ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.04.2024
Просмотров: 887
Скачиваний: 0
ω,dϕ,ε |
- аксиальные векторы |
||
r |
|
dω |
|
ε = |
|
|
|
|
dt |
r |
|
< εr |
|
|
|
>= |
ω |
||
|
|
|
t |
Связь между линейными и угловыми кинетическими параметрами.
|
r |
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ìv |
^ ω |
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
r |
|
r |
|
|
|
|
r |
= |
|
r |
× |
|
|
v |
×sin α |
|
|
|
|||||||||||||||
ír |
|
|
r |
Þ v |
|
= r |
´ω Þ |
v |
r |
|
ω |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
îr |
^ v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
] |
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
r |
|
r |
r |
r |
r |
|||||||||
|
r dv |
|
|
|
|
d[ω, r |
|
|
dω |
|
|
|
r dr |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
a |
= |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
´ r |
+ |
|
´ω = ε ´ r |
+ ω ´ v |
||||||||||||||||||||
dt |
|
|
|
|
|
|
|
dt |
r |
|
|
|
dt |
|
dt |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
r |
|
|
r |
|
|
r |
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
a |
= ε ´ r |
+ ω ´ v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
r |
|
r |
= |
|
r |
× |
|
|
r |
|
|
|
|
|
r |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
ε ´ r |
|
ε |
r |
|
×sin(ε |
, r ) = ε × r = |
aτ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
r |
|
|
r |
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
o |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
v2 |
|
|
r |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
ω *v |
= |
ω |
|
× |
|
v |
|
×sin 90 |
|
= ω |
|
× R = |
|
|
|
|
= |
|
an |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
r |
r |
|
r |
|
|
|
|
r |
r |
|
|
r |
× ay + k × az |
||
a |
|
= aτ + an |
= τ × aτ |
|
+ n × an |
= i |
× ax + j |
||||||||||||
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= a2 |
+ a2 |
+ a2 |
|
= a2 + a2 |
|
= ω 4 × R2 + ε 2 × R2 |
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
a |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|
z |
|
|
|
|
τ |
n |
|
|
|
|
|
r |
|
|
r |
é рад |
|
1 |
|
|
ù |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
dω |
|
= с−2 |
|
|
|
|
||||||||||
ε = |
dt |
ê |
|
2 |
= |
|
|
|
ú |
|
|
|
|
||||||
с |
с |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
ë |
|
|
|
|
|
û |
|
|
|
|
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТ И КОМПОНЕНТ ВЕКТОРА. ИНВАРИАНТНЫЙ ХАРАКТЕР ВЕКТОРА.
Рассмотрим геометрические преобразования координат. Используя векторные преобразования найдем формулы преобразования координат.
Формулы преобразования координат – формулы, связывающие координаты точки в одной системе с её координатами в другой.
Рассмотрим две трехмерные декартовы системы координат начала которых определяет a , а оси повернуты относительно друг друга на некоторый угол.
11
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
A(x′, y′, z′) - в штрихованной системе координат A(x, y, z) - в нештрихованной системе координат r = r′ + a
r |
r |
r |
r¢ |
¢ |
r¢ |
× y |
¢ |
r¢ |
× z |
¢ |
r |
(1) |
i |
× x + j |
× y + k |
× z = i |
× x |
+ j |
|
+ k |
|
+ a |
Умножим обе части уравнения скалярно на i
|
r |
|
2 |
r |
|
r |
r r |
¢ |
× x |
¢ |
+ |
r |
¢ |
× y |
¢ |
r |
¢ |
|
¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
i |
|
|
× x = i |
× a |
+ i (i |
|
|
j |
|
|
+ k |
|
× z ) |
|
||||||
x = ax + x |
¢ |
|
r r¢ |
+ y |
¢ |
|
r r¢ |
|
|
¢ |
|
r |
r |
¢ |
|||||||
|
× (i , i ) |
|
× (i , j ) + z |
|
× (i , k ) |
Пусть:
x = x1 |
x′ = x′ |
|||
y = x2 |
|
|
1 |
|
y′ = x2′ |
||||
z = x3 |
z′ = x3′ |
|||
ir -1 |
r′ |
′ |
||
r |
|
i |
|
−1 |
- 2 |
r |
|
|
|
j |
′ |
′ |
||
|
|
j |
||
r |
|
|
− 2 |
|
- 3 |
r |
|
|
|
k |
′ |
′ |
||
|
|
k |
||
|
|
|
− 3 |
Тогда:
x |
1 |
= a |
|
+ x |
′ |
×α |
11′ |
+ x |
|
′ ×α |
12′ |
+ x |
3 |
′ ×α |
13′ |
|||||
|
|
x1 |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||
x |
2 |
= a |
+ x |
¢ |
×α |
21′ |
+ x |
¢ ×α |
22′ |
+ x |
¢ |
×α |
23′ |
|||||||
|
|
|
x2 |
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
||||
x3 |
= ax3 |
+ x1¢¢ ×α31′ + x2¢ ×α32′ + x3¢ ×α33′ |
Обратные преобразования координат:
r = r′ + a |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r¢ |
|
|
|
|||
r |
|
r |
|
× z |
|
|
|
r |
|
r¢ |
|
|
¢ |
|
r¢ |
× y |
¢ |
|
× z |
¢ |
(2) |
|||||
i |
× x + j |
× y + k |
|
- a = i |
× x |
+ j |
|
|
+ k |
|
||||||||||||||||
x |
¢ |
= -a |
x ′ |
+ x ×α |
1′1 |
+ x |
2 |
|
×α |
|
|
+ x ×α |
1′3 |
|
|
|
||||||||||
1 |
|
1 |
|
|
|
|
1′2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
¢ |
= -a |
+ x ×α |
2′1 |
+ x ×α |
2′2 |
+ x ×α |
2′3 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
2 |
|
x2′ |
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x |
¢ |
= -a |
+ x |
×α |
3′1 |
+ x |
|
×α |
3′2 |
|
+ x |
|
×α |
3′3 |
|
|
|
|||||||||
3 |
|
x3′ |
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
Если в одной системе координат известны проекции вектора, то их можно определить и в другой, оси которой произвольным образом ориентированы относительно осей первой системы. Необходимо знать расположение начала координат и углы между осями.
Рассмотрим инвариантный характер вектора:
12
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
|
r |
× Ax |
|
r |
× Ay + k × Az |
||||||
A = i |
+ j |
||||||||||
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
= |
|
A2 |
+ A2 + A2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
x |
|
|
y |
z |
|
|
|
|
r |
r |
¢× Ax |
¢ |
+ |
r |
¢ |
|
|
r |
¢ |
|
A |
= i |
|
j¢ × Ay |
|
+ k |
¢× Az |
|||||
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
= |
¢2 |
|
|
¢2 |
|
¢2 |
|
|
||
|
Ax |
|
+ Ay + Az |
|
Компоненты вектора в разных системах отсчета разные, а его модуль неизменен.
Величины, численные значения которых не изменяются при преобразованиях координат называются инвариантами, а те, которые изменяются – вариантами.
Вектор – упорядоченная совокупность трех чисел, представляющих собой величины, зависящие от системы координат и преобразующиеся при повороте этих систем так же, как преобразуются компоненты вектора.
Рассмотрим инерциальные системы отсчета и принципы относительности Галилея.
Физические преобразования координат:
Системы отсчета
Инерциальные Неинерциальные
Система отсчета – совокупность неподвижных друг относительно друга тел, по отношению к которым рассматривается движение, и отсчитывающих время часов.
ИСО – такие системы отсчета, которые движутся поступательно, равномерно и прямолинейно относительно друг друга.
Неинерциальные СО – такие системы отсчета, которые движутся прямолинейно, поступательно и ускоренно относительно друг друга, или вращающиеся системы отсчета.
ИСО:
1)Пространство имеет три измерения и подчиняется Евклидовой геометрии.
2)Независимо от трехмерного пространства существует время, но вместе с этим время всегда связано с пространством законами движения.
3)Признается справедливость закона инерции Галилея-Ньютона и существование инерциальных систем, где выполняются законы Ньютона.
4)Признается, что во всех инерциальных системах механические явления
протекают одинаково в соответствии с принципом относительности
13
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
Галилея. Во всех ИСО законы классической механики имеют одинаковую форму.
5)Все ИСО всегда эквивалентны друг другу и ни одна система не отличается от другой.
6)Соблюдается принцип дальнодействия. Т. е. взаимодействие осуществляется мгновенно.
7)Время в ИСО абсолютно и неизменно.
8)Движение в этих системах должно рассматриваться только относительно одной системы отсчета.
МЕХАНИКА
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ
Нерелятивистская механика, как и релятивистская рассматривает движение тел, но их скорости различны:
Нерелятивистская: скорости тел много меньше С. Релятивистская: скорости тел соизмеримы с С.
Преобразования Галилея – преобразования в нерелятивистской механике.
Пусть К – неподвижная система отсчета, K ′ - движется со скоростью V вдоль оси ОХ.
Причем |
при |
t=0 |
O и O′ |
совпадаютÞ OO′ = x = v × t . |
|
||
Т. к. движение |
параллельно |
ОХ, то: |
|
y = y′, z = z′,r = r′ + v ×t |
|
|
Время абсолютно и неизменно для всех ИСО. Это интуитивное предположение принимается без доказательств в классической механике.
Векторные прямые преобразования Галилея для ИСО:
ìt = t′
ír¢ = r - r ×
îr r v t
Скалярные преобразования Галилея для ИСО:
ìx′ = x - v ×t ïïy¢ = y
íïz¢ = z ïît¢ = t
14
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
Систему K ′ можно считать неподвижнойÞ К-система будет двигаться относительно K ′ со скоростью − v .
Обратные преобразования Галилея:
ìr = r¢ + íît = t¢
ìx = x¢ +
ïïy = y¢ íïz = z¢
ïît = t¢
v×t
v×t Время – инвариантная величина, а координаты – инвариантные.
Пусть в K ′-системе находится неподвижный стержень. Одновременно зафиксируем его концы.
ìïx1′, x2′
K ¢ : ïíy1¢, y2¢ Þ длина стержня в неподвижной К¢ системе :
ïïz ¢, z ¢
î 1 2
l¢ = (x2¢ - x1¢)2 + (y2¢ - y1¢)2 + (z2¢ - z1¢)2
ìx , x
K: ïíy1 , y2 Þ длина стержня в К системе : l = (x2 - x1 )2 + (y2 - y1 )2 + (z2 - z1 )2
ïîz1 , z21 2
Т. к.
y = y¢, z = z¢, x = x¢ + v ×t,t1 = t2 Þ x1′ - x2′ = x1 - x2 , y1′ - y2′ = y1 - y2 , z1′ - z2′ = z1 - z2 Þ
l = l′ Þ l – инвариант в преобразованиях Галилея. |
|
||||||||||
Закон сложения скоростей: |
|
|
|||||||||
Т. |
к. |
r в K и K′ |
зависит от tÞ U x = |
dx′ |
Система K ′ |
движется параллельно |
|||||
dt |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ОХÞ из преобразований Галилея: |
|
|
|||||||||
ì |
¢ |
|
d(x - v ×t) |
|
dx |
|
|
|
|
||
ïUx |
= |
|
|
= |
|
- v = Ux - v |
|
|
|||
|
dt |
dt |
|
|
|||||||
ï |
|
|
dy¢ |
|
|
|
|
|
|||
¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ï |
|
|
|
|
- закон сложения скоростей в преобразованиях |
||||||
ïíU y |
= |
|
= U y |
|
|
||||||
dt |
|
|
|||||||||
ï |
¢ |
= Uz |
|
|
|
|
|
|
|
||
ïUz |
|
|
|
|
|
|
|
||||
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Галилея.
- скорость тела относительно неподвижной системы.
- скорость тела относительно подвижной системы отсчета.
Uабс = Uотн +Uпереносная
15
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com