Файл: Лекции Механика для студентов Физика.pdf

На диаграмме (1.23) работа Aε равна численно заштрихованной площади.

Опыт, однако, показывает, что если деформации выйдут за область упругости, то при снятии внешних нагрузок в теле будут существовать остаточные деформации εост (рис. 1.24). Чтобы их устранить, надо приложить

сжимающую силу(σ < 0) . Такое неоднозначное поведение деформации в

зависимости от приложенных напряжений носит название упругого гистерезиса.

При периодически повторяющихся деформациях диаграммаσ (ε ) изобразится замкнутой кривой, которая называется петлей гистерезиса. Площадь этой петли, очевидно, в соответствии с законом сохранения энергии, равна количеству тепла, идущего на нагревание тела. Когда деформации не выходят за пределы линейного участкаσ (ε ) , гистерезис отсутствует. На практике детали механизмов, испытывающие многократные, периодически повторяющиеся деформации, делают из материалов с большой величиной предела пропорциональностиσ п . Так, например, для закаленной

пружинной стали, этот предел, как видно из таблицы, имеет очень высокую величину: σ п =7500 кг/см2 .По этой причине, например, пружины клапанов

двигателей делают из закаленной стали.

Рис. 1.24.

На линейном участке, гдеσ = Eε,σT = Gγ , интегралы (1.63) и (1.64) легко вычисляются:

В этом случае работа затрачивается только на увеличение потенциальной энергии упругой деформации. В единице объема деформированного тела

запасается энергия

259

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Величины и носят название объемных плотностей энергии деформации растяжения и сдвига соответственно. Они играют определенную роль при подсчете количества энергии, переносимой акустической волной в сплошных средах.

260

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Жидкость и газ в состоянии равновесия. Условия равновесия. Законы Паскаля. Распределение давлений в жидкости, находящейся во внешнем

поле. Плавание тел.

Под действием внешних сил в жидкости и газах, как и в твердых телах, могут возникать внутренние напряжения. Рассматривая их как сплошные среды, мы отметим, что жидкости, не имея определенной формы, сохраняют практически неизменным свой объем. Газы же не имеют ни определенной формы, ни фиксированного объема.

В жидкости (далее этот термин будет использоваться и для газов, за исключением только отдельно оговариваемых случаев) силы сцепления между молекулами малы, и жидкость не оказывает сопротивления

растяжению Однако при сжатии силы отталкивания между молекулами могут быть весьма значительными. По этой причине говорят не о растягивающих напряжениях , а о давлениях , как об отрицательных (сжимающих) напряжениях. Совокупность давлений pij, действующих на площадки, ограничивающие элемент жидкости, называется тензором давлений.

Опыт показывает, что в покоящейся или медленно движущейся жидкости тангенциальные давления pij (i\ne j), связанные с вязкостью жидкости, отсутствуют. В этом можно убедиться, заставив, например, массивное тело, плавающее на поверхности жидкости, перемещаться вдоль поверхности под действием сколь угодно малой силы. В этой ситуации касательные напряжения, передаваемые от верхнего (увлекаемого телом) слоя к нижним слоям жидкости, пренебрежимо малы.

Закон Паскаля.

Если пренебречь вначале силами тяготения, действующими на каждую частицу жидкости (или силами инерции, если таковые существуют),

то из простейших соображений относительно условий равновесия элемента жидкости следует, что

при этом давление p, являющееся скалярной величиной, одинаково во всех точках объема, занятого покоящейся жидкостью. Условие (2.1) автоматически обеспечивает не только равенство нулю суммы сил давления, приложенных к данному элементу, но равенство нулю суммарного момента этих сил.

Для его доказательства рассмотрим неподвижную жидкость, помещенную в цилиндрический сосуд сечением S1, закрытый сверху поршнем (рис. 2.1, левый сосуд). Если надавить на поршень с силой F1, то в жидкости будут созданы внутренние напряжения (давления). На единицу

261

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

поверхности элемента жидкости будет действовать сжимающая сила fii = - piini, направленное противоположно внешней нормали ni к i-ой поверхности (на рис. 2.1 изображены только две силы).

Рис. 2.1.

Поскольку силы, действующие на противоположные грани кубика, равны по величине, то p11=F1/S1. Равенство давлений p11 и р22 следует из условия равновесия половины кубика, выделенного более темным цветом и изображенного на фрагменте. Действительно, f11=f22=f/, поэтому р22=р11.

Рассматривая равновесие элементарных объемов в различных точках жидкости, получим условие:

(2.2)

которое и является математическим выражением закона Паскаля.

Если этот сосуд соединить при помощи трубки с другим цилиндрическим сосудом сечением S2, то при открывании крана K внутренние напряжения по жидкости, находящейся в соединительной трубке, в соответствии с законом Паскаля передадутся во второй сосуд (рис. 2.1). На поршень, его закрывающий, жидкость будет давить вверх с силой

(2.3)

Если S2>S1, то развиваемое усилие F2>F1. Этот выигрыш в силе используется во многих гидроприводящих устройствах (гидроприводах): в приводе ковша экскаватора, рулей ракет и самолетов. На этом же принципе работает гидравлический пресс, гидравлический домкрат и т.д.

В системе СИ за единицу давления принимается Паскаль (Па), при этом 1Па=1Н/1м2. В технике в качестве единицы давления используется техническая атмосфера: 1ат=1кГс/1см2=9,8*104 Па.

Жидкость во внешнем поле.

Рассмотрим напряжения, возникающие в жидкости, находящейся в поле тяжести или в поле сил инерции, когда сосуд с жидкостью может двигаться с ускорением.

262

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Пусть к кубическому элементу жидкости объемом dV=dxdydz приложена внешняя сила FdV (F - сила, приложенная к единице объема жидкости, (рис. 2.2). В результате возникающих внутренних напряжений на нижнюю грань кубика с координатой x и площадью dy*dz в положительном направлении оси x действует сила давления величиной p(x,y,z)dydz, а на верхнюю грань - p(x+dx,y,z)dydz. При равновесии кубика, очевидно, необходимо, чтобы

Рис. 2.2.

Аналогичные по смыслу равенства должны быть записаны и по двум оставшимся осям координат:

Разделив левые и правые части записанных выше равенств на объем элемента, получаем условия равновесия в виде дифференциальных

уравнений

(2.5)

Уравнения (2.5) показывают, что давление не остается постоянным и изменяется в тех направлениях, по которым действует внешняя сила. Если

ввести вектор градиента давления

(2.6)

263

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

где ex, ey и ez - единичные векторы вдоль осей координат, то уравнения (2.5) запишутся в более компактном векторном виде

В соответствии со смыслом введенного в предыдущих лекциях вектора градиента скалярной величины из (2.7) следует, что давление наиболее быстро нарастает в направлении действия внешней силы F, а в перпендикулярных направлениях остается постоянным. Таким образом, можно говорить о поверхностях равного давления, нормаль к которым в

каждой точке совпадает с направлением приложенной в этой точке внешней силы. Несложно рассчитать распределение давлений по объему жидкости, если принять во внимание, что компоненты внешней силы F выражаются через производные пока неизвестной скалярной функции координат p(x,y,z). Это означает, что сила F должна быть потенциальной и, следовательно, может быть выражена через потенциальную функцию U (потенциальную энергию единицы объема жидкости во внешнем поле) следующим образом:

Подставив (2.8) в (2.7), получим

Константа в (2.9) определяется из условия нормировки потенциала и давления.

Жидкость в поле силы тяжести.

Пусть несжимаемая жидкость (например, вода) находится в поле тяжести , при этом . Для расчета распределения давлений удобно направить ось x вдоль силы тяжести, совместив ее начало со свободной поверхностью жидкости. Поскольку потенциальную функцию можно записать в виде (нормировка потенциала такова, что U(0)=0), то распределение давлений по глубине определяется из

соотношения

(2.10)

Константа C определяется из условия равенства давления на поверхности воды атмосферному давлению p0. Следовательно,

264

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com