Файл: Геометрия в пространстве.doc

Тема 2: Начала проекционного черчения п.1 Понятие о разных родах проекций

• Проекционное черчение имеет целью указать способы, посред­ством которых можно изобразить на плоскости любое геометрическое тело таким образом, чтобы по чертежу можно было составить точное представление о величине, форме и взаимном расположении всех ча­стей изображенного тела.

Различают проекции трех родов.

1.Центральная (или перспективная) проек­ция. Положим, мы желаем изобразить (черт. 1) на плоскости V (обыкновенно она называется картинной плоскостью или экраном) ка­кую-нибудь фигуру, например ∆ ABC (помещенный где-нибудь за экраном), в таком виде, в каком он представляется нашему глазу, если будем смотреть на него из точки О (называемой центром перспективы). Так как каждую види­мую точку предмета мы всегда ви­дим по прямой линии, проходящей от глаза через эту точку (такая ли­ния называется лучом зрения), то для получения

Черт. 1

чертежа на пло­скости V надо найти точки, в ко­торых с этой плоскостью пересе­каются лучи зрения, идущие к глазу от разных точек предмета.

Фигура abc, полученная таким об­разом на плоскости V, будет центральной проекцией (перспективой) фигуры ABC.

Примером таких изображений могут служить фотографические снимки.

2. Косоугольная проекция.

3. Прямоугольная(ортогональная) проекция. Вообразим, что центр перспективы (и, следовательно, наш глаз, предполагаемый в этом цент­ре) удаляется от предмета на все большее и большее расстояние; тогда лучи зрения, идущие от разных точек фигуры к глазу, делаются все более и более параллельными между собой, и если мы их предположим совершенно параллельными (т. е. допустим, что центр перспективы уда­лен бесконечно далеко от предмета), то мы получим параллельную проекцию (черт. 2), которая бывает или косоугольная, если парал­лельные лучи зрения наклонны к экрану, или прямоугольная (орто­гональная), если эти лучи перпендикулярны к экрану.

Черт. 2

Примером чер­тежей, представляющих собой косоугольные проекции, служат те стереометрические чертежи, которые мы имеем в этой работе; примером прямоугольных проекций служат планы и фасады зданий, исполнен­ные (конечно, в уменьшенном масштабе) на архитектурных проектах.

Мы рассмотрим только общие свойства параллельных проекций, как ортогональных, так и косоугольных.

П.2 Общие свойства параллельных проекций

• Определения. 1. Проекцией данной точки (А, черт. 3) на какую-нибудь плоскость (V) называется та точка (а) этой плоскости, в которой с ней пересекается прямая (AM), проведенная из данной точки параллельно заданному направле­нию (ху).

Прямая AM называется в та­ком случае проектирующей пря­мой, а плоскость V — плоскостью проекций. Если проектирующая прямая перпендикулярна к плоскости проекций, то проекция называется прямоугольной или ортогональной, в противном случае — косоугольной.

Черт. 3

2. Проекцией какой-нибудь фигуры на данную плоскость называется геометриче­ское место проекций всех точек этой фигуры на эту плоскость.

• Свойства проекции прямых линий.

Сравнение проекций трех родов.

Сравнивая между собой проекции: ортогональные, косоугольные и перспективные, мы видим, что каждая из них обладает своими достоинствами и своими недостат­ками.

Ортогональные проекции имеют весьма большое значение в тех случаях, когда по данному чертежу требуется изготовить самый пред­мет (например, при постройке домов, мостов, машин и т. п.). Перспек­тивное черчение употребительно в тех случаях, когда желательно, что­бы зритель, смотрящий на картину, сразу составил себе ясное пред­ставление об изображенном предмете; им пользуются в рисовании и живописи. Косоугольное проектирование полезно тогда, когда при помощи не очень сложных чертежей желают дать довольно наглядное представление о предмете и в то же время указать чертежом (хотя и приблизительно) на относительные размеры его частей. Такими чер­тежами иллюстрируются, например, книги по геометрии. Решим следующие задачи:

Задача 1.Изобразить на плоскости α данный четырехугольник, используя центральную проекцию.

Задача 2. Изобразить на плоскости α данный четырехугольник, используя косоугольную проекцию.

Задача 3. Изобразить на плоскости α данный четырехугольник, используя прямоугольную проекцию.

Тема 3: Цилиндр

Цилиндр часто встречается в технике и в быту, например, цилиндры двигателя, трубы, шайбы и тому подобное. Определим, что называется цилиндром в геометрии.

Тело вращения – это геометрическая фигура, которую описывает плоская фигура при вращении ее около оси, лежащей в плоскости фигуры. Так цилиндр является простейшим телом вращения. Его описывает прямоугольник при вращении около своей стороны как оси. Поверхность цилиндра состоит из равных кругов в параллельных плоскостях – оснований цилиндра – и боковой поверхности. Часть цилиндрической поверхности, заключенная между плоскостями, называется боковой поверхностью, а части плоскостей, отсекаемые этой поверхностью, – основаниями цилиндра. Все вертикальные отрезки, из которых состоит боковая поверхность цилиндра, называются его образующими. Расстояние между основаниями есть высота цилиндра. Цилиндр называется прямым или наклонным, смотря по тому, перпендикулярны или наклонны к основаниям его образующие. Поверхностью прямого цилиндра называется объединение его оснований и боковой поверхности. Поверхность прямого цилиндра иногда называют также его полной поверхностью, подчеркивая этим, что она состоит из боковой поверхности и двух оснований.

Объем цилиндра:V = П R² H.

Боковая поверхность цилиндра: S = 2 П R H.

Можно предложить следующие задачи.

Задача 1. Вычислить площадь боковой поверхности стакана, если известно, что диаметр его дна d = 6см, высота h = 10см.

Задача 2. Найти вес 50м железной проволоки толщиной 4мм. Удельный вес железа 7,8 г/см³ .

Задача 3. Консервная банка имеет в диаметре 10см, а в высоту 5см. Сколько жести идет на ее изготовление?

Задача 4. Если изготовить банку той же вместимости, что и в предыдущей задаче, но с диаметром а) 5см; б) 6см, то какую высоту будет иметь банка?

Задача 5. В течении какого времени наполнится на 90% бак цилиндрической формы, если он имеет в окружности 12,56м его высота 4м и если в каждую минуту через трубку вливается 50л воды?

Задача 6. Узнать размеры десятилитровой банки цилиндрической формы, если ее высота равна диаметру основания.