Файл: n1.pdf

процесса. Вычисления следует продолжать до выполнения неравенства

| xn – xn – 1| < 1 −q q ε.

Если это условие выполнено, то можно считать, что xn является приближением к x* с точностью ε.

Если q ≤ 0.5, то можно пользоваться более простым критерием окончания:

Пример 2.2.

Используем метод простой итерации для решения уравнения f (x) = sin x – x2 = 0 с точно-

стью ε = 0.001.

Преобразуем уравнение к виду (2.4): x = sinx x , т. е. ϕ (x)= sinx x .

Нетрудно убедиться, что корень уравнения находится на отрезке [π/6, π/3]. Например, вычислив значения f(x) на концах отрезка, получим: f (π/6) > 0, а f (π/3) < 0, т. е. функция на концах отрезка имеет разные знаки, что в соответствии с теоремой 2.1 указывает на то, что внутри отрезка есть корень. Расположение корня наглядно иллюстрирует рис.2.7.

22

Примеры тестовых заданий

На выполнение теста отводится 3 часа (180 минут).

Вкаждый тест входит 20 заданий разного уровня сложности.

Взадачах первого уровня сложности ставится цель проверить знание основных понятий и формул по темам, выносимым на тестирование, а также выявить навыки решения стандартных задач.

Задачи второго уровня требуют основательного знания теоретического материала и умение применить его в нестандартной ситуации.

Втесте использованы две формы заданий: с выбором ответа и с полным развернутым ответом.

Вкаждом тесте 15 заданий типа А с выбором одного ответа из четырех приведенных и пять заданий типа В, в которых не предлагаются варианты ответов. В задачах типа В необходимо провести логически и математически грамотные рассуждения, получить полное решение и записать ответ на бланке.

Вариант №1

Часть 1 Решите задание, сравните полученный ответ с

предложенным. Выбранный ответ отметьте.

А1. Отделите корни уравнения сos x – x 2 = 0 графически и укажите их количество.

123

Контрольная работа №4

Задача 1. Составить интерполяционный многочлен Лагранжа для следующей таблицы значений:

Задача 2. Вычислить по формуле трапеций:

2 dx

∫1 x ,

приняв n =5 и сравнить с истинным значением интеграла.

Задача 3. Вычислить приближенное значение производной функции, заданной таблицей, в точке x0 = 4

y′(x0) = ?

Задача 4. Методом Эйлера найти первые четыре значения функции y=y(x) , определяемой дифференциальным уравнением

y′= y − x y + x

при начальном условии y(0) = 1; взять шаг h = 0,1.

122

Рис. 2.7.

Подсчитаем, первую и вторую производные функции ϕ(x):

Так как ϕ "(x) > 0 на отрезке [π/6, π/3], то производная ϕ ′(x) монотонно возрастает на этом отрезке и принимает максимальное значение на правом конце отрезка, т. е. в точке π/3. Поэтому, справедлива оценка:

|ϕ '(x)| ≤ |ϕ '(π/3)| ≈ 0.312.

Таким образом, условие (2.7) выполнено, q < 0.5, и можно воспользоваться критерием окончания вычислений в виде (2.10). В табл. 2.2 приведены приближения, полученные по расчетной формуле (2.5). В качестве начального приближения выбрано значение x0 = 1.

23

Таблица 2.2.

Критерий окончания выполняется при n = 5,

|x5 – x4| < 0.001.

Сходимость двусторонняя, качественный характер такой сходимости представлен на рис. 2.4. Приближенное значение корня с требуемой точностью x* ≈0.8765.

2.5. Метод Ньютона (метод касательных)

Метод Ньютона является наиболее эффективным методом решения нелинейных уравнений.

Пусть корень x* [a, b], так, что f (a) f (b) < 0. Предполагаем, что функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b] и дважды непрерывно дифференцируема на интервале (a, b). Положим x0 = b. Проведем касательную к графику функции y = f(x) в точ-

ке B0 = (x0, f (x0)) (рис. 2.8).

24

Задача 5. Набор экспериментальных значений х и у имеет вид таблицы:

Построить методом наименьших квадратов эмпирическую формулу и вычислить характеристики качества построенного приближения.

Контрольная работа № 3

Задача 1. Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них методом половинного деле-

ния с точностью до 0,01:

x5 – x – 2=0.

Задача 2. Отделить корни уравнения аналитически

и уточнить один из них с точностью до 0,01: x3 – 12x – 5 = 0.

Задача 3. Методом Гаусса (с помощью расчетной таблицы) решить систему уравнений:

3x1 − x2 +3x3 =5,x1 + 2x2 − x3 = 2,3x1 + 2x2 −5x3 = 0.

Задача 4. Методом множителей Лагранжа найти условный экстремум функции

f (x; y)= 6 – 4x– 3y,

при условии x2 + y2 = 1

121

Задача 2. Дана таблица значений функции:

Найти значение этой функции в точке x = 4, пользуясь интерполяционным многочленом Лагранжа. Оценить погрешность. Результат интерполирования сравнить с вычислением значения функции по её выражению.

Задача 3. Стационарное распределение температуры в теплоизолированном тонком стержне описывается линейной функцией. Дана таблица измеренных температур в соответствующих точках стержня:

*

Методом наименьших квадратов найти эту функцию. Оцените качество полученного приближения.

Задача 4. Методом наименьших квадратов подобрать показательную функцию по следующим табличным данным:

Рис. 2.8.

Уравнение касательной будет иметь вид:

Первое пересечение получим, взяв абсциссу точки пересечения этой касательной с осью OX, т. е. по-

ложив в (2.11) y = 0, x = x1:

Аналогично поступим с точкой B1(x1, f (x1)), затем с точкой B2(x2, f (x2)), и так далее, в результате получим последовательность приближений x1, x2, …, xn, …, причем

Формула (2.13) является расчетной формулой метода Ньютона.

Метод Ньютона можно рассматривать как частный случай метода простых итераций, для которого

Сходимость метода. Сходимость метода Ньютона устанавливает следующая теорема.

Теорема 2.3. Пусть x* – простой корень уравнения f (x) = 0, и в некоторой окрестности этого корня функция f дважды непрерывно дифференцируема. Тогда найдется такая малая σ-окрестность корня x*, что при произвольном выборе начального приближения x0 из этой окрестности итерационная последовательность, определенная по формуле (2.13) не выходит за пределы этой окрестности и справедлива оценка:

где С = σ –1. Оценка (2.15) означает, что метод сходится с квадратичной скоростью.

Сходимость метода Ньютона зависит от того, насколько близко к корню выбрано начальное приближение. Неудачный выбор начального приближения может дать расходящуюся последовательность. Полезно иметь в виду следующее дос-

таточное условие сходимости метода. Пусть

[a, b] – отрезок, содержащий корень. Если в каче-

Типовые контрольные работы

Контрольная работа №1

Задача 1. Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них с точностью до 0,001 методом Ньютона (касательных):

x3 + 3x + 5 = 0.

Задача 2. Вычислить по формуле Симпсона

Оценить погрешность по методу удвоения шага вычислений. Вычисления вести с пятью знаками после запятой. Сравнить со значением, найденным по формуле Ньютона – Лейбница.

Задача 3. Методом Рунге – Кутта решить задачу Коши для ОДУ

у′= xy + 0,5y; y(0)=1 на отрезке [0; 0,5] с шагом h =

0,1. Вычисления вести с тремя верными знаками.

Контрольная работа №2

Задача 1. Методом простой итерации решить СЛАУ с точностью до 0,001 (ε =10-3)

0,63х1 + 0,05х2 + 0,15х3 = 0,34,0,03х1 + 0,34х2 + 0,1х3 = 0,32,0,15х1 + 0,1х2 + 0,71х3 = 0,42.