ВУЗ: Новосибирский государственный технический университет
Категория: Учебное пособие
Дисциплина: Основы теории управления
Добавлен: 15.02.2019
Просмотров: 1368
Скачиваний: 6
1.
R
1
R
2
U
вх
U
вых
.
,
)
(
2
1
2
R
R
R
k
k
p
K
+
=
=
L(
ω
)
lg
ω
20lg k
2.
C
R
U
вх
U
вых
C
.
,
1
)
(
RC
T
Tp
Tp
p
K
=
+
=
ω
=
1
T
L(
ω
)
lg
ω
20 дб/дек
3.
R
1
R
2
U
вх
U
вых
C
.
,
1
,
,
1
)
1
(
)
(
1
2
2
1
2
1
1
2
1
kT
T
R
R
R
k
C
R
T
p
T
p
T
k
p
K
=
<<
+
=
=
+
+
=
ω
=
1
1
T
L(
ω
)
lg
ω
20 дб/дек
20lg k
4.
R
U
вх
U
вых
C
.
,
1
1
)
(
RC
T
Tp
p
K
=
+
=
ω
=
1
T
L(
ω
)
lg
ω
-20 дб/дек
5.
R
1
R
2
U
вх
U
вых
C
.
,
,
1
)
(
2
1
2
2
1
2
R
R
R
C
T
R
R
R
k
Tp
k
p
K
+
=
+
=
+
=
ω
=
1
T
L(
ω
)
lg
ω
20lg k
-20 дб/дек
6.
R
1
R
2
U
вх
U
вых
C
1
C
2
.
1
,
;
;
,
)
1
)(
1
(
)
1
)(
1
(
)
(
2
1
2
1
4
3
2
1
4
3
2
2
2
1
1
1
4
3
2
1
+
+
=
+
=
=
=
+
+
+
+
=
R
R
T
T
T
T
T
T
T
T
C
R
T
C
R
T
p
T
p
T
p
T
p
T
p
K
20
1
2
3
lg
T
T
T
+
1
2
T
1
1
T
1
4
T
1
3
T
L(
ω
)
lg
ω
20lg k
-20дб/дек
+20дб/дек
7.
R
1
R
2
U
вх
U
вых
L
1
L
2
ω
1
ω
2
.
,
,
,
,
1
)
(
)
(
2
1
1
2
2
2
1
1
1
2
1
M
R
M
R
M
T
R
L
T
R
L
T
p
T
T
Tp
p
K
ω
ω
=
=
=
=
+
+
=
ω
=
1
T
L(
ω
)
lg
ω
20lg k
+20 дб/дек
8.
R
1
U
вх
U
вых
C
2
R
2
C
1
.
;
,
1
)
(
1
)
(
2
2
1
1
1
2
1
1
1
1
2
2
1
C
R
T
C
R
T
p
C
R
T
T
p
T
T
p
K
=
=
+
+
+
+
=
1
2
T
1
1
T
L(
ω
)
lg
ω
–20 дб/дек
–40 дб/дек
83
9.
R
1
U
вх
U
вых
C
2
R
2
C
1
.
,
,
1
)
(
)
(
2
2
1
1
1
2
2
1
1
1
2
2
1
2
2
1
C
R
T
C
R
T
p
C
R
T
T
p
T
T
p
T
T
p
K
=
=
+
+
+
+
=
1
2
T
1
1
T
L(
ω
)
lg
ω
+20 дб/дек
+40 дб/дек
10.
R
2
U
вх
U
вых
ОВ
вход
K p
k
Т Г
( )
. .
=
L(
ω
)
lg
ω
20lg k
11.
R
С
U
вх
U
вых
.
,
1
1
)
(
RC
T
Tp
p
K
=
+
≈
1
1
T
L(
ω
)
lg
ω
–20 дб/дек
12.
R
С
U
вх
U
вых
.
,
1
)
(
RC
T
Tp
p
K
=
+
≈
1
1
T
L(
ω
)
lg
ω
+20 дб/дек
W
j
W j
W j
W
j
K
(
)
(
)
(
)
(
)
*
ω
ω
ω
ω
=
⋅
2
3
.
(4)
В логарифмическом масштабе
20
20
20
2
3
lg
lg
lg
*
W
W W
K
=
−
(5)
W
.
Итак. При параллельной коррекции по вырожденным структурам для определения ЛАХ
корректирующего звена, необходимо из ЛАХ звеньев, не охваченных коррекцией, вычесть ЛАХ
желаемую.
Имея ЛАХ корректирующего звена по таблицам (табл. 2) выбирается схема корректирующего
устройства и параметры RC элементов (табл. 2).
После чего, с учетом
W
, строится (обязательно) скорректированная ЛАХ, которая, в общем
случае, не совпадает с желаемой на низких частотах, где
W W
K
K
1
1
<<
. Только после этого можно
переходить к построению переходного процесса.
Пересчет последовательной коррекции в параллельную
G(p)
W
1
(p)
W
2
(p)
x(p)
W’
K
(p)
G(p)
W
K
(p)
W
2
(p)
x(p)
W
1
(p)
W
W W W
W
W W
W W
W
W W
p
K
K
K
K
K
=
=
+
′
=
+
′
1
2
1
2
1
2
1
1
1
1
1
;
;
;
W W
.
1
;
1
1
1
2
1
K
K
K
K
p
W
W
W
W
W
W
W
W
W
−
=
′
′
+
=
Рис.119
Следует, однако, заметить, что при таком формальном пересчете ПФ параллельного
корректирующего звена может быть нереализуемой, т.е. порядок знаменателя меньше порядка
числителя.
84
Построение желаемой частотной характеристики
Определение: Минимально-фазовой (МФ) системой (звеном) называется система (звено), у которой
все полюсы и нули ПФ имеют отрицательные или равные нулю вещественные части.
Свое название МФ системы получили из-за того, что они дают минимальный фазовый сдвиг
ϕ
по
сравнению с другими звеньями, имеющими такую же амплитудно-частотную характеристику
A( )
ω
.
(1.
W
– МФ; 2.
k
Tp
1
1
=
+
W
– не МФ)
k
Tp
2
1
=
−
У МФ систем, таким образом, существует однозначная зависимость между амплитудой и фазой,
поэтому для таких систем достаточно строить лишь АЧХ.
Желаемая ЛАХ разомкнутой системы строится исходя из требований к системе по показателям
качества: требуемый
, допустимое время ПП, запас устойчивости по фазе (величина
перерегулирования).
k
p
ЛАХ может быть условно разделена на три части (рис.120):
− низкочастотная;
− среднечастотная;
− высокочастотная.
1. Низкочастотная часть ЛАХ для:
1.1. статических систем имеет горизонтальный
участок до первой точки сопряжения и отстоит от
оси частот на величину
, и, таким образом,
определяет собой точность работы системы в
установившемся режиме.
20 lg k
p
1.2. астатических систем с порядком астатизма
γ
наклон
низкочастотного
участка
ЛАХ
определяется величиной
20
γ
дб/дек и проходит
через точку
ω
= 1 20
;
lg k
p
(рис.120).
2. Среднечастотная часть ЛАХ определяет, в
основном, качество ПП системы. Причем, участок
ЛАХ, пересекающий ось частот, выбирается по
заданному времени ПП –
и по величине
перерегулирования
t
p
σ
%
.
ω
lg
ω
ω
cp
-20
дб/д
ек.
-20
дб/д
ек.
-40
дб
/де
к.
-4
0 д
б/д
ек
.
-4
0 д
б/д
ек
.
Рис.120
20lgA
(ω)
20
lg
k
-A∆∆
A
Низкочастотная
Среднечастотная
Высокочастотная
1
0
Установлено, что при частоте среза наклон желаемой ЛАХ должен быть
дб/дек (
устойчивость, вид
ПП
), а частота среза
− 20
ω
ср
определяется по
t
и
p
σ
%
из следующего соотношения:
ω
π
с
p
k
t
р
≈
,
P
max
Рис.121
σ %
max
σ
%
ma
x
T
max
T
ma
x
10 π
2
π
3
π
4
π
5
π
ω
ср
ω
ср
ω
ср
ω
ср
ω
ср
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,0
20
30
40
50
где коэффициент k определяется допустимой
величиной перерегулирования.
Для определения
ω
ср
по заданным и
t
p
σ
%
в
литературе построены графики
σ
max
max
%
(
)
= f P
и
T
f P
max
max
(
)
=
(рис.121).
Пример:
Задано
t
p
= 0 5
,
с. и
σ
%
=30%.
По оси
σ
max
%
откладываем 30% и по кривой
σ
max
%
определяется
P
max
,
= 1 28
далее по кривой
T
max
=
ср
,
3 8
π
ω
,
где
T
t
p
max
=
,
следовательно
ω
π
ср
=
,
,
3 8
0 5
=23,6 1/сек.
Длина отрезка с наклоном –20дб/дек при
ω
ср
85
ограничивается условиями необходимого запаса по фазе в
° и по модулю в децибелах. Для этого
используется номограмма (рис.106) постоянных значений P на плоскости ЛЧХ (иллюстрация на
рис.122).
По значению
из предыдущего
графика, определяемому для заданного
P
max
σ
%
, находим
:
P
min
P
P
min
max
,
= −
= −
1
0 28
.
max
На номограмме P (рис.122) строится
прямоугольник,
определяемый
касательными линиями к линиям
и
(прямая линия).
P
P
min
По оси ординат отсчитываем запас по
модулю в децибелах, а по оси абсцисс запас
по фазе
∆ϕ
в
°
∆
A
= 14
дб;
∆ϕ
= 40
°.
Следовательно
отрезок
ЛАХ
с
наклоном
-20дб/дек
ограничивается
величинами
±
∆
A
.
Имея
низкочастотный участок и
среднечастотный с наклоном -20дб/дек надо
провести их сопряжение. Рекомендуется,
чтобы участок сопряжения из одного
отрезка в другой производился так, чтобы наклон предыдущего отличался от наклона соседнего участка
на -20дб/дек (для упрощения корректирующего устройства) (рис.120).
ϕ°(ω)
Рис.122
2
2
0
0
-2
-2
-4
-4
-6
-6
-8
-8
-10
-10
-12
-12
-14
-14
-16
-16
4
4
6
6
8
8
10
10
12
12
14
14
16
20lgA
16
0
0
20
°
-20
°
40
°
-40
°
60
°
-60
°
80
°
-80
°
100
°
-100
°
120
°
-120
°
140
°
-140
°
160
°
-160
°
180
°
дб
-180
°
2,5
3,0
1,8
1,5
1,4
1,3
1,28
-0,2
8
1,2
1,15
1,
10
1,0
75
1,0
5
1,
03
1,0
1
1,
0 0,
98
0,
95 0,9
3
0,9
0
0,85
0,82
0,80
0,75
0,70
0,65
0,59
0,50
0,41
0,35
0,30
0,25
0,20
0,18
0,15
0,10
0,0
7
0,0
5
0,0
2
0,0
-0
,0
1
-0
,0
3
-0
,0
5
-0
,0
75
-0,
10
-0,15
-0,20
-0,3
-0,4
-0,5
-0,8
-1,5
-2,0
3. Высокочастотная часть желаемой ЛАХ выбирается по возможности аналогичной ЛАХ
неоткорректированной системы, т.к. высокие частоты соответствуют малым постоянным времени
системы, которые не оказывают заметного влияния на вид ПП (рис.120).
Исследование САУ со звеном чистого запаздывания
Звеном с чистым запаздыванием называют такое звено, у которого выходная величина повторяет
все изменения входной величины с постоянным сдвигом по времени.
x
вх
x
вх
x
вых
x
вых
t
0
τ
Рис.123
τ
– время чистого запаздывания.
Уравнение такого звена имеет вид:
x
t
x
t
вых
вх
( )
(
)
=
−
τ
,
(1)
где
x t
вх
( )
– любая функция времени.
Звено с чистым запаздыванием является линейным звеном,
однако его ПФ трансцендентна
W p
x
p
x
p
e
вых
вх
p
( )
( )
( )
=
=
−
τ
(1)
Амплитудно-фазовая характеристика при
p
j
=
ω
W j
e
j
j
(
)
cos
sin
ω
ωτ
ωτ
=
=
−
−
ωτ
,
(2)
ωτ
ωτ
ωτ
ωτ
ω
ϕ
ωτ
ωτ
ω
−
=
−
=
−
=
=
+
=
)
(
cos
sin
)
(
,
1
sin
cos
)
(
2
2
tg
arctg
arctg
A
,
(3)
Следовательно в логарифмическом масштабе:
ЛАХ:
20
20 1 0
lg ( )
lg
A
ω
=
=
– ЛАХ совпадает с осью абсцисс.
ЛФХ:
ϕ ω
ωτ
( )
= −
.
При исследовании систем с чистым запаздыванием необходимо учитывать, что характеристическое
уравнение такой системы трансцендентно и имеет бесчисленное множество корней. Поэтому
алгебраические критерии Рауса и Гурвица не могут быть непосредственно использованы. Специальные
86
критерии устойчивости для данных систем разработаны Понтрягиным Л.С., Чеботаревым Н.Г.,
Мейманом Н.Н.
Однако для практического использования во многих случаях более удобными оказываются
частотные критерии Михайлова, Найквиста и Д-разбиения.
Критерий Михайлова: Для того, чтобы линейная система со звеном чистого запаздывания была
устойчива, необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова
M j
(
)
ω
при изменении частоты от 0
до
, нигде не обращаясь в нуль, повернулся вокруг начала координат в положительном направлении
на угол
∞
π
n
2
(где n - порядок характеристического уравнения), т.е. последовательно прошел через n
квадрантов комплексной плоскости
M j
(
)
ω
.
Критерий Найквиста: Для того, чтобы замкнутая система со звеном чистого запаздывания была
устойчива, необходимо и достаточно, чтобы вектор амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой
системы
W j
p
(
)
ω
при изменении
ω
от 0 до
∞
повернулся бы
k
2
раз в положительном направлении
вокруг точки
(где – число правых корней разомкнутой системы).
− 1; 0
j
k
Таким образом, частотные критерии для систем, включающих звенья чистого запаздывания,
оказываются совершенно такими же по форме, как и для обыкновенных линейных систем.
Звено чистого запаздывания не является минимально-фазовым звеном.
Оценка состояния линейных динамических систем
В модальном методе синтеза мы предполагали, что можно измерить все компоненты вектора
состояния x. В общем случае в реальных системах сделать это невозможно. Как правило, в нашем
распоряжении находятся компоненты входного вектора y, а иногда и отдельные компоненты вектора
состояния x.
Для обеспечения обратной связи по состоянию необходимо каким-либо образом по измеряемым
координатам y восстановить вектор состояния x.
Определения: 1. Оценкой вектора состояния x называется такая величина
∃
x
, которая после
допустимого интервала времени становится с определенной точностью близкой x.
2. Асимптотической оценкой вектора состояния называется величина
x
, если
.
lim ∃( )
t
x t
x
→∞
=
3. Специальную динамическую систему, которая вырабатывает оценку
∃
x
будем
называть фильтром оценки состояния.
Разработаны: дифференцирующий фильтр, фильтр Винера-Калмана, фильтр Люенбергера и др.
Одним из способов восстановления вектора состояния
x
является непосредственное вычисление
координат состояния.
Способ прямого вычисления вектора состояния
Уравнения динамической линейной системы имеют вид:
=
+
=
,
,
Cx
y
Bu
Ax
x&
.
,
)
,
(
,
n
m
R
y
u
R
x
m
n
<
∈
∈
(1)
Матрица C имеет полный ранг:
rangC m
=
.
Пусть кроме вектора выходных координат доступны измерению некоторые компоненты вектора
состояния
y
x
.
Тогда разобьем вектор
x
на две группы
x
R
n m
1
∈
−
и
x
R
m
2
∈
.
Из второго уравнения (1) можно записать:
y C x
C x
=
+
1 1
2
2
,
(2)
87