Файл: Лекции Механика для студентов Физика.pdf

Тогда угол сдвига

Таким образом, недиагональные компоненты тензора деформаций определяет сдвиговые углы в соответствующих плоскостях.

Упругие напряжения. Модули Юнга и сдвига. Энергия упругих деформаций.

Элементарные деформации. Коэффициент Пуассона.

При всем многообразии случаев произвольную деформацию тела можно свести к двум элементарным деформациям - растяжению (сжатию) и сдвигу.

Обратимся к опыту. Закрепим один конец резинового шнура длиной l и потянем за другой конец с постоянной силой. Шнур придет в новое положение равновесия с длиной l1 > l (рис. 1.1). Такую простейшую

деформацию можно охарактеризовать относительным удлинением

Рис. 1.1.

Деформацию сдвига можно наблюдать в опыте с резиновым кубиком, если закрепить, например, его нижнее основание, а к верхнему основанию приложить касательную силу. (рис. 1.2)Деформация в этом случае будет

характеризоваться параметром

зависящим от угла сдвига , который в большинстве практически важных случаев мал, и .

Рис. 1.2.

254

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Отметим также известный факт, что при растяжении резинового шнура его поперечный размер d уменьшается до величины d1. Такое поперечное сжатие

характеризуется параметром

одинаково для разных деформаций одного и того же материала. В теории

упругости материал характеризуется коэффициентом Пуассона

Каково численное значение коэффициента Пуассона? Чтобы ответить на этот вопрос, посчитаем изменение объема резинового шнура.

В отсутствие деформации его объем V = ld 2 , объем же

деформированного шнура

Впоследнем выражении мы пренебрегли малыми величинами ε 2 , 2εε иεε 2 .

Сучетом (1.4) относительное изменение объема запишется в виде

Поскольку при растяжении (ε > 0 ) объем никогда не уменьшается, то

0 < μ ≤1/ 2 .

Для изотропных материалов, имеющих одинаковые механические свойства по всем направлениям, коэффициент Пуассона1/ 4 ≤ μ ≤1/ 3, в частности, для металлов μ = 3/10 .

Упругие тела.

Как уже отмечалось выше, при деформациях возникают внутренние напряжения, силы которых, в общем случае, зависят не только от деформаций, но и от скоростей, с которыми эти деформации происходят. В этом легко убедиться, если взять полимерное вещество, которое при обычных условиях медленно растекается подобно замазке, принимая форму сосуда, в котором оно находится. Можно без особых усилий изменить его форму, если делать это медленно. Однако, если вылепить шарик, то легко обнаружить, что такой шарик обладает хорошими упругими свойствами, подскакивая практически после удара об пол на ту же высоту, с которой он был брошен без начальной скорости. Этот опыт показывает, что силы деформации, подобно силам вязкого трения, возрастают по мере увеличения

255

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

скорости деформации. В ряде практически важных случаев силы напряжения определяются только деформациями. Такие тела, в которых это имеет место, называются абсолютно упругими телами, или упругими телами.

Замечательным свойством таких тел является способность полностью восстанавливать свою форму после снятия внешних усилий, прикладываемых к телу.

Рассмотрим, например, растяжение (или сжатие) стержня (рис. 1.1) с силой F, приложенной перпендикулярно к торцевой грани с площадью сечения S. Опыт показывает, что при последовательном возрастании

нагрузки вначале деформации развиваются равномерно по длине стержня и растут пропорционально нагрузке, т.е.

напряжениям выражает закон Гука. Коэффициент пропорциональности

называется коэффициентом удлинения и для каждого материала определяется опытным путем. Так как численные значения гораздо меньшеε , то x- весьма малая величина. Поэтому обычно вводят модуль

Опыт показывает, что этот закон выполняется лишь в определенном интервале напряжений. Если растягивать стержень, последовательно увеличивая от нуля возрастающую силу, то каждый раз, после снятия нагрузки, деформация исчезает. Однако при некотором напряженииσ ³ σ y

появляется заметное остаточное удлинение. Это напряжение называется пределом упругости. На рис. (1.7) изображена зависимость деформаций от напряжений, называемая диаграммой растяжений. Следует отметить, что закон Гука выполняется только в части области упругости - области пропорциональности, когда0 £ σ £ σ п .

Рис. 1.7.

256

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

При возрастании нагрузки наблюдается явление текучести, т.е. внезапный рост удлинения образца при постоянной нагрузке σT , называемой пределом текучести. Отметим, что течение материала происходит равномерно по всей длине стержня. За пределами области текучести дальнейшее удлинение стержня сопровождается увеличением σ . Однако деформации будут распределены уже неодинаково по дине стержня (рис. 1.8.) - в некотором месте можно заметить образование шейки. При напряженииσ м , называемом

пределом прочности, в этом ослабленном сечении происходит разрыв.

Рис. 1.8.

То напряжение, которое данный материал может выдержать на практике, не разрушаясь и не получая опасной деформации, называют допустимым и обозначают[σ ]. Обычно[σ ]< σ п , и все расчеты проводят на основе законов

Гука. Чтобы обеспечить прочность при всех обстоятельствах допустимое напряжение выбирается как часть предела прочности, в частности, для металлов[σ ]= 0.2σ м , а для дерева[σ ]= 0.1σ м .

Следует отметить, что наибольшие деформации, которые может выдержать материал, не определяются протяженностью области текучести. Если область текучести велика, то материал называется пластичным. Такой материал, как, например, сталь, способен выдерживать большие нагрузки без разрушения. Наоборот, если область текучести невелика, то этот материал хрупок. Хрупкие материалы, как чугун, например, разрушаются при деформацияхε ³ εп . Однако в ряде случаев пластичные материалы могут

разрушаться и при малых деформациях ε » εп (например, сталь при

температуре ниже -45С).

Аналогичными свойствами обладают и сдвиговые деформации. В частности, в области пропорциональности связь между деформациями сдвига и касательным напряжением (рис. 1.2) задается соотношением

введенному выше нормальному напряжению, а G - модуль сдвига, являющийся, как и модуль Юнга, также характеристикой материала.

Энергия упругих деформаций.

257

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

При деформации внешние силы совершают работу. Эта работа в общем случае идет на увеличение потенциальной энергии (нагревание тела). Так, например, если мы будем пытаться переломить проволоку, то место ее многократного изгиба может сильно нагреться, прежде чем проволока переломится.

В реальных телах возникающие силы внутренних напряжений зависят не только от величины деформаций, но и от их скорости. Поэтому работа против таких сил, называемых силами "внутреннего трения" и идет на нагревание тела. С этими силами и связаны пластические деформации, когда

не выполняется закон Гука и существуют остаточные деформации при прекращении внешнего воздействия.

Рис. 1.22.

Посчитаем работу, затрачиваемую на малую деформацию элемента объема тела. При растяжении предварительно уже деформированного кубика (рис.1.22) на величину dx элементарная работа

Поскольку, как следует из рис. 1.7, σε - нелинейная функция

деформаций, то полная работа, затрачиваемая на приведение тела в деформационное состояние, равна

По аналогии, работа при сдвиге задается интегралом вида:

Рис. 1.23.

258

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com