Файл: Геометрия в пространстве.doc

Задача 7. Точильный камень диаметром в 1400мм имеет толщину в 200мм. Вычислить его объем, если в центре его имеется круглое отверстие диаметром 200мм.

Задача 8.На сколько частей можно разделить цилиндр плоскими разрезами, если их: а) 2; б) 3; в) 4?

Задача 9. Сечением цилиндра является прямоугольник. Как расположена его плоскость относительно оси цилиндра?

Задача 10. Основания цилиндрической бочки радиусом 0,6м и высотой 1,6м находится на полу помещения высотой 1,9м. Можно ли выкатить бочку из этого помещения?

Задача 11. Нарисуйте фигуру, получающуюся в пересечении двух равных цилиндров, оси которых пересекаются под прямым углом. Является ли она выпуклой? Можете ли вы найти ее диаметр, если радиусы цилиндров известны?

Тема 4: Конус

Форму конуса имеют терриконы и вулканы, воронки и колбы и многие другие окружающие нас предметы.

Конус является телом вращения и описывает прямоугольный треугольник при вращении его около катета как оси. Поверхность конуса состоит из круга в основании конуса и боковой поверхности.

Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками его основания, называются образующими конуса.

Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из вершины конуса на плоскость его основания, а также длина этого перпендикуляра. Высота конуса называется также осью.

Прямым круговым конусом или конусом вращения называется конус, основание которого круг, а высота попадает в центр этого круга.

Фигура, состоящая из образующих конуса вращения, которые соединяют его вершину с точками окружности основания, называется боковой поверхностью этого конуса. Она сама является конусом с той же вершиной, основанием ее служит окружность основания конуса вращения.

Поверхностью конуса вращения называется объединение его основания и его боковой поверхности. (Иногда поверхность конуса называют его полной поверхностью.)

Усеченным конусом называется пересечение конуса с полупространством, содержащим основание конуса и ограниченным плоскостью, которая параллельна плоскости основания конуса и пересекает данный конус. Усеченный конус имеет два основания: нижнее – основание исходного конуса и верхнее – основание отсекаемого конуса; оно является сечением исходного конуса плоскостью, параллельной плоскости основания. Следовательно, основания усеченного конуса подобны друг другу.

Площадь боковой поверхности конуса: S = П R l, где l – длина образующей конуса.

Объем конуса: V = 1/3 П R² H.

И после изучения теории приступаем к решению задач.

Задача 1. Почему угол развертки конуса не может равняться 360^о ?

Задача 2. Найти отношение площади боковой поверхности конуса и площади его основания, если образующая конуса равна диаметру ее основания.

Задача 3. Найти емкость конической воронки, высота которой 30см, диаметр отверстия 20см. Ответ дать в метрах.

Задача 4. Найти объем конуса, если известно, что радиус его основания равен 6,2см, высота 16см.

Задача 5. Ведро имеет размеры: длина верхнего обода 95см, длина обода дна 70см, высота ведра 28см. Узнать емкость ведра.

Задача 6. Узнать вместимость ведра, если диаметр его нижнего основания 20см, верхнего 30см, расстояние между основаниями 30см.

Задача 7. Сколько литров воды вмещает бочонок длиной 8дм, если диаметр каждого из его оснований 5дм, диаметр сечения в наиболее широком месте 6дм?

Задача 8. Сколько весит масло, которым наполнена бочка, высота которой 1м, диаметр дна 60см, диаметр сечения в наибольшем месте 70см? Удельный вес масла 0,9г/см³ .

Задача 9.Основание конуса находится на земле. Сможете ли вы установить размеры конуса, не подходя к нему?

Задача 10. Закрепив вершину, данный конус покатили по плоскости. Какая фигура получится от движения его оси? Какой путь проделает центр основания конуса за один оборот конуса?

Задача 11. Абажур от настольной лампы является боковой поверхностью усеченного конуса. Какой фигурой является граница тени от абажура на стене?

Задача 12. В землю воткнута вертикальная палочка. Какую линию описывает на земле тень от ее верхнего конца в течение дня?

Тема 5: Шар

О геометрических свойствах шара и его поверхности – сферы – написаны целые книги. Некоторые из этих свойств были известны еще древнегреческим геометрам, а некоторые найдены совсем недавно. Эти свойства (вместе с законом естествознания) объясняют, почему, например, форму шара имеют небесные тела и икринки рыб, почему в форме шара делают батискафы и футбольные мячи, почему так расположены в технике шарикоподшипники и так далее. Из всех свойств шара мы рассмотрим самые простые.

Пространственными аналогами окружности и круга на плоскости являются сфера и шар. Шар является телом вращения.

Сферой называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек пространства, одинаково удаленных от данной точки. Эта точка называется центром сферы. Расстояние от точек сферы до ее центра называется радиусом сферы.

Фигура, ограниченная сферой называется шаром. Радиус сферы называется также радиусом шара.

Шар с центром в точке О и радиусом R представляет собой геометрическую фигуру, состоящую из всех точек пространства, удаленных от данной точки на расстояние, не превосходящее R.

Прямая, соединяющая две точки поверхности шара и проходящая через его центр называется диаметром. Все радиусы одного шара равны между собой; всякий диаметр равен двум радиусам.

Два шара одинакового радиуса равны, потому что при вложении они совмещаются.

Площадь сферы радиуса R: S = 4 П R².

Площадь сферического сегмента радиуса R и высотой H: S = 2 П R H.

Объем шара: V = 4/3 П R³.

Учащимся можно предложить следующие задачи.

Задача 1. Диаметр глобуса 0,25м. Вычислить площадь его поверхности.

Задача 2. Сплошной металлический шар перелит в цилиндр, высота которого равна диаметру шара. Каково отношение диаметра основания цилиндра к диаметру шара?

Задача 3. Купол здания имеет форму полушара с диаметром 6м. Что можно сказать о числах, выражающих поверхность полушара и его объем?

Задача 4. В мензурку цилиндрической формы, радиус основания которой 4см, погружен шарик, радиус которого 3см. Насколько поднялась вода в мензурке?

Задачи Архимеда (3 век до н. э.).

Задача 5. На гробнице Архимеда изображены шар и цилиндр, описанный около него (диаметр основания и высота цилиндра равны диаметру шара). Убедиться, что отношение объемов и поверхностей этих тел 3: 2.

Задача 6. Проверить, что объемы трех тел цилиндра (V₁), шара (V₂) и конуса (V₃) с равными диаметрами и высотами, равными этим диаметрам, пропорциональны числам 3: 2: 1 и что V₁= V₂ + V₃.

Задача 7. Сосуд имеет форму полушара радиуса R, дополненного цилиндром. Какой высоты должна быть цилиндрическая часть, чтобы сосуд имел объем V?

Задача 8. Какой фигурой является множество точек пространства, из которых данный отрезок виден под заданным углом?

Задача 9. Прямая имеет общую точку с шаром, причем эта точка является внутренней точкой шара. Докажите, что эта прямая со сферой этого шара имеет две общие точки.

Задача 10. Найдите длину шестидесятой параллели Земли. Во сколько раз она длиннее такой же параллели на Луне?

Задача 11. Проведите плоскость, которая пересекала бы две планеты: Марс и Нептун по равным кругам. При каком положении этих планет такое возможно? Зависит ли это от размеров планет?

Задача 12.На сколько частей делят апельсин три плоскости, проходящие через его центр, причем так, что они не проходят через один и тот же диаметр апельсина? А если плоскостей четыре?

Задача 13. Шарик катится по желобу, образованному двумя плоскими поверхностями. По какой линии движется его центр?

Задача 14. Какие вам известны доказательства того, что Земля имеет форму шара? (в некотором приближении).

Задача 15. Из каких соображений, по вашему мнению, мяч делают в форме шара?

Задача 16. Что бы вы предпочли: съесть арбуз радиусом 15см вчетвером или радиусом 20см ввосьмером?

Задача 17. Из одной и той же массы мыльной жидкости можно делать пузыри разных размеров. Как меняется их толщина при увеличении их радиуса? Пусть радиус мыльного пузыря увеличился в два раза. Как изменилась его толщина?

Задача 18. Как вычислить радиус металлического шарика, используя линейку и прозрачный цилиндрический сосуд с водой?

Задача 19. Можно ли в какой-нибудь цилиндр объемом 2 поместить шар объемом 1? А два шара объемом 1?

Задача 20. Диаметр Марса составляет половину земного. Во сколько раз поверхность и объем Марса меньше, чем соответствующие величины для Земли?

Диаметр Юпитера в 11 раз больше земного. Во сколько раз Юпитер превышает Марс по поверхности и объему?