ВУЗ: Новосибирский государственный технический университет
Категория: Учебное пособие
Дисциплина: Основы теории управления
Добавлен: 15.02.2019
Просмотров: 1456
Скачиваний: 5
Ax
Bu
Ax
Bu
0
0
0
+
=
→
= −
,
(3)
получим
x
A B
0
1
= −
−
u
.
(4)
Решение (4) существует и является единственным, если матрица A невырождена, т.е.
det A
≠ 0
.
Если
u const
=
, то
x
const
0
=
(рис.66).
x
x
x
0
t
F
↓
F
↑
Рис.66
t
1
t
2
Если возмущающее воздействие F вывело систему из
состояния равновесия, а по окончании его действия система
возвращается в это состояние, то такая система устойчива
(рис.66).
t t
1
2
,
– моменты действия возмущений.
Рассмотрим отклонение системы от состояния равновесия
∆x x x
= −
0
,
(5)
где
x
– текущие координаты вектора состояния,
– вектор состояния установившегося режима.
x
0
Определение: Линейная система устойчива, если
lim
( )
t
x t
→∞
=
∆
0
.
(6)
Рассмотрим как изменяется
∆x
во времени.
∆& & &
x x x
= −
0
, но т.к.
&
x
0
0
=
, то
∆& &
x x
=
.
(7)
Подставим (5) и (7) в (1).
∆
∆
∆
&
(
)
x
A x x
Bu
A x
Ax
Bu
=
+
+
=
+
+
0
0
или учтя (3), получим
∆
∆
∆
&
x
A x Bu Bu
A x
=
−
+
=
.
(8)
Как видно из (8) поведение
∆x
во времени определено матрицей объекта A. Следовательно эту
матрицу необходимо изучать для установления факта устойчивости. При этом можно не переходить к
отклонениям от равновесного состояния, а рассматривать однородную систему дифференциальных
уравнений
&
x
Ax
=
(9)
Основное условие устойчивости
Итак, уравнения, определяющие устойчивость системы имеют вид
&
,
, dim
x
Ax x R
A n
n
=
∈
=
(1)
n
×
.
Если известно начальное состояние системы при t=0, x(0), то решение (1), как мы уже видели,
будет
x t
f x
e e
i
i
it
i
i
n
( )
( ( ))
=
=
∑
0
1
λ
,
(2)
e
i
– собственные вектора динамической системы,
λ
i
– собственные значения матрицы A или корни характеристического уравнения
[
]
det
λ
I
A
−
= 0
.
(3)
Если имеем скалярную систему, то характеристическое уравнение имеет вид
a
a
a
a
n
n
n
n
λ
λ
λ
+
+
+
+
−
−
1
1
1
0
0
Κ
=
λ
,
(4)
а решение (1), тогда
x t
c e
c e
c e
t
t
n
t
n
( )
=
+
+
+
1
2
1
2
λ
λ
Κ
,
(5)
где
c i
n
i
,
= 1,
– постоянные интегрирования, определяемые начальными условиями.
37
Встает вопрос: каким требованиям должны удовлетворять корни
λ
i
i
,
= 1 n
,
, для того, чтобы
выполнялось условие устойчивости. Из (2) и (5) видно, что для
x t
( )
→ 0
t
, при
→ ∞
, необходимо,
чтобы каждое слагаемое
.
e
i
t
λ
→ 0
Это возможно, как мы уже отмечали, когда
Re
,
,
λ
i
i
n
<
=
0
1
.
Теорема об устойчивости. Для устойчивости линейной динамической системы необходимо и
достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения имели
отрицательные вещественные части (были левыми).
Докажем условие необходимости:
Имеем характеристическое уравнение (4), тогда, если известны корни характеристического
уравнения, полином можно представить в таком виде (теорема Виета):
D
a
n
n
( )
(
)(
)
(
)
λ
λ λ λ λ
λ λ
=
−
−
−
1
2
Κ
.
(6)
Не лишая общности рассуждения, полагаем
a
n
= 1
, тогда возможно:
1. Если все корни вещественны и отрицательны, т.е.
λ
α
i
i
i
n
= −
=
,
,
1
.
(7)
Подставляя (7) в (6), получим
D
n
( ) (
)(
)
(
)
λ
λ α λ α
λ α
=
+
+
+
1
2
Κ
.
(8)
Перемножая скобки в (8), получим полином n-й степени, в котором все коэффициенты
положительны.
2. Если все корни комплексные, но с отрицательной вещественной частью, т.е.
λ
α
ω
i
i
i
j
i
= − ±
=
,
,
1
n
.
(9)
Снова подставим (9) в (6), допустим для двух комплексно-сопряжённых корней, тогда получим
λ
α
ω
= − ± j
D
j
j
( ) (
)(
) (
)
λ
λ α
ω λ α
ω
λ
αλ α
ω
=
+ −
+
+
=
+
+
+
2
2
2
2
2
.
(10)
Из (10) видно, что также получается многочлен с положительными коэффициентами.
Из рассмотренного вытекает необходимое условие устойчивости:
Для устойчивости линейной динамической системы необходимо, чтобы все коэффициенты
характеристического уравнения были положительными, т.е.
a
i
i
>
=
0
1
,
,
n
.
Заметим, что в данном определении отсутствует слово ”достаточно”.
Однако, данное условие является намного эффективнее основного условия устойчивости, т.к. не
требует вычисления корней.
То есть по виду характеристического уравнения системы можно сделать какое-то заключение об
устойчивости. Если хотя бы один из коэффициентов характеристического уравнения отрицателен, то
сразу можно сказать, что система неустойчива.
Однако, если все коэффициенты характеристического уравнения положительны, то в общем случае
нельзя уверенно утверждать, что система устойчива.
Для суждения об устойчивости САУ практически нет необходимости находить корни
характеристического уравнения, т.к. хорошо разработаны косвенные методы, по которым можно судить
о знаках вещественных частей этих корней и тем самым об устойчивости системы, не решая самого
характеристического уравнения. Эти косвенные методы называются критериями устойчивости.
Критерии устойчивости линейных САУ
1. Алгебраические.
2. Частотные.
=
1. Алгебраический критерий Гурвица (1895 г., Швейцария).
Наиболее распространен в технической практике алгебраический критерий Гурвица в форме
определителей.
Пусть имеется характеристическое уравнение системы:
a p
a
p
a
p
a p a
n
n
n
n
n
n
+
+
+
+
+
−
−
−
−
1
1
2
2
1
0
0
Κ
.
(1)
38
Составляется определитель Гурвица по следующему алгоритму:
1. Главная диагональ, начиная с коэффициента
и т.д. до
a
.
a
a
n
n
−1
,
−2
0
2. Коэффициенты над главной диагональю – с уменьшающимися индексами.
3. Коэффициенты под главной диагональю – с увеличивающимися индексами.
a
a
a
a
a
n
n
n
n
−
−
−
1
3
2
0
0
0
0
0
Λ
Λ
Λ
Λ
Λ Λ
Λ
– определитель Гурвица
Определение критерия: Для устойчивой системы необходимо и достаточно, чтобы все
диагональные миноры определителя Гурвица и сам определитель были положительны
,
∆
1
1
0
=
>
−
a
n
∆
2
1
3
2
1
2
3
0
=
=
−
−
−
−
−
−
−
a
a
a
a
a a
a a
n
n
n
n
n
n
n n
>
,
. . . . . .
.
∆
n
> 0
Для определения критического значения какого-либо параметра САУ достаточно приравнять
нулю
.
∆
n
−1
Следствие алгебраических критериев: Для уравнения 2-го порядка, положительность
коэффициентов является необходимым и достаточным условием устойчивости.
Область применения алгебраических критериев ограничивается, как правило, системами не выше 5-
го порядка, т.к. условия устойчивости усложняются с ростом порядка системы. Кроме того,
алгебраические критерии применяются лишь для анализа системы на устойчивость при известных всех
её параметрах. Отметим, что алгебраические критерии не применимы для систем с чистым
запаздыванием.
Частотные критерии устойчивости
Существует три частотных критерия:
1. Критерий Михайлова (1938 г.)
2. Критерий Найквиста (1932 г.)
3. Д-разбиение Ю.И.Неймарка (1948 г.)
1. Критерий Михайлова.
=
Имеется характеристическое уравнение системы n-го порядка
a p
a
p
a
p
a p a
n
n
n
n
n
n
+
+
+
+
+
−
−
−
−
1
1
2
2
1
0
0
Κ
.
(1)
Левую часть (1) приравниваем
M p
( )
M p
a p
a
p
a
p
a p a
n
n
n
n
n
n
( )
=
+
+
+
+
+
−
−
−
−
1
1
2
2
1
0
Κ
.
(2)
Допустим, что корни уравнения (1) известны и равны
p p
p
n
1
2
,
,
Κ
. Тогда по теореме Виета
уравнение (2) можно представить в виде произведения сомножителей
M p
a p
p
p
p
p
p
n
n
( )
(
)(
)
(
)
=
−
−
−
1
2
Κ
.
(3)
На комплексной плоскости корней каждому
корню соответствует вполне определенная точка
(рис.67).
p
i
Im
Re
Рис.67
ϕ
i
p
i
p
p-p
i
Геометрически, каждый корень
изображается вектором
из начала координат, равный модулю комплексного числа, а угол
между вектором и положительным направлением действительной
оси – фазе комплексного числа.
p
i
39
Величины (
), входящие множителями в (3) геометрически представляют собой векторы
проведенные из точки
к
p
p
i
−
p
i
p
.
Заменив в (3)
p
на
j
ω
, получим
M j
a j
p
j
p
j
p
n
(
)
(
)(
)
(
)
n
ω
ω
ω
ω
=
−
−
−
1
2
Κ
,
(4)
концы элементарных векторов
(
),
j
p
i
i
ω
−
= 1,n
будут находиться на мнимой оси в точке
j
ω
(рис.68).
M j
(
)
ω
представляет собой вектор, равный произведению
векторов
( j
i
)
p
ω
−
и действительного числа
. Модуль
a
n
M j
(
)
ω
равен:
Im
Re
Рис.68
j
ω
p
2
p
1
p
3
p
4
M j
a
j
p
n
i
i
n
(
)
ω
ω
=
−
=
∏
1
.
(5)
Фаза вектора
M j
(
равна сумме фаз элементарных
векторов
(
)
j
p
i
i
ω
ϕ
−
→
)
ω
ϕ
ϕ
M
i
i
n
=
=
∑
1
.
(6)
Условимся считать вращение векторов против часовой стрелки положительным. Тогда при
увеличении частоты
ω
от
− ∞
до
+ ∞
)
каждый элементарный вектор
( j
p
i
ω
−
повернется на угол
равный
+
π
, если корень
левый. Если корень
правый, то на угол
p
i
p
i
−
π
.
Предположим, что уравнение (1) имеет правых корней. Тогда при изменении
k
ω
от
− ∞
до
+ ∞
суммарный угол поворота определяется
ϕ
π
π
π
M
n k
k
n
k
=
−
−
=
−
(
)
(
2 )
.
(7)
Как известно из основной теоремы устойчивости, для устойчивой системы необходимо и
достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения были левыми. Следовательно при
изменении
ω
от
− ∞
до
+ ∞
, как это следует из (7), необходимо и достаточно, чтобы вектор
M j
(
)
ω
повернулся на угол
ϕ
π
M
n
=
.
При возрастании
ω
от
− ∞
до
+ ∞
вектор
M j
(
)
ω
на комплексной плоскости M описывает
кривую, которая называется годографом Михайлова.
Уравнение годографа находится подстановкой
p
j
=
ω
в (2)
M j
a j
a
j
a
j
a j
a
n
n
n
n
n
n
(
)
(
)
(
)
(
)
ω
ω
ω
ω
ω
=
+
+
+
+
−
−
−
−
1
1
2
2
1
0
Κ
+
(8)
или
M j
U
jV
(
)
( )
( )
ω
ω
ω
=
+
–
алгебраическая форма комплексного числа,
(9)
где
U
U
(
)
(
−
=
+ )
ω
ω
– четная функция
ω
(действительная часть),
V
V
(
)
(
−
= −
)
ω
ω
– нечетная функция
ω
(мнимая часть).
Если положить в (9) вместо
ω
−
ω
, то получим
M
j
U
jV
(
)
(
)
(
−
=
)
+
−
ω
ω
ω
(10)
Из последнего выражения заключаем, что годограф Михайлова симметричен относительно
действительной оси при
ω
> 0
и
ω
< 0
.
Поэтому при построении годографа достаточно изменять
ω
от 0 до
+ ∞
. При этом
результирующий угол поворота годографа
M j
(
)
ω
уменьшится вдвое, т.е.
ϕ
π
M
n
=
2
.
Критерий Михайлова: Для того, чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы
при изменении частоты от 0 до
+ ∞
годограф Михайлова прошёл столько квадрантов, каков порядок
характеристического уравнения, причем начинался бы с положительной действительной оси и не
нарушал порядок пересечений вещественной и мнимой осей комплексной плоскости M.
Пример: 1. Для устойчивых систем. 2. Для неустойчивых систем.
40
Re
ω=0
Рис.69
Im
n=1
n=2
n=3
n=4
n=5
n=4
на границе устойчивости
Re
Рис.70
Im
n=4
n=4
2. Критерий Найквиста.
Критерий Найквиста позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по амплитудно-фазовой
характеристике разомкнутой системы. Это один из самых рабочих (инженерных) критериев. Когда,
однако, рассматривается многоконтурная система, критерий Найквиста преимущества не имеет и лучше
пользоваться критерием Михайлова.
Имеем замкнутую САУ (рис.71)
рис. 71
X(p)
G(p)
W
p
(p)
E(p)
Мысленно размыкаем систему в контуре ОС и место разрыва считаем одновременно входом и
выходом системы, одновременно переходя в частотную область , т.е.
p
j
→
ω
.
W j
P j
Q j
p
(
)
(
)
(
)
ω
ω
ω
=
(1)
где
P j
(
)
ω
и
Q j
(
)
ω
– полиномы числителя и знаменателя разомкнутой системы
W j
p
(
)
ω
.
Докажем этот критерий:
W j
W j
W j
з
p
p
(
)
(
)
(
)
ω
ω
ω
=
+
1
.
(2)
Рассмотрим знаменатель выражения (2).
1
1
+
= +
=
+
W j
P j
Q j
P j
Q j
Q j
p
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
ω
ω
ω
ω
ω
ω
.
(3)
В уравнении (3) знаменатель представляет собой годограф разомкнутой системы, а числитель
годограф замкнутой системы, т.к.
W j
P j
P j
Q j
з
(
)
(
)
(
)
(
)
ω
ω
ω
ω
=
+
.
1. Предположим, что разомкнутая система устойчива. Большинство реальных разомкнутых систем,
состоящих из устойчивых звеньев и не имеющих местных ОС – устойчивы. Если разомкнутая система
устойчива, то фаза
Q j
(
)
ω
при изменении
ω
от 0 до
+ ∞
будет равна
ϕ
π
ω
Q
n
0
2
< <∞
=
, где n – порядок характеристического уравнения
Q p
( )
= 0
.
Порядок характеристического уравнения также n, т.к. степень
P p
( )
не больше степени
Q p
( )
.
Изменение фазы числителя (3) при изменении
ω
от 0 до
+ ∞
, т.е. фазы годографа замкнутой
системы, в общем случае, равно:
ϕ
π
ω
P Q
n
k
+
< <∞
=
−
0
2
2
(
)
,
(4)
где k – число правых корней характеристического уравнения замкнутой системы.
41