Файл: n1.pdf

Оценим погрешность полученного значения. Имеем:

f "(x) = (e −x2 )" = (4x2 – 2) e −x2 .

Нетрудно убедиться, что | f "(x)| ≤ M2 = 2. Поэтому по формуле(5.4)

| I – Iпр | ≤ 2241 (0.1)2 ≈ 0.84 10-3.

5.3. Метод трапеций

Выведем формулу трапеций так же, как и формулу прямоугольников, из геометрических соображений. Заменим график функции y = f(x) (рис.5.1) ломаной линией (рис.5.7), полученной следующим образом. Из точек a = x0, x1, x2,… xn= b проведем ординаты до пересечения с кривой y = f(x). Концы ординат соединим прямолинейными отрезками.

Рис. 5.7.

Тогда площадь криволинейной трапеции приближенно можно считать равной площади фигуры,

94

может привести к недостаточно точному результату. Рассмотрим метод простой итерации Якоби, свободный от этих недостатков, хотя требующий приведения исходной системы уравнений к специальному виду.

Для того чтобы применить метод простой итерации, необходимо систему уравнений

где B – квадратная невырожденная матрица с элементами bij, i, j=1, 2,…, n, x – вектор-столбец неизвестных xi, c – вектор-столбец с элементами ci, i = 1, 2, …, n.

Существуют различные способы приведения системы (3.22) к виду (3.23). Рассмотрим самый простой. Представим систему (3.22) в развернутом виде:

a11x1 + a12 x2 + a13x3 + … + a1nxn = b1 a21x1 + a22 x2 + a23x3 + … + a2nxn = b2

a31x1 + a32 x2 + a33x3 + … + a3nxn = b3 (3.24)

…………………………………………….

an1x1 + an2 x2 + an3x3 + … + annxn = bn

Из первого уравнения системы (3.24) выразим неизвестную x1:

x1 = a11−1 (b1 – a12x2 – a13x3 – … – a1nxn),

51

из второго уравнения – неизвестную x2:

x2 = a 22−1 (b2 – a21x1 – a23x3 – … – a2nxn),

и т. д. В результате получим систему:

x1 = b12 x2 + b13x3 + … + b1,n-1xn-1 + b1nxn + c1 x2 = b21x1 + b23x3 + … + b2,n-1xn-1 + b2nxn + c2

x3 = b31x1 + b32 x2+ … + b3,n-1xn-1 + b3nxn + c3 (3.25)

………………………………………………………

xn= bn1x1 + bn2 x2 + bn3x3 + bn,n-1xn-1 + cn

Матричная запись системы (3.25) имеет вид (3.23). На главной диагонали матрицы B находятся нулевые элементы, а остальные элементы вычисляются по формулам:

Очевидно, что диагональные элементы матрицы A должны быть отличны от нуля.

Выберем произвольно начальное приближение Обычно в качестве первого приближения берут x i0 = ci или x i0 = 0. Подставим начальное при-

ближение в правую часть (3.25). Вычисляя левые части, получим значения x11 , x12 , …, x1n . Продолжая

этот процесс дальше, получим последовательность приближений, причем (k + 1)-е приближение строится следующим образом:

Пример 5.1.

1

Вычислим значение интеграла ∫e−x2 dx по

0

формуле средних прямоугольников (5.3) с шагом h = 0.1.

Составим таблицу значений функции e −x2 (табл. 5.1):

Производя вычисления по формуле (5.3), получим:

Iпр = 0.74713088.

Рис. 5.5.

Рис. 5.6.

Оценка погрешности. Для оценки погрешности формулы прямоугольников воспользуемся следующей теоремой .

Теорема 5.1. Пусть функция f дважды непрерывно дифференцируема на отрезке [a, b]. Тогда для формулы прямоугольников справедлива следующая оценка погрешности:

92

Справедлива следующая апостериорная оценка погрешности:

i = 1, 2, …, n,

где β = max |bij| i, j = 1, 2, …, n.

Правую часть оценки (3.29) легко вычислить после нахождения очередного приближения.

Критерий окончания. Если требуется найти решение с точностью ε, то в силу (3.29) итерационный процесс следует закончить, как только на (k+1)-ом шаге выполнится неравенство:

Поэтому в качестве критерия окончания итерационного процесса можно использовать нера-

В других случаях использование критерия (3.32) неправомерно и может привести к преждевременному окончанию итерационного процесса.

54

Рис. 5.4.

Тогда получим квадратурную формулу средних прямоугольников:

Формулу (5.3) называют также формулой средних прямоугольников.

Иногда используют формулы

которые называют соответственно квадратурными формулами левых и правых прямоугольников. Гео-

метрические иллюстрации этих формул приведены на рис. 5.5 и 5.6.

91