Файл: Модальный метод синтеза.pdf

Добавлен: 15.02.2019

Просмотров: 1369

Скачиваний: 6

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
background image

A

B

=





= 





=

1

1

2

5

2

1

;

;

k

?

 

1. Характеристическое уравнение объекта 

det(

)

λ

λ

λ

I

A

=

+ =

0

6

2

7 0

2. Пусть 

λ

λ

1

2

1

2

*

*

;

= −

= −

    Желаемое характеристическое уравнение замкнутой системы будет 

(

)(

) (

)(

)

*

*

λ λ λ λ

λ

λ

λ

λ

=

+

+

=

+

+

1

2

2

1

2

3

2

= 0

3. Выбираем управляющее воздействие 

u kx k x

k x

=

=

+

1 1

2 2

4. Вычисляем матрицу 

T

2

1

17

2

17

3

17

11

17

=

5. 

.

9

3

6

~

~

,

5

2

7

~

~

2

2

2

1

1

1

=

=

=

=

=

=

C

a

k

C

a

k

 

6. 

[

]

[

]

k

k

k

k T

=

=

=

= −







1

2

2

5

9

1

17

2

17

3

17

11

17

32

17

89
17

~

 
 
 

Статический расчет системы

 

 
Кроме  требований  к  динамике  в  замкнутой  САУ  требуется  обеспечить  заданные  статические 

свойства.  В  частности,  требуется,  чтобы  по  окончании  ПП  выходная  координата  соответствовала  бы 
заданной, т.е. необходимо 

lim ( )

,

t

y t

v

→∞

=

 

(1’) 

где    – заданное значение выходной координаты. 

v

Управляющее воздействие имеет вид: 

u kx Dv

u v

R

x R

m

n

=

+

, ( , )

,

(1) 

D

 – квадратная матрица 

dim

D m m

= ×

Полагаем, что элементы матрицы 

k

 уже определены предыдущим алгоритмом синтеза модальным 

методом. Определим матрицу 

 из условия статики: 

D

+

=

=

+

=

.

,

,

Dv

kx

u

Cx

y

Bu

Ax

x&

 

(2) 

В статике 

&

x

= 0

,  

x R

n

. Т.к. 

det

A

≠ 0

 

).

(

)

(

)

(

)

(

)

(

0

1

1

1

0

0

1

1

1

0

0

1

0

1

0

0

BDv

A

Bk

A

I

C

Cx

y

BDv

A

Bk

A

I

x

Dv

kx

B

A

x

Bu

A

x

Bu

Ax

+

=

=

+

=

+

=

=

+

=

 

(3) 

Т.к. рассматривается условие (1’), то можно записать 

I

C I

A Bk

A B

= −

+

(

)

1

1

1

(4) 

D

Из выражения (4) определяется требуемая матрица 

D

Структурная схема реализуемой системы (рис.112) 

 

78


background image

v

D

&

x

Ax Bu

=

+

u

x

y

C

k

Рис.112

 

 

В данной структуре обеспечены заданные статические и динамические свойства системы. 

Учет возмущений 

На  реальную  САУ  в  процессе  работы  влияют  внешние  возмущения.  Их  действие  должно  быть 

сведено  до  минимума  выбором  параметров  регулятора.  В  противном  случае  поведение  замкнутой 
системы будет сильно отличаться от желаемого. 

Рассмотрим, как нужно уменьшить влияние возмущений: 

+

=

=

+

+

=

,

,

),

(

Dv

kx

u

Cx

y

t

F

Bu

Ax

x&

 

(1) 

( , , )

,

,

v u y

R

x R

F R

m

n

l

 

Рассмотрим статический режим, когда 

&

x

= 0

 

.

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

0

1

1

1

1

1

0

0

1

1

1

1

1

1

0

0

1

0

1

0

0

F

A

Bk

A

I

C

BDv

A

Bk

A

I

C

Cx

y

F

A

Bk

A

I

BDv

A

Bk

A

I

x

F

BDv

Bkx

A

x

F

Bu

A

x

t

F

Bu

Ax

+

+

=

=

=

+

+

+

=

+

+

=

+

=

+

+

=

 

(2) 

Из выражения (2) видно, что матрица 

 во второе слагаемое не входит, в нем присутствует только 

матрица  коэффициентов  регулятора  .  Следовательно,  уменьшить  влияние  возмущений  на  выходные 
координаты  можно  только  с  помощью  коэффициентов  матрицы 

,  а  они  рассчитаны  из  условий 

требуемых динамических свойств. 

D

k

k

Статическая ошибка из (2) 

ε

=

− = −

+

y

v

C I

A Bk

A F

0

1

1

1

(

)

(3) 

При построении системы всегда требуется, чтобы 

ε ε

зад

.

, т.е. должно выполняться 

C I

A Bk

A F

зад

(

)

.

1

1

1

ε

(4) 

При рассчитанных значениях матрицы коэффициентов   проверяется, выполняется ли условие (4), 

если  оно  не  выполняется,  то  необходимо  изменять 

,  следовательно  меняется  и  требуемое 

распределение корней. 

k

k

В этом случае необходимо находить компромиссное решение при расчете элементов матрицы  . 

k

В общем случае для многосвязных систем матрица   имеет размерность 

k

dim k

m n

= ×

, поэтому   

элементов  матрицы 

  рассчитываются  из  условия  обеспечения  заданных  динамических  свойств,  а 

оставшиеся   элементов позволят обеспечить определенную ошибку в статическом режиме. 

n

k

m

 
 
 
 

Определение коэффициента усиления разомкнутой САУ 

скалярной системы

 

 
При  заданном  объекте  управления,  вначале  определяется  нужна  ли  замкнутая  САУ,  чтобы 

обеспечить  требуемую  точность  (ошибку) 

ε

%

  в  статике  для  всего  заданного  диапазона  изменения 

выходной координаты 

D

x

x

=

max

min

ε

0

%

 – ошибка объекта управления по возмущению. 

 

79


background image

f

f

1

x

x

уст.

ε

0

Рис.113

 

ε

ε

0

0

100%

%

.

=

x

уст

 

1. Если 

ε

ε

%

>

0

%

, то объект в разомкнутом состоянии 

обеспечивает заданную ошибку 

ε

%

2.  Если 

ε

ε

%

%

<

0

,  то  необходимо  иметь  замкнутую 

систему, причем 

ε

ε

%

%

=

+

0

k

p

,      откуда 

 
 
 

k

p

=

ε

ε

0

1

%

%

(1) 

Т.к.  при  уменьшении  величины 

x

,  относительная  ошибка  возрастает,  то  требуемый  коэффициент 

усиления разомкнутой системы обычно определяется для 

, тогда 

x

min

ε

ε

%

%

=

+

0

1

D

k

p

,  

k

D

p

=

ε

ε

0

1

%

%

(2) 

Если 

  удовлетворяет  выражению  (2)  (а  практически  берут  с  запасом),  то  на  всем  диапазоне 

изменения 

k

p

x

 будет поддерживаться выходная координата с точностью 

ε

%

Следовательно: при известном коэффициенте усиления (передачи) объекта – 

 необходимо, чтобы 

. Отсюда определяется коэффициент усиления УУ. 

k

0

k

k k

p

=

0

y

k

k

k

y

p

=

0

Для астатических (следящих) систем определяется требуемый коэффициент усиления по заданной 

скоростной ошибке 

ε

ск

p

k

=

 – скорость изменения входного сигнала  

 = 1 рад/сек, тогда 

k

p

ск

=

1

ε

Далее  определяются  динамические  свойства  системы  (если  система  неустойчива  или  при 

устойчивой  системе  получается  неудовлетворительное  качество)  необходимо  синтезировать 
корректирующее устройство. 

 
 
 
 

Частотный метод синтеза

 

 
Этот метод активно развивался, начиная с 50-х годов. Он применяется, в основном, как графический 

и не позволяет получить точных оценок показателей качества, но является достаточно простым методом 
синтеза. Метод применяется, в основном, для синтеза линейных скалярных систем и иногда эффективно 
применяется  для расчета нелинейных систем. 

Для данного метода необходимо: 

1.  Задать  математическую  модель  объекта  в  виде  передаточных  функций  и  от  них  перейти  к 

частотным характеристикам. 

2.  Задать по заданным показателям качества желаемые частотные характеристики. 

 

80


background image

3.  Задать структуру регулятора в виде корректирующего звена с помощью передаточных функций 

или частотных характеристик. 

Существует два метода: 
1.  Последовательная коррекция. 
2.  Параллельная коррекция. 
 
1. Последовательная коррекция. 
Имеем исходную систему (рис.114) 

G(p)

Рис.114

W

1

(p)

W

2

(p)

X(p)

 

Если исходная система неустойчива или не удовлетворяет заданным показателям качества ПП, то её 

необходимо скорректировать. Применяем последовательную коррекцию с пока неизвестной ПФ 

W p

K

( )

 

(рис.115) 

G(p)

Рис.115

W

K

(p)

W

2

(p)

W

1

(p)

?

X(p)

 

Требуется определить ПФ 

W p

K

( )

, а затем и физические элементы, ей соответствующие. 

Для этого: По известным показателям качества регулирования определяется желаемая передаточная 

(частотная) характеристика разомкнутой системы 

W p

*

( )

, тогда 

W p

W p W p W p

W p

p

K

( )

( )

( )

( )

( )

*

=

=

1

2

 

откуда 

W p

W p

W p W p

K

( )

( )

( )

( )

*

=

1

2

(1) 

От  (1)  перейдем  к  частотным  характеристикам  в  логарифмическом  масштабе.  Для  этого 

прологарифмируем (1) при 

p

j

ω

 

20

20

20

1

2

lg

lg

lg

*

W

W

W

K

=

W

(2) 

График 

вычисления 

последовательного 

корректирующего 

устройства 

по 

частотным 

характеристикам в обычном масштабе (рис.116) 

Re

ω=0

ω=∞

ω

3

ω

3

ω

2

ω

2

ω

1

ω

1

Рис.116

Im

-1,j0

k

p

W

1

W

2

W

*

 



=

=

).

(

)

(

)

(

)

(

,

)

(

)

(

)

(

)

(

2

1

*

2

1

*

i

i

i

i

K

i

i

i

i

K

A

A

A

A

ω

ϕ

ω

ϕ

ω

ϕ

ω

ϕ

ω

ω

ω

ω

 

 
 
 
 
 
 
 

 
График 

вычисления 

последовательного 

корректирующего 

устройства 

по 

частотным 

характеристикам в логарифмическом масштабе по выражению (2) (рис.117) 

 

81


background image

lg

ω

ω

1

ω

2

ω

3

ω

4

20lg W

1

W

2

|

|

20lg W

K

| |

20lg W

*

| |

-20

 дб/д

ек.

-20

+20

0

-20

 дб/д

ек.

-40

 дб

/де

к.

Рис.117

20lgA

(ω)

По  полученному  виду  ЛАХ 

20 lgW

K

  по 

таблицам  стандартных  фильтров  (RC-цепочек) 
(табл.  2  на  стр.83),  определяется  соответствующая 
схема  корректирующего  устройства,  параметры 
сопротивлений  и  емкостей  зависят  от  численных 
значений 

ω ω ω ω

1

2

3

,

,

,

4

W p

T p

T p

T p

T p

K

( )

(

)(

(

)(

=

)
)

+

+

+

+

2

3

1

4

1

1

1

1

где  

.

1

,

1

,

1

,

1

4

4

3

3

2

2

1

1

ω

ω

ω

ω

=

=

=

=

T

T

T

T

 

Недостатки последовательной коррекции: 
1.  В  некоторых  САУ  невозможно  разорвать  главный  контур  регулирования,  следовательно, 

невозможно включить последовательную коррекцию. 

2.  Низкая помехозащищенность, т.к. корректирующие звенья в основном дифференцирующие, то в 

них возрастают высокочастотные помехи. 

Эти недостатки отсутствуют у параллельной коррекции. 
 
2. Параллельная  коррекция. 
Рекомендации по месту включения корректирующего звена: 
2.1. Необходимо охватывать звенья с наибольшим коэффициентом усиления. 
2.2. Не  рекомендуется  охватывать  много  инерционных  звеньев,  т.к.  сам  контур  может  оказаться 

неустойчивым  (если  все  же  по  условиям  приходится  охватывать  инерционные  звенья,  тогда 
внутренний контур по любому критерию необходимо проверить на устойчивость). 

G(p)

Рис.118

W

1

(p)

W

2

(p)

x(p)

E(p)

W

1

(p)

W

K

(p)

 

Как  и  при  последовательной  коррекции  по  заданным  показателям  качества  определяется 

W p

*

( )

 

разомкнутой системы, тогда 

W p

W p

W p W p

W p W p

W p

p

K

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

*

=

+

=

1

1

2

3

1

(1) 

обозначив 

 – ПФ нескорректированной разомкнутой системы и решая относительно 

, получим 

W W W

W

H

1

2

3

=

W

K

W p

W p

W p

W p W p

K

H

( )

( )

( )

( )

( )

*

*

=

1

(2) 

Уравнение (2) является исходным для определения ПФ параллельного корректирующего звена. 
Если  коэффициент  усиления  разомкнутой  системы  достаточно  большой  (большинство  реальных 

систем), то синтез параллельного корректирующего звена ведут по ”вырожденным структурам”. 

 
 
 

Параллельная коррекция по вырожденной структуре

 

 
Заменяя в (1) 

p

j

=

ω

, получим частотные характеристики 

W

j

W j

W j

W j

W j W

j

K

*

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

ω

ω

ω

ω

ω

ω

=

+

1

2

3

1

1

(3) 

В области частот работы системы (область средних и высоких частот) 

W j

W

j

K

1

1

(

)

(

)

ω

ω

>>

, поэтому  

 

Электрические схемы, передаточные функции, ЛЧХ типовых корректирующих устройств 

Таблица 2

 

82