ВУЗ: Новосибирский государственный технический университет
Категория: Учебное пособие
Дисциплина: Основы теории управления
Добавлен: 15.02.2019
Просмотров: 1454
Скачиваний: 5
1
g(t)
t
Рис.25
x(t)
x(t)
g(t)
k
3.2. Для получения импульсной переходной функции необходимо продифференцировать по
времени переходную характеристику, тогда на выходе имеем
δ
(t)-функцию.
3.3. Частотная характеристика (
p
j
→
ω
).
3.3.1.
W j
X j
Q j
k
P
k
Q
A
k
(
)
(
)
(
)
,
( )
,
( )
,
( )
,
( )
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ϕ ω
=
=
=
=
=
=
0
0
ο
на комплексной плоскости имеет вид:
Im
Re
Рис.26
K
3.3.2. ЛЧХ:
20
20
⋅
=
⋅
lg ( )
lg
A
k
ω
.
20 lgA(
ω)
Рис.27
20 lgk
ω
20 lgA(
ω)
0
1
2
1
10
100
ϕ(ω)
lg
ω
ЛФХ:
ϕ ω
( )
= 0
.
Описание реальных элементов динамическими характеристиками усилительного безинерционного
звена является всегда некоторой идеализацией, т.к. все реальные объекты в природе – инерционны.
4.
i
R
U
kU
вых
вх
вх
=
=
1
,
где
k
R
=
1
(1/ом) – коэффициент передачи.
U
вх
i
вых
R
1.
U
вх
R
2
2.
U
вх
R
1
U
R
R
R
U
kU
вых
вх
вх
=
+
=
2
1
2
,
где
k
R
R
R
=
+
2
1
2
– коэффициент усиления.
2. Интегрирующее звено
1. Звено, сигнал на выходе которого пропорционален интегралу от входного сигнала, называется
интегрирующим звеном.
По определению:
.
x t
g t dt
( )
( )
=
∫
0
τ
22
ИЗ
x(t)
рис. 28
g(t)
2. Из свойства преобразования Лапласа:
X p
k
p
Q p
k
p
Q p
( )
( )
( )
=
=
1
.
Тогда по определению передаточная функция будет
W p
X p
Q p
k
p
( )
( )
( )
=
=
.
Отметим, что коэффициент передачи интегрирующего звена имеет размерность 1/сек.
3.1. Если g(t) – единичная ступенчатая функция, то переходная функция интегрирующего звена
имеет вид
(рис.29).
x t
kt
( )
=
1
g(t)
t
Рис.29
x(t)
x(t)=kt
g(t)
k
δ
вых
(t)
δ
вых
(t)=k
arctg k
3.2. Если
g t
t
( )
( )
=
δ
, то дифференцируя
x t
( )
, получим
δ
вых
t
( ) k
=
(рис.29).
3.3. Частотная характеристика.
3.3.1.
W j
X j
Q j
k
j
j
k
(
)
(
)
(
)
ω
ω
ω
ω
=
=
= −
ω
,
P
Q
k
( )
,
( )
,
ω
ω
ω
=
= −
0
A
k
( )
,
( )
ω
ω
ϕ ω
π
=
= −
2
т.е. амплитудно-фазовая характеристика при изменении частоты от 0 до
∞ проходит по
отрицательной мнимой оси комплексной плоскости (рис.30).
Im
Re
Рис.30
0
ω=∞
W(j
ω
)
ω→∞
3.3.2. ЛАХ:
20
20
20
lg ( )
lg
lg
A
k
ω
ω
=
−
.
Вычислим значение ЛАХ при
ω
= 1
и
ω
= 10
.
ω
= 1
,
20
1
20
lg ( )
lg
A
k
=
,
ω
= 10
,
20
10
20
20
lg ( )
lg
A
k
=
−
.
Следовательно, при изменении частоты на 1 декаду, амплитуда уменьшается на 20 децибел (рис.31).
23
20lgA
ω
Рис.31
где k=10
0
2
1
10
ϕ
ЛФХ
10
20
–
π/4
–
π/2
lg
ω
20lgk,
ЛАХ
–20 дб/дек
ЛФХ:
ϕ ω
π
( )
= −
2
4.
если R=0, то по закону Кирхгофа
U
вх
i
вых
L
1.
U
L
di
dt
вх
вых
=
;
i
,
L
U dt k U dt
вых
вх
T
вх
T
=
=
∫
∫
1
0
0
k
L
=
1
(1/Гн) – коэффициент передачи.
ω
– угловая скорость вращения вала двигателя.
θ
– угол поворота выходного вала редуктора.
Для редуктора
g t
x t
( )
, ( )
=
=
ω
θ
.
Из механики известно, что
ω
θ
= k
d
dt
, тогда
θ
ω
=
∫
1
0
k
dt
T
,
k
– коэффициент передачи редуктора.
2.
Ред.
ω
Д
Нагр.
θ
3. Апериодическое (инерционное) звено или звено 1-го порядка
1. Звено, которое описывается уравнением вида:
T
dx t
dt
x t
kg t
( )
( )
( )
+
=
,
где k – коэффициент передачи (усиления),
T
–
постоянная
времени,
характеризующая
инерционность (с), называется апериодическим звеном.
АЗ
x(t)
рис. 32
g(t)
2. Переходя к преобразованию Лапласа
(
) ( )
( )
Tp
x p
kG p
+
=
1
(1)
получим по определению передаточную функцию
W p
x p
G p
k
Tp
( )
( )
( )
=
=
+ 1
(2)
3.1 Переходная характеристика такого звена при
g t
( )
= 1
представляет собой экспоненту
x t
k
e
t
T
( )
(
)
=
−
−
1
.
24
1
g(t)
t
Рис.33
x(t)
g(t)
k
T
x
уст
Переходный
процесс
достигает
своего
установившегося значения
практически за 3T
(рис.33).
0 95
,
x
уст
3.2 Импульсная переходная функция при
g t
t
( )
( )
=
δ
находится дифференцированием
x t
( )
при
g t
( )
= 1
, получим
g(t)
t
Рис.34
k/T
T
δ
вых
t
T
t
k
T
e
( )
=
−
(рис.34.)
Если
эти
характеристики
получены
экспериментально, то по ним можно определить T и k,
как показано на рис. 33 и 34, и, таким образом,
получить уравнение звена (что очень важно).
3.3.1 Частотная характеристика:
W j
x j
G j
k
Tj
k
jkT
T
jT
jT
(
)
(
)
(
)
;
(
)
(
)
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
=
=
+
=
−
+
• −
• −
1
1
2
2
1
1
P
k
T
( )
;
ω
ω
=
+
2
2
1
Q
kT
T
( )
;
ω
ω
ω
= −
+
2
2
1
A
k
T
( )
;
ω
ω
=
+
2
2
1
ϕ ω
ω
( )
;
= −arctgT
График ЧХ в обычном масштабе (рис.35).
Im(Q)
Re(P)
Рис.35
ω=∞
ω
1
ω
2
ω
С
=1/T
ω=∞
k/2
k
k/2
A(
ω
1
)
ϕ
(
ω
1
)
3.3.2. ЛАХ:
20
20
1
2
2
lg ( )
lg
;
A
k
T
ω
ω
=
+
При
k
= 1
20
20
1
2
2
lg ( )
lg
;
A
T
ω
ω
= −
+
Построение:
1. При малых частотах, где
, пренебрегаем
.
T
2
2
1
ω
<<
T
2
2
0
ω
=
20
20 1 0
lg ( )
lg
A
ω
= −
=
.
2. При больших частотах, где
, пренебрегаем 1, тогда
T
2
2
1
ω
>>
20
20
lg ( )
lg
A
T
ω
ω
= −
.
3. В области средних частот
, отсюда определяем частоту сопряжения
низкочастотной и высокочастотной составляющей:
T
2
2
1
ω
=
ω
C
T
=
1
25
Определим
наклон
высокочастотной
составляющей, для чего вычислим изменение
при изменении частоты в 10 раз.
lg
A
20
20 10
20
20
10
20
lg
lg
lg
10
20
lg
lg
T
дб
+
=
= −
= −
= −
∆
A
T
T
T
= −
т.е. при изменении частоты на одну декаду
(в 10 раз), ЛАХ уменьшается на 20 дб,
следовательно
наклон
высокочастотной
составляющей равен –20 дб/дек.
Это
мы
построили
приближенную
характеристику.
Действительная
АЧХ
отличается в частоте сопряжения, как известно
из практики на 3 дб (что допустимо для
инженерных расчетов) (рис.36).
ЛФХ (рис.36):
ϕ ω
ω
( )
= −arctgT
– тангенсойда, при
ω
ϕ
=
=
0
0
,
;
ω
lg
ω
ω
C
ω=∞
10
10
1
0
1
3 дб
-45
°
-90
°
20
20lgk
-20 д
б/дек
., K=
1
-20 д
б/дек
., K=
1
Рис.36
20lgA
−ϕ
ϕ
вспо
мога
тел
ьная
лин
ия д
ля
пост
рое
ния
-20 д
б/де
к.
при
ω ω
ϕ
=
=
= −
C
T
1
45
,
;
ο
при
ω
ϕ
= ∞
= −
,
.
90
ο
При
ЛАХ перемещается параллельно самой себе по оси ординат на величину
, ЛФХ –
остается той же самой (рис.36).
k
≠ 1
20 lg
k
4.
U
i R L
di
dt
вх
вых
вых
=
+
.
U
вх
i
вых
L
R
Поделив на R, получим
T
di
dt
i
kU
вых
вых
вх
+
=
, где
k
=
R
1
, [1/Ом] – коэффициент передачи
апериодического звена.
T
L
R
=
, [сек.] постоянная времени апериодического звена.
4. Колебательное звено или звено 2-го порядка
1. Уравнение колебательного звена:
T
d x t
dt
T
dx t
dt
x t
kg t
1
2
2
2
2
( )
( )
( )
( )
+
+
=
,
(1)
КЗ
x(t)
рис. 37
g(t)
причем и
T
связаны между собой условием
T
1
2
ξ
=
<
T
T
2
1
2
1
(
ξ
– кси)
(2)
Условие (2) означает, что корни характеристического уравнения
,
соответствующего дифференциального уравнения (1) являются комплексными
T
T
1
2
2
2
1 0
λ
λ
+
+ =
λ
1 2
2
2
2
1
2
1
2
4
2
,
=
−
±
−
T
T
T
T
(3)
2. Переходя к преобразованию Лапласа
(
) ( )
( )
T p
T p
x p
kG p
1
2
2
2
1
+
+
=
(4)
получим передаточную функцию колебательного звена
26