Файл: Геометрия в пространстве.doc

При изучении данной темы для начала ученикам надо задать вопрос: Чем отличаются пространственные тела от фигур, изучаемых в курсе планиметрии: треугольников, квадратов и так далее? (Устанавливают, что основное отличие заключается в том, что эти тела занимают часть пространства, имеют объем; имеют три измерения: длину, ширину, высоту; каждое тело со всех сторон ограничено поверхностью).

Простейшими многогранниками наряду с призмами являются пирамиды. Школьники знакомы с ними с младших классов и могут представить себе, например, египетские пирамиды. На этих представлениях и основано определение пирамиды.

Многогранник – это геометрическое тело, ограниченное конечным числом плоских многоугольников. Простейшими среди них являются призмы и пирамиды.

Пирамида – многогранник, поверхность которого состоит из многоугольника, называемого основанием пирамиды, и треугольников, имеющих общую вершину, называемых боковыми гранями пирамиды (общая вершина боковых граней называется вершиной пирамиды; ребра, сходящиеся в вершине пирамиды, называются боковыми ребрами).

Правильная пирамида – пирамида, в основании которой лежит правильный многоугольник, и все боковые ребра которой равны.

Правильные пирамиды имеют свойства:

Боковые ребра правильной пирамиды равны.
Боковые грани правильной пирамиды – равные друг другу равнобедренные треугольники.

Пирамида, в основании которой лежит треугольник называется тетраэдром, а пирамида, в основании которой лежит четырехугольник – октаэдром.

Если из вершины пирамиды провести отрезки во все точки основания, то они, очевидно, заполнят пирамиду. Поэтому, вспоминая определение конуса, можно сказать, что пирамида – это конус с многоугольником в основании.

Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту пирамиды.

Объем усеченной пирамиды равен разности объемов полной пирамиды и осекаемой от нее подобной пирамиды.

Решаем следующие задачи.

Задача 1. Какая существует зависимость между длиной бокового ребра правильной пирамиды, ее апофемой и стороной основания?

Задача 2. Какой угол образует боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды с плоскостью основания, если высота пирамиды по длине равна: 1) половине диагонали основания; 2)диагонали основания?

Задача 3. Приготовить чертеж выкройки и вычислить площадь боковой и полной поверхности правильной треугольной пирамиды, сторона основания которой 10см, апофема 16см.

Задача 4. Парусиновую палатку можно принять по форме за правильную четырехугольную пирамиду. Длина стороны ее основания 6м, боковое ребро 5м. Сколько квадратных метров парусины пошло на эту палатку?

Задача 5. Беседка в виде прямоугольного параллелепипеда размером (6, 6, 5) имеет крышку высотой 4м. Какова площадь поверхности крышки и стен этой беседки?

Задача 6. Сколько листов железа пошло на покрытие крышки, имеющей форму четырехугольной пирамиды со стороной в 2,5м при длине ската в 4,5м, если железный лист имеет в длину 142см и в ширину 71см, на швы и обрезки пойдет 0,5 листа?

Задача 7. Палатка имеет форму правильной шестиугольной пирамиды со стороной основания в 5м и боковым ребром в 6,5м. Сколько метров брезента шириной в 1,5м требуется на палатку, если на заделку швов уходит 8% материала, считая по его длине?

Задача 8. Сколько пирамид высотой в 8см и площадью основания 20см²можно получить из прямоугольной призмы, размеры которой 24см, 20см, 18см?

Задача 9. Куску глины придана форма пирамиды высотой 9см с основанием прямоугольной формы, размером (8 на 9)см². Из этого куска нужно изготовить куб. Какой длины будет его ребро?

Задача 10. Чугунная пирамида весит 1012,5кг. Основанием пирамиды служит квадрат со стороной 45см. Узнать высоту пирамиды. Удельный вес чугуна 7,5г/см³.

Задача 11. Самая большая египетская пирамида имеет высоту 148м; основание ее квадрат со стороной 233м. Вычислить объем этой пирамиды и узнать, сколько понадобилось бы поездов по 20 вагонов в каждом, чтобы подвести необходимый для ее постройки камень, если каждый вагон вмещает 10т (удельный вес камня 2,6г/см³).

Тема 7: Поверхность и объем прямой призмы

Одни из самых простых многогранников – это призмы. С некоторыми из них, например с параллелепипедами, школьники знакомы с младших классов. Примерами из практики могут служить (с большей или меньшей точностью) коробка комнаты, в которой мы находимся, дом, кузовы грузовиков и автобусов, шестигранный карандаш. На этих представлениях основано определение призмы. Призма – многогранник, поверхность которого состоит из двух равных многоугольников, называемых основаниями призмы, и параллелограммов, имеющих общие стороны с каждым из оснований, называемых боковыми гранями призмы.

Можно сказать, что призма является цилиндром, в основании которого лежит многоугольник.

Прямая призма – призма, боковыми гранями которой являются прямоугольники. Прямая призма называется параллелепипедом, если ее основания параллелограммы. Если же основания призмы – прямоугольники, то она называется прямоугольным параллелепипедом. Длины ребер прямоугольного параллелепипеда, сходящиеся в одной вершине, называются линейными размерами параллелепипеда. Прямоугольный параллелепипед, у которого все линейные размеры равны, называется кубом.

Объем прямоугольного параллелепипеда с линейными размерами a, b, c: V = a b c.

Объем призмы равен произведению площади основания на высоту.

После изучения теории приступаем к решению задач.

Задача 1. Надо склеить картонный ящик с крышкой. Ребро его равно 20см. Сколько картона потребуется для стенок, дна и крышки ящика?

Задача 2. Дан прямоугольный параллелепипед. Сделать чертеж на доске и в тетрадях. Назвать и показать на чертеже его грани, ребра и вершины.

Задача 3. В прямой треугольной призме основания равны 10см, 17см и 21см, а высота призмы 18см. Найдите площадь сечения, проведенного через боковое ребро и меньшую высоту основания.

Задача 4. По боковой стороне b и основанию a найдите полную поверхность правильной призмы: 1) треугольной; 2) четырехугольной; 3) шестиугольной.

Задача 5. Если боковую поверхность призмы пересечь плоскостью, перпендикулярной боковому ребру, то получится многоугольник, который называется перпендикулярным сечением призмы. Как вы думаете: у призмы может быть только одно перпендикулярное сечение? Приведите пример.

Задача 6. Начертить в тетрадях развертку куба. Изготовить его дома и принести на следующий урок. Из каких фигур состоит куб? Может ли куб состоять из не равных квадратов?

« Плоскость в пространстве. Прямые в пространстве ».

Задача 7. На модели куба показать пары параллельных прямых (а затем пары пересекающихся прямых) и указать плоскости, которые они определяют.

Задача 8. Три вороны одновременно взлетели с крыши дома. Через сколько секунд они окажутся в одной плоскости?

Задача 9. Для проверки плоскости слесарь прикладывает к ней ребро линейки и смотрит, не проходит ли свет между линейкой и плоскостью. Объясните этот способ проверки плоскости.

Задача 10. Докажите, что лист бумаги, на который вы сейчас смотрите, равен соседнему листу этого учебника.

Задача 11. Докажите, что ваша левая ладонь равна вашей правой ладони.

Задача 12. Можно ли провести прямую через точки A и B, нанесенные на доски двух соседних классов?

Задача 13. Можно ли провести плоскость через вершины гор Джомолунгма, Казбека и Олимпа?

Задача 14. Две различные линии x и y пересекаются в двух различных точках. Может ли быть, что линия y прямая? В каком случае это возможно? Ответ сопровождайте чертежом.

Задача 15. Две мухи взлетели с подоконника одновременно. Через сколько секунд они окажутся на одной прямой?

Задача 16. Докажите, что если точки A, B, C ,D не лежат на одной плоскости, то прямые AB и CD не лежат на одной плоскости.

Задача 17. Сколько общих точек имеют прямая и плоскость в том случае, когда прямая совпадает с плоскостью?

Задача 18. Сделать чертеж куба и указать по чертежу все пары скрещивающихся прямых.

Задача 19. Самолет летит по прямой с постоянной скоростью. В любой момент вы можете определить расстояние до него. Как найти его скорость?

Задача 20. Концы ломаной, состоящей из двух отрезков, лежат по разные стороны от данной плоскости. Докажите, что она пересекает эту плоскость.

Задача 21. Через данную точку проведите плоскость, параллельную каждой из двух пересекающихся прямых. Всегда ли это возможно?

Задача 22. Сколько надо заплатить за штукатурку стен и потолка комнаты, длина которой 6,4м, ширина 4,8м, высота 2,8м, если площадь окон и дверей составляет 12% поверхности стен и 1м²штукатурки стоит 90 рублей?

Задача 23. В классе 30 учеников. На каждого ученика полагается 6,5м³

воздуха, высота класса 3,5м. Какова должна быть площадь пола этого класса?

Задача 24. Вычислить вес воды в баке (сечение бака прямоугольное), глубина которого 2м, ширина 1,5м, длина 3,6м. Сколько ведер воды в этом баке?

Задача 25. Вместимость ящика должна быть 0,9м³, причем длина его должна быть 1,2м, ширина 80см. Какова должна быть высота?