Файл: Mikro_ch2.pdf

Таким образом, функция б) удовлетворяет всем аксиомам предпочтений.

Ответ:

а) нет; б) да; в) нет.

Решение задачи № 3

Если единица блага x замещается a единицами блага y с сохранением уровня полезности, то единица блага y замещается 1/a единицами блага x. Поэтому MRSyx = 1/MRSxy.

Если к тому же единица блага y замещается b единицами блага z при том же условии, то единица блага x замещается ab единицами блага z и поэтому

MRSxy ∙ MRSyz = MRSxz.

Это позволяет найти все неизвестные предельные нормы замещения по известным MRSxy и MRSxz.

Комментарий.

Более формализованный подход связывает предельные нормы замены с производными функции полезности:

MRSxy = ∂U/∂x и т. п.,

∂U/∂y

откуда следуют приведенные выше соотношения. Заметим,

что система предпочтений определяет функцию полезности неоднозначно: если функция U(x, y, …) описывает предпочтения данного потребителя, то точно так же их описывает функция U1(x, y, …) = ϕ(U(x, y, …)), где ϕ — произвольная монотонно возрастающая функция. Но

так что отношение частных производных зависит не от количественной шкалы, в которой отображаются полезности, а лишь от предпочтений индивида.

от цены другого блага, а доля расходов на данное благо в величине дохода зависела только от параметров функции полезности и не зависела ни от дохода, ни от цен.

Постоянство доли расходов (независимость от дохода) означает, что оба блага занимают пограничное положение между необходимыми и роскошными благами. Независимость объема спроса на каждое благо от цены другого блага означает, что блага независимы в потреблении.

Доли расходов на каждое благо зависели не от абсолютных значений параметров α и β, а лишь от их соотношения. Так, решение в п. а) не изменилось бы, если бы показатели степени равнялись не 3 и 2, а, скажем, 15 и 10 или 0.3 и 0.2. Последнее обстоятельство связано с тем, что функции полезности, связанные монотонно возрастающим преобразованием, представляют одну и ту же систему предпочтений (порядковая концепция полезности). Пусть x — вектор, представляющий набор благ, U1(x) и U2(x) — функции полезности, причем U2(x) =ϕ(U1(x)), где ϕ — монотонно возрастающая

функция. В этом случае если U1(x1) > U1(x2), то и U2(x1) > > U2(x2), т. е. набор, оцениваемый функцией U1 как более

предпочтительный, так же оценивается и функцией U2. Возведение в положительную степень — монотонно возрастающее преобразование, и функция x15y10 = (x3y2)5 описывает ту же систему предпочтений, что и функция в задании a). Тот же результат дает и, например, логарифмирование:

U3(x) = 3 ln x + 2 ln y = ln(x3y2).

В заданиях потребитель ограничивался двумя благами, но выводы остаются справедливыми при произвольном числе благ. Пусть x = (x1, x2, …, xn) и

i=1

26 Часть II.

Будем использовать обозначения для предельных по-

Полученное выражение позволяет при заданных ценах выразить расходы на все потребляемые блага через расходы на какое-нибудь одно, например первое:

показывает, что аналогичные выражения справедливы для всех благ: pixi = αiI. Таким образом, если функция полезности имеет вид (1), то доли расходов на отдельные блага в общей сумме не зависят ни от величины дохода, ни от цен. Они представляют собой постоянные величины, пропорциональные параметрам αi, а если эти параметры нормированы в соответствии с равенством (2), то доли совпадают с параметрами. Объем спроса на каждое благо равен xi = αiI/pi.

Решение задачи № 5

Нетрудно заметить, что U1(x, y) = ln U2(x, y). Логарифм — возрастающая функция. Если первый потребитель предпочитает

набор (x1, y1) набору (x2, y2), т. е. если U1(x1, y1) > U1(x2, y2), то U2(x1, y1) > U2(x2, y2), а это означает, что второй потребитель так-

же предпочитает первый набор второму. В рамках порядковой теории полезности предпочтения потребителей неразличимы.