ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.04.2024
Просмотров: 888
Скачиваний: 0
Система координат – совокупность базисных векторов, с началом в заданной точке.
Система отсчета.
rt 2 - rt1 = r2 - r1 = Dr - перемещение т. е. Перемещение – приращение радиус- вектора.
r |
r |
|
r |
|
r |
− r |
- вектор средней |
|
vср =< v |
>= |
|
= |
|
2 |
1 |
||
Dt |
t |
2 |
- t |
|||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
скорости.
Вектор средней скорости показывает изменение перемещения в единицу времени (он всегда направлен по линии
перемещения). Пусть t → 0 тогда:
r |
dr |
r |
r |
′ |
|
limvср = |
|
= v |
= rt |
||
dt |
|||||
|
|
|
|
Где v - вектор мгновенной скорости. Вектор мгновенной скорости направлен по касательной к траектории и равен первой производной радиус-вектора по времени.
(Процесс предельного перехода, с помощью которого определяется производная функции называется дифференцированием.)
r |
r |
r |
|
dx |
r |
|
dy |
r |
|
dz |
|
dx |
|
dy |
|
dz |
, гдеvx ,vy ,vz |
- проекции |
|
v |
= rt |
¢= i |
× |
|
+ j |
× |
|
+ k |
× |
|
Þ vx = |
|
, vy = |
|
, vz = |
|
|||
dt |
dt |
dt |
dt |
dt |
dt |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мгновенной скорости на соответствующие оси.
Путевая скорость.
1) Средняя скорость прохождения пути:
< v >= vср = Dst
2) Мгновенная путевая скорость:
vs = dsdt = st¢
Т. к. S – путь – скалярная величина,
то модуль мгновенной путевой скорости представляет собой абсолютную скорость движения.
vабс = vs
Рассмотрим случай, когда r зависит не от t, а от S, т. е. значение,
7
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
заданного через параметры траектории r , является сложной функцией.
r |
|
dr (S) |
r |
|
dr |
|
dS |
|
dr |
|
|||
v = |
|
|
|
|
v |
= |
|
× |
|
= |
|
× vабс |
|
|
dt |
|
|
dS |
dt |
dS |
|||||||
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
r |
|
r |
|
r |
|
r |
|
|
|
|
||
dr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
= rs¢ |
= τ Þ v |
= τ × vабс |
|
|
|||||||
dS |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
τ характеризует быстроту изменения направления перемещения в расчете на единицу длины траектории (τ - быстрота поворота вектора перемещения, единичный вектор, направленный по касательной к траектории).
t |
|
r |
|
t |
|
r |
|
r |
r |
r |
r |
r |
|
|
2 |
dr |
|
|
2 |
|
|||||||
ò |
|
× dt |
= òv |
× dt |
= rt2 |
- rt1 |
= v(t2 |
- t1) = r2 |
- r1 |
||||
dt |
|||||||||||||
t |
1 |
|
t |
1 |
|
r |
r |
r |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Пусть t1 |
|
|
|
×t2 |
|
|
|||||||
= 0 Þ r2 |
- r0 |
= v |
|
|
|||||||||
УСКОРЕНИЕ В ВЕКТОРНОЙ И КООРДИНАТНОЙ ФОРМАХ.
Рассмотрим годограф скорости:
r |
r |
v |
- вектор |
1) < a |
>= aср = |
t |
|
|
|
|
среднего ускорения характеризует изменение вектора скорости в единицу времени.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
dv |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
a |
= |
|
= |
rt′′ |
- |
вектор |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мгновенного |
ускорения |
равен |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
производной |
|
от |
вектора |
||||
времени. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мгновенной |
|
скорости |
по |
|||||||||
r |
|
|
r |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
r |
|
|
|
|
|
dvx × i + dvy |
× j + dvz × k |
|
r |
|
r |
|
|
r |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
dv |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
3) a = |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= i |
× ax + j |
× ay + k |
× az |
|
|
|||||||
|
dt |
|
dvy |
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
4) ax = |
|
dv |
x |
|
|
ay = |
az = |
dv |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
dt |
dt |
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
r |
|
|
|
|
r |
|
r |
|
|
r |
|
|
r |
|
|
r |
|
|
r |
|
|
r |
|
|
|
||
|
d 2r |
|
|
|
|
|
¢¢ |
|
|
¢¢ |
¢¢ |
¢¢ |
|
|
||||||||||||||
|
a = |
|
|
|
|
|
|
|
= (i × x + |
|
|
|
|
= i |
|
|
|
|
|
|||||||||
5) |
dt 2 |
j × y + k × z)t |
× xt |
+ j × yt + k × zt |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
6) Сравнивая 5) и 3) получаем: ax = xt′′ |
ay = yt′′ |
az = zt′′ где |
ax ,ay ,az - |
|||||||||||||||||||||||||
проекции вектора ускорения на соответствующие оси. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Годограф позволяет упрощать решение задач, если линейная скорость равна
ω * R .
8
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
a = ω × v = ω 2 × R = an
Линейная скорость – зависимость изменения координаты от времени.
Рассмотрим поступательное и вращательное движение: при этом скорость тела характеризуется не только линейной, но и угловой скоростью, а так же нормальным (центростремительным) и тангенциальным ускорением. Линейная скорость меняет свой модуль и направление. Нормальное ускорение зависит от скорости изменения направления движения.
an - изменение линейной скорости по направлению в единицу времени; направлена по радиусу к центру окружности.
n |
- единичный |
|
вектор, направленный в ту же сторону, что и вектор |
|||
нормального ускорения. |
||||||
r |
r |
|
v2 |
r |
2 |
|
an = n |
× |
|
= n ×ω |
|
× R |
|
R |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
aτ - изменение модуля линейной скорости в единицу времени.
|
|
|
d |
r |
|
|
dv |
|
r |
r |
dv |
|
|
|
|||
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
||||||||
aτ |
= |
|
|
|
= |
|
; |
aτ = τ × |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
dt |
|
dt |
dt |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
æ dv ö2 |
æ v2 |
ö2 |
|||||
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
a |
= |
aτ + an |
= |
|
|
|
|
|
ç |
|
÷ |
|||||
|
ç ÷ |
|
|||||||||||||||
|
+ ç |
|
÷ |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è dt ø |
è |
R |
ø |
||||
Тангенциальное ускорение сонаправленно со скоростью, если тело движется ускоренно и направленно в противоположную сторону, если тело движется
замедленно. |
aτ |
|
|
всегда направленно по касательной к траектории. |
||||||||||||||||||||||||||
Ориентация ускорения относительно траектории: |
||||||||||||||||||||||||||||||
r = r (S ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
r |
|
|
r |
|
|
d |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
dv |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
a |
= |
|
|
= |
|
|
|
(τ (S )×v) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
dt |
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
r |
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
= τ (S )×v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
r |
|
|
dτr(S ) |
|
|
|
r |
dv |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
a |
= |
|
|
|
|
|
×v +τ × |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
dt |
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
dτr(S ) |
|
dτr(S ) |
|
dS |
|
|
|
|
dτr |
|
r |
|
2 |
|
dτr |
r |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
× |
|
|
|
= v × |
|
|
Þ a |
= v |
|
× |
|
+τ × aτ |
|||||
|
|
dt |
|
|
|
|
|
dS |
|
dt |
|
dS |
|
dS |
||||||||||||||||
Найдем угол между |
dτ |
иτr : |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
dS |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
dτ |
r |
|
|
|
|
|
d(τ ,τ ) |
|
|
|
|
|
|
|
dτ |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
×τ = 0.5 × |
|
|
|
|
= 0.5 × 2 ×τ × |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
dS |
|
dS |
|
|
dS |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
9
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
Т. к. |
|
r |
|
|
|
|
|
|
dτ |
|
|
|
dτ |
|
r |
Þ он направлен по радиусу кривизны. |
||||||||
|
τ |
|
= τ = const Þ |
|
|
= 0 Þ |
|
^ v |
||||||||||||||||
|
|
dS |
dS |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
dτ |
|
|
- вектор характеризующий быстроту поворота касательной к траектории |
||||||||||||||||||||
|
dS |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
движения в расчете на единицу длины траектории. |
||||||||||||||||||||||||
|
dτr |
|
|
= k = |
1 |
- кривизна траектории |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
dS |
R |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
dτ |
|
|
|
|
r |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
= n × |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
dS |
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
r |
|
|
r |
1 |
|
|
|
2 |
r |
|
v2 |
dv |
|
||||||||||
a = n |
× |
|
× v |
|
+τ × aτ Þ an = |
|
|
,aτ = |
|
|
|
|||||||||||||
R |
|
R |
dt |
|
||||||||||||||||||||
Рассмотрим 3 способа описания движения:
1)векторный
2)координатный
3)естественный
1 |
2 |
3 |
|
|
|
r (t) = r |
x = x(t), y = y(t), z = z(t) |
S = S(t) |
r |
|
dr |
|
r |
|
r |
vx = |
dx |
,vy = |
dy |
|
= |
dz |
vабс = |
dS |
|
< v >= |
S |
||||
v |
= |
|
|
< v |
>= |
|
|
|
,vx |
|
|
|
|
|
|
|||||||
dt |
t |
dt |
dt |
dt |
dt |
|
t |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dv |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
r |
= |
= rt′′ |
|
|
′′ |
′′ |
|
′′ |
|
|
|
dv |
|
= St′′ |
|
||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
dt |
|
ax = xt |
,ay = yt ,az |
= zt |
a = |
dt |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Кинематика вращательного движения точки.
При вращении материальной точки рассматриваются две величины: ω,ε
r |
Dϕ |
< ω >= |
Dt |
r r
dϕ = ω × dt - элементарное угловое перемещение
Элементарное угловое перемещение характеризуется не только численным значением, но и плоскостью в которой происходит вращение Þ dϕ ^ этой плоскости. Ориентация плоскости определяется перпендикуляром к ней.
Свойством быть вектором обладают лишь элементарные угловые перемещения т. к. если бы конечные перемещения были векторами, то в таких условиях результирующий вектор не равен сумме слагаемыхÞ Dϕ - не вектор.
Угловое перемещение считается вектором, если оно мало и правило сложения векторов выполняется.
r,v,a - естественные векторы
10
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com