ВУЗ: Новосибирский государственный технический университет
Категория: Учебное пособие
Дисциплина: Основы теории управления
Добавлен: 15.02.2019
Просмотров: 1658
Скачиваний: 5
Тогда изменение фазы вектора
при возрастании
(1
+ W
p
)
ω
от 0 до
+ ∞
равно разности изменения
фаз
(
)
P Q
+
и
.
Q
ϕ
ϕ
ϕ
π
π
π
ω
(
)
(
)
(
)
1
0
2
2
2
+
< <∞
+
=
−
=
−
−
= −
W
P Q
Q
p
n
k
n
(5)
k
.
По основной теореме устойчивости система будет устойчива, если
k
= 0
, тогда
ϕ
ω
(
)
1
0
0
+
< <∞
=
W
p
.
(6)
Изобразим на комплексной плоскости годограф
1
+ W j
p
(
)
ω
.
Re
ω=0
ω=+∞
Рис.72
Im
ϕ
ω
(
)
1
0
0
+
< <∞
=
W
p
– тогда и только тогда, когда этот годограф не
охватывает начало координат (рис.72).
Переходим к амплитудо-фазовой характеристике
W j
p
(
)
ω
, которая отличается от
1
+ W j
p
(
)
ω
переносом начала координат на 1 вправо, а критической точкой комплексной плоскости является
(рис.73).
− 1 0
, j
Re
ω=0
ω
1
ω
2
ω=+∞
Рис.73
Im
-1,j0
1-е определение критерия Найквиста: Если система в разомкнутом состоянии устойчива, то для
устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая характеристика
разомкнутой системы при изменении
ω
от 0 до
∞
не охватывала точку комплексной плоскости
W j
p
(
)
ω
с координатами
−
.
1 0
, j
42
Пример:
Re
ω=0
ω=+∞
Im
-1,j0
уст
ойч
ива
неу
сто
йчи
ва
1.
Re
ω=0
ω=+∞
Im
-1,j0
уст
ойч
ива
2.
(клювообразная частотная
характеристика) - система
многоконтурная. Вид её зависит
от места разрыва контура регулирования.
Re
ω=0
ω=+∞
Рис.74
Im
-1,j0
3.
ω
1
ω
2
ω
i
←
система находится на границе устойчивости.
ω
i
–
частота незатухающих колебаний.
Физика: если на вход разомкнутой системы подать
гармонический сигнал частоты
ω
i
, то амплитуда и частота
выходного сигнала будут равны амплитуде и частоте входа, а
сдвиг фаз составит 180
°.
2-е определение критерия Найквиста: Если система в разомкнутом состоянии неустойчива и её
характеристическое уравнение имеет
правых корней, то для устойчивости замкнутой системы
необходимо и достаточно, чтобы частотная характеристика разомкнутой системы при изменении
l
ω
от 0
до охватывала точку комплексной плоскости
W j
∞
p
(
)
ω
с координатами
− 1 0
, j
l
2
раз.
Пример:
Угол поворота вектора
W j
p
(
должен быть равен
− ⋅
l
π
(доказательство самостоятельно).
)
ω
Re
ω=0
ω=+∞
Рис.75
Im
-1,j0
l=2
Понятие запаса устойчивости по фазе и по модулю
Т.к. параметры системы определяются приближенно и в процессе работы не остаются постоянными,
то весьма важное значение имеет оценка удаления частотной характеристики от точки
− 1 0
, j
. Это
удаление характеризует запас устойчивости по фазе и запас устойчивости по модулю (усилению).
За критическую фазу принимается
и модуль
ϕ
= −180
ο
M
= 1
.
Для определения этих запасов на частотной характеристике разомкнутой системы проводится
окружность радиусом 1 с центром в начале координат (рис.76). Тогда:
43
Re
ω=0
ω=+∞
Рис.76
Im
-1,j0
ω
j
∆ϕ
ω
i
c
a
1. Запас по фазе
∆
ϕ π ϕ
= − (
ω
)
i
для частоты
, при
которой
W j
p
i
(
)
ω
= 1
.
ω
i
2. Запас по модулю определяется величиной модуля a для
частоты
ω
j
, при которой
ϕ ω
π
(
)
j
= −
, это отрезок от
− 1 0
, j
до точки с.
Практически, обычно, считают для качественных систем
a
=
÷
=
÷
30 35%,
40
60
∆
ϕ
ο
ο
.
Запасы устойчивости системы достигаются включением дополнительных звеньев или изменением
параметров старых звеньев. Дополнительные звенья (корректирующие) выполняют роль фильтров
определенного диапазона частот, что соответствующим образом деформирует частотную
характеристику, обеспечивая требуемые запасы по фазе и модулю (рис.77).
Re
ω=0
ω=+∞
Рис.77
Im
-1,j0
l∆
ϕ
a
Физический смысл запаса устойчивости по фазе и по модулю
рис. 78
x
g
W
1
ε
W
2
W
3
u
F
x
Подавая на вход системы гармонический сигнал и увеличивая частоту, на выходе получим сигнал с
изменяющейся амплитудой и возрастающей фазой.
Т.к. рассматривается ГОС, то фаза ОС равна
−
π
, т.е. если бы
W W W
k
1
2
3
=
(безынерционны) то на
суммирующем устройстве фаза входного и выходного сигналов отличается на угол -180
° (рис.78).
Допустим при
W
W W W
p
=
1
2
3
инерционной) получили отставание по фазе выходного сигнала на
определенной частоте -200
°, тогда обратная связь из отрицательной превратилась в положительную.
(
При положительной ГОС и
M
> 1
в системе происходит генерирование колебаний и она
становится неустойчивой.
F
x
g
x
u
x
↓ →
↑ →
= − − ↑ →
↑ →
↑ ↑
ε
(
)
и т.д.
Если при ПОС
M
< 1
, то всякие возмущения будут затухать в самом контуре регулирования
системы, и она будет устойчива.
44