норма замены для первого индивида:

Таким образом, для любых комбинаций (x, y) предельные нормы замены для обоих индивидов совпадают, следовательно, совпадают и их предпочтения.

2. Концепция порядковой полезности служит основой теории потребительского выбора при отсутствии риска. Для теоретического описания потребительского поведения в рисковой ситуации она оказывается недостаточной. В теории выбора в условиях риска утверждается существование такой функции полезности, к максимизации математического ожидания которой стремится потребитель (функция полезности фон Неймана–Моргенштерна). В этом отношении предпочтения индивидов в данной задаче различны, если условиями заданы функции полезности фон Неймана–Моргенштерна. Допустим, что в рассматриваемых примерах цены продуктов численно равны, так что, как легко проверить, в выбираемых обоими потребителями наборах x = y. Допустим также, что потребителю предлагают указать набор благ, столь же полезный, как лотерея из наборов (1, 1) и (5, 5) с равными ве-

роятностями. Так как x ∙ x/(x + x) = x/2, первый потребитель укажет набор (x, x), удовлетворяющий условию:

0.5 21 + 0.5 52 = x2 ,

откуда x = 3, так что он укажет набор (3, 3). Соответствующее условие для второго потребителя:

0.5 ln 21 + 0.5 ln 52 = ln x2 ,

откуда x = 5 ≈ 2.236,и он укажет набор (2.236, 2.236). Выбранный первым индивидом набор (3, 3) окажется для второго индивида более полезным, чем предложенная лотерея.

Решение задачи № 6

Одна из аксиом потребительских предпочтений — аксиома ненасыщаемости («больше лучше, чем меньше»). Поэтому представляется очевидным, что любой потребитель предпочтет продукт 2 продукту 1 (x2 > x1 и y2 > y1) — продукт 2 доминирует над продуктом 1. На рисунке область доминирования по отношению к продукту 1 («северо-восточный угол») показана штриховыми линиями; точка, соответствующая продукту 2, располагается в этой области. Если по отношению к данному продукту есть доминирующий (на графике он располагался бы правее и выше данного), то ни один потребитель не выберет данный продукт. Таким образом, продукт 1 не может быть продан.

Кроме того, продукт не может быть продан, если он уступает по обеим характеристикам некоторому набору продуктов, приобретаемому за ту же цену. Если в набор входят

и если каждый из продуктов мог быть куплен за одну денежную единицу, то и набор может быть куплен также за одну единицу. Если некоторый продукт доминируется набором из других продуктов, то каждый потребитель предпочтет ему этот набор.

Если выбор осуществляется в пространстве двух характеристик, достаточно ограничиться двухпродуктовыми наборами; все возможные наборы из двух конкретных продуктов графически представляются отрезками, соединяющими точки, обозначающие эти продукты. Таким образом, если на графике правее и выше данного продукта имеются точки отрезка, соединяющего два других продукта, то это означает, что существуют наборы, доминирующие над данным продуктом. Если составить набор из третьего и пятого продуктов в количествах λ3 = ⅔, λ5 = ⅓, то мы получим набор с характеристиками x = 6 = x4 и y = 6 > y4 (точка 4′ на рисунке), доминирующий по отношению к четвертому продукту (для доминирования i над j требуется xi ≥ xj и yi ≥ yj, причем по крайней мере одно из неравенств должно быть строгим).

Решение задачи № 7

а) Найдем выражения для предельных полезностей:

Приравнивая предельную норму замены соотношению цен:

находим: y = 1.5x. Из равенства дохода и расходов, 9x +

+4 ∙ 1.5x = 60, определяются объемы спроса: x = 4, y = 6. б) Выполним те же действия без использования числовых

значений данных. Соотношение между объемами спроса на блага равно y = xpX pY . Отсюда:

в) Последние равенства показывают, что при фиксированной величине дохода объем спроса на каждое благо снижается как при росте цены этого, так и при росте цены другого блага. Это означает, что блага являются взаимно дополняющими.

Решение задачи № 8

а, б) Рассуждая по аналогии с решением предыдущей задачи, находим:

в) Последние равенства показывают, что при фиксированной величине дохода объем спроса на каждое благо сни-

жается при росте цены этого блага, но возрастает с увеличением цены другого блага. Это означает, что блага являются взаимно заменяющими.

Решение задачи № 9

Найдем выражения для предельных полезностей:

Далее, найдем выражение для предельной нормы замены: MRSXY = x12 .

Так как в точке потребительского оптимума предельная норма замены равна соотношению цен, справедливо равенство

y = I − pX pY . pY

Спрос на благо X, как мы видим, не зависит от дохода (в дальнейшем нам придется уточнить это утверждение). Спрос на Y явным образом от дохода зависит. При I = 70 имеем:

y = 70 − 16 25 = 2. 25

Ясно, что объем потребления не может быть отрицательным. Но, согласно полученному выражению для y, условие y ≥ 0 выполняется при I ≥ pX pY = 20 и нарушается в противном случае. Естественно предположить, что при

нарушении этого условия домашнее хозяйство полностью отказывается от блага Y, так что y = 0. Но в таком случае и выражение для x становится неверным: так как весь доход расходуется на благо X, объем его потребления равен

x = I/pX.

Для проверки этого предположения выясним, какие значения принимает предельная норма замены на бюджетной границе, описываемой равенством pXx + pYy = I. Из условия y ≥ 0 следует, что pXx ≤ I и x ≤ I /pX. Поэтому на бюджетной границе

внутреннего потребительского оптимума. При I = 70 предельная норма замены на бюджетной границе не меньше 162/702 ≈ 0.052, и в некоторой точке (а именно x = 1.25, y = = 2) она равна 0.625. Это и есть найденный выше внутренний оптимум. При I = 15 на бюджетной границе MRSXY ≥ ≥ 162/152 ≈ 1.138 и значения, равного 0.625, на бюджетной линии не существует. Это означает, что потребительский оптимум занимает граничное, или, как его чаще называют в экономике, угловое положение. Таким образом,

Комментарий.

Если при некоторых значениях (x, y), лежащих на бюджетной границе, имеет место неравенство MRSXY > pX /pY , то в интересах потребителя несколько увеличить потребление блага X, соответственно сократив потребление блага Y. Если неравенство имеет противоположный знак, то потребитель может повысить полезность потребляемого набора, сместившись вдоль бюджетной границы в сторону уменьшения