Файл: Лекции Механика для студентов Физика.pdf

(2.11)

Если принять атмосферное давление Па, плотность воды кг/м3, то из (2.11) легко посчитать, что с увеличением глубины на каждые 10 метров (=10 м) давление увеличивается на величину атмосферного давления () . Важно отметить, что возрастание давления с глубиной не зависит от формы сосуда, в который налита жидкость. Яркой иллюстрацией

справедливости этого утверждения является одинаковость уровней жидкости в двух сообщающихся сосудах произвольной формы (рис. 2.3). Действительно, равенство двух горизонтальных сил давления,

обеспечивающих равновесие кубика жидкости в нижней части сообщающихся сосудов возможно лишь при равенстве высот столбов воды в обоих сосудах.

Рис. 2.3.

Проиллюстрируем несколько экспериментов с сообщающимися сосудами. Пусть оба колена U-образного сосуда (рис. 2.4) разделены подвижной перегородкой П, при этом правое колено заполнено водой, а левое - ртутью, плотность которой более чем в 10 раз превышает плотность воды ( ). Очевидно, равновесие в этой ситуации достигается при высоте столба ртути , значительно меньшей высоты столба воды h. Уместно помнить, что столб ртути высотой h1=760 мм уравновешивает давление 10-метрового столба воды, или почти 10-километрового столба атмосферы. Поэтому для измерения атмосферного давления используют ртутные манометры, а атмосферное давление измеряют в миллиметрах ртутного столба. Такой манометр представляет собой два сообщающихся сосуда, заполненных ртутью. Один из сосудов в виде тонкой трубки заполнен сверху и из него удален воздух, а второй сообщается с атмосферой (рис. 2.5).

Рис. 2.4.

265

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Рис. 2.5.

Если измеряемые давления на 1-2 порядка меньше атмосферного давления, то можно использовать и водяные манометры.

Завершая описание равновесия жидкости, отметим, что в Мировом океане из-за больших глубин формула (2.11) нуждается в уточнении, т.к. плотность увеличивается с глубиной. За исключением нескольких

необычных мест она может меняться от географического положения в пределах 2% от постоянной величины = 1035 кг/м3. Обычно колебания плотности обусловлены колебаниями температуры и солености воды.

Плавание тел. Закон Архимеда.

Из повседневной практики известно, что на тела, погруженные в жидкость, действует выталкивающая сила, направленная вертикально вверх. Эта сила является результатом действия сил давления fi= -pni рис. (2.8) и

равна

(2.20)

Здесь - площадь элемента поверхности тела, ni единичный вектор, перпендикулярный поверхности, суммирование производится по всем элементам поверхности.

266

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Рис. 2.8.

Выталкивающая сила FA , называемая силой Архимеда, может быть подсчитана при учете распределения давления по глубине (2.11) и оказывается равной весу вытесненной жидкости. Предоставляя читателю сделать такой подсчет самостоятельно, вычислим ее, исходя из более простых соображений. Извлечем из сосуда тело и дольем ту же жидкость, восстановив ее прежний уровень (рис. 2.9). Если затем мысленно выделить часть жидкости, замещающую извлеченное тело, то на нее действуют те же силы давления, что и на погруженное тело (см. формулу 2.20). Их сумма FА не только уравновешивает силу тяжести (FA=-mg, m - масса вытесненной жидкости), но и имеет равнодействующую, приложенную к центру масс вытесненной жидкости, или к центру объема O. Центр масс погруженного тела O1 может не совпадать с центром объема O. Это несовпадение имеет большое значение для устойчивого плавания тел, погруженных в жидкость (в кораблестроении используется термин остойчивость). На рис. 2.10 схематично изображено поперечное сечение батискафа, погруженного в воду, при этом его центр тяжести, к которому приложена сила тяжести m1g (m1 - масса батискафа), находится ниже точки приложения Архимедовой силы. Естественно, что при боковом наклоне батискафа момент указанной пары сил будет возвращать его в вертикальное положение.

Рис. 2.9.

267

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Рис. 2.10.

Для тел, плавающих на поверхности жидкости, центр их тяжести всегда будет расположен выше центра объема, погруженного в жидкость, и остойчивость плавания (корабля, например) достигается выбором подобающей формы корабля и его загрузки. Хорошо известно, что карандаш никогда не плавает на поверхности жидкости в вертикальном положении. Пара сил, возникающая при неизбежном случайном отклонении карандаша от вертикали, немедленно "укладывает" его на поверхность (рис. 2.11а). Устойчиво будет плавать "горизонтальный карандаш". При его малейшем наклоне (ситуация б) он будет возвращаться в исходное горизонтальное положение. В судостроении форму судна с учетом его загрузки рассчитывают таким образом, чтобы метацентр М находился выше центра масс судна в т. О. Этот метацентр является центром кривизны кривой O1''O1O1', проходящей через центры объемов погруженных частей корпуса корабля, сменяющих друг друга при его боковой качке (рис. 2.12). Из рисунка видно, что метацентр находится на пересечении плоскости симметрии судна с линией действия Архимедовой силы. При строительстве судов добиваются того, чтобы расстояние OM в несколько раз превышало расстояние OO1.

Рис. 2.11.

268

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Рис. 2.12.

Рассмотрение гидростатики несжимаемой жидкости было бы не полным, если бы мы не коснулись вопроса о силах давления, действующих на дно и стенки сосуда с жидкостью. Удобно это сделать, обратившись непосредственно к примерам.

Пример 1. Если в цилиндрический сосуд с площадью основания S налита вода, масса которой m, до уровня H (рис. 2.13а), то давление жидкости на дно сосуда (без учета силы атмосферного давления) приведет к возникновению силы , равной весу налитой жидкости. Если на поверхность жидкости опустить плавающее тело массы m1 , то давление на дно жидкости увеличится на величину , где - высота подъема уровня жидкости (рис. 2.13б). Дополнительная сила, приложенная ко дну, . Поскольку объем цилиндрического слоя равен объему погруженной части тела, то величина равна силе Архимеда и, естественно, . Показания весов, на которые поставлен сосуд с водой, при помещении в него плавающего тела возрастут на эту величину.

Рис. 2.13.

Пример 2. Если два легких конических сосуда одинаковой высоты наполнить водой и расположить их так, как показано на рис. 2.14 , то в ситуации (а) сила давления на дно сосуда с площадью сечения S2 будет больше веса жидкости: . В ситуации (б), наоборот, . Между тем, при взвешивании сосудов весы покажут одинаковый результат. На первый взгляд, мы столкнулись с парадоксом. Парадокс, однако, разрешается просто, если мы примем во внимание, что весы измеряют силу давления сосуда на чашку весов, равную той силе, с которой жидкость действует на весь сосуд, включая действие на его наклонные боковые стенки. В обеих ситуациях сумма всех этих элементарных сил одинакова и равна весу жидкости mg.

269

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Рис. 2.14.

Равновесие сжимаемой жидкости.

При внутренних напряжениях плотность газов не остается постоянной. Можно считать, что давление является функцией плотности (), причем вид этой функции, как будет показано ниже, задается условиями, при которых находится газ. Поэтому в механике сплошных сред в этих случаях оперируют с плотностью силы F , то есть с силой, приложенной к единице массы, которая связана с силой F в (2.7) соотношением

(2.21)

Тогда условие равновесия (2.7) примет вид

(2.22)

Влевую часть этого равенства входят давление и плотность, являющиеся неизвестными функциями координат, а правая часть обычно известна.

Вполе силы тяжести . В этом случае поверхностями равных давлений и плотностей будут горизонтальные плоскости, две из

которых p(x1) = p1 и p(x) = p изображены на рис. 2.15. Если мы введем

вспомогательную функцию

(2.23)

то (2.22) может быть переписано в виде, аналогичном (2.7):

(2.24)

Вводя далее для единицы массы потенциальную энергию U1, с

которой внешняя сила связана соотношением

270

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com