ВУЗ: Новосибирский государственный технический университет
Категория: Учебное пособие
Дисциплина: Основы теории управления
Добавлен: 15.02.2019
Просмотров: 1453
Скачиваний: 5
k
k
kk
oc
1
1
=
+
,
T
, получим
T
kk
oc
1
1
=
+
W p
.
k
T p
( )
=
+
1
1
1
Таким образом при охвате апериодического звена ООС, получим также апериодическое звено,
однако, уменьшается коэффициент усиления (передачи) этого звена в установившемся режиме, и
увеличивается быстродействие звена, т.к. уменьшается его постоянная времени.
2. Охват ПОС.
Проделывая аналогичные выкладки, получим:
W p
,
k
T p
( )
=
+
1
1
1
где
k
k
kk
oc
1
1
=
−
и
T
T
kk
oc
1
1
=
−
.
2.1. Если
, то характеристическое уравнение
kk
oc
> 1
T
1
1 0
λ
+ =
,
T
kk
oc
1
1 0
−
+ =
λ
, где
λ
= −
−
1 kk
T
oc
, имеет положительный вещественный корень, следовательно имеем расходящийся
(неустойчивый) процесс.
k
oc
X(p)
G(p)
рис. 50
X
1
(p)
ε
(p)
Tp+1
k
2.2. Если
, то корень характеристического уравнения отрицателен, следовательно
полученное апериодическое звено остается устойчивым. При этом возрастает как коэффициент усиления
(передачи) звена, так и его постоянная времени, т.е. быстродействие звена уменьшается.
kk
oc
< 1
Структурные преобразования
В результате разбиения САУ на типовые звенья направленного действия и получения их
передаточных функций, составляется структурная схема всей системы.
Структурная схема – это диаграмма прохождения сигналов управления и их преобразования в САУ.
Структурная схема – это математическая модель системы.
Структурные схемы для реальных САУ имеют сложный и запутанный вид. С целью упрощения
структурной схемы или приведения ее к более удобному виду, можно производить структурные
преобразования по определенным правилам:
Правила преобразования структурных схем
1. Преобразование последовательного соединенных звеньев.
=
=
).
(
)
(
)
(
),
(
)
(
)
(
2
2
3
1
1
2
p
W
p
x
p
x
p
W
p
x
p
x
(1)
Решая
(1)
совместно,
получим
или передаточная функция двух последовательно соединенных звеньев
x p
x p W p W p
3
1
1
2
( )
( )
( ) ( )
=
⋅
W
1
(p)
рис. 51
x
1
(p)
x
2
(p)
W
2
(p)
x
3
(p)
W
2
(p)
?
x
1
(p)
x
3
(p)
W p
x p
x p
W p W p
( )
( )
( )
( ) ( )
=
=
3
1
1
2
.
(2)
Итак, при n последовательно соединённых звеньев с передаточными функциями
W p
i
( )
(
,
i
n
= 1
результирующая передаточная функция равна произведению передаточных функций отдельных
звеньев:
W p
W p
i
i
n
( )
( )
=
=
∏
1
)
,
32
2. Преобразование параллельного соединенных звеньев.
W
2
(p)
рис. 52
x
1
(p)
x
3
(p)
x
4
(p)
?
W
1
(p)
x
2
(p)
W(p)
x
4
(p)
x
1
(p)
+
=
=
=
).
(
)
(
)
(
),
(
)
(
)
(
),
(
)
(
)
(
3
2
4
2
1
3
1
1
2
p
x
p
x
p
x
p
W
p
x
p
x
p
W
p
x
p
x
(1)
Решая (1) совместно, получим
(
)
x p
x p W p
x p W p
x p W p
W p
4
1
1
1
2
1
1
2
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
=
+
=
+
или
W p
x p
x p
W p
W p
( )
( )
( )
( )
( )
=
=
+
4
1
1
2
.
Таким образом, передаточная функция n параллельно соединенных звеньев равна сумме
передаточных функций отдельных звеньев:
W p
.
W p
i
i
n
( )
( )
=
=
∑
1
3. Звено, охваченное обратной связью:
3.1. ООС.
рис. 53
W
1
(p)
x
3
(p)
x
2
(p)
x
1
(p)
x
4
(p)
W
oc
(p)
?
W(p)
x
3
(p)
x
1
(p)
=
=
−
=
).
(
)
(
)
(
),
(
)
(
)
(
),
(
)
(
)
(
3
4
1
2
3
4
1
2
p
W
p
x
p
x
p
W
p
x
p
x
p
x
p
x
p
x
oc
(1)
Решая (1) относительно
x p
3
( )
и
x p
1
( )
, получим:
W p
x p
x p
W p
W p W p
oc
( )
( )
( )
( )
( )
( )
=
=
+
3
1
1
1
1
;
3.2. ПОС. Проводя аналогичные рассуждения, получим:
W p
W p
W p W p
oc
( )
( )
( )
( )
=
−
1
1
1
;
3.3. Частный случай: при единичной ОС.
рис. 54
W
1
(p)
x
3
(p)
x
2
(p)
x
1
(p)
+
?
W(p)
x
3
(p)
x
1
(p)
–
W p
W p
W p
( )
( )
( )
=
±
1
1
1
.
Причём знак ”+” соответствует
ООС.
Знак ”–” соответствует ПОС.
Пример:
,
1
1
1
1
)
(
)
(
1
)
(
)
(
2
1
2
:
:
2
1
1
2
1
1
2
1
1
3
2
1
2
1
+
=
+
=
=
+
=
+
=
p
k
k
k
k
k
p
k
p
k
k
p
k
p
W
p
W
p
W
p
W
k
k
k
k
рис. 55
W
1
(p)=k
1
/p
x
3
(p)
x
2
(p)
x
1
(p)
W
2
(p)=k
2
обозначив
k
k
=
1
2
и
T
k k
=
1
1 2
, получим
W p
;
k
Tp
3
1
( )
=
+
33
Таким образом, интегрирующее звено, охваченное безынерционной обратной связью, эквивалентно
типовому апериодическому звену, т.е. уже не является интегрирующим.
Правила переноса сигнала
В общем случае структурные схемы могут иметь различного рода перекрещивающиеся связи,
поэтому для приведения структуры к одноконтурной – удобной для исследования, разработаны правила
переноса сигналов из одной точки структуры в другую:
1. При прямом переносе сигнала через ПФ
W
:
1
рис. 56
W
1
(p)
x
2
(p)
x
1
(p)
x
1
(p) x
2
(p)= x
1
(p)W
1
(p).
W
1
(p)
x
2
(p)
x
1
(p)
x
1
(p)
1/W
1
(p)
x
1
(p)= x
2
(p)
⋅
1/ W
1
(p).
2. При обратном переносе сигнала через ПФ
W
:
1
рис. 57
W
1
(p)
x
2
(p)
x
1
(p)
x
2
(p)
x
2
(p)= x
1
(p)W
1
(p).
W
1
(p)
x
2
(p)
x
1
(p)
x
2
(p)
W
1
(p)
x
1
(p)
3. При прямом переносе суммирующего звена:
рис. 58
W
1
(p)
x
4
(p)
x
1
(p)
x
4
(p)= (x
1
(p) – x
2
(p)) W
1
(p).
x
3
(p)
x
2
(p)
W
1
(p)
x
4
(p)
x
1
(p)
x
2
(p)
W
1
(p)
x
4
(p)= x
1
(p) W
1
(p) – x
2
(p) W
1
(p).
4. При обратном переносе суммирующего звена:
рис. 59
W
1
(p)
x
2
(p)
x
1
(p)
x
4
(p)= x
1
(p)W
1
(p) – x
3
(p).
W
1
(p)
x
4
(p)
x
1
(p)
x
3
(p)
W
1
(p)
x
4
(p)
x
3
(p)
x
4
(p)=[x
1
(p) – x
3
(p)/W
1
(p)] W
1
(p).
1
5.
рис. 60
x
1
(p)
x
3
(p)
x
2
(p)
+ –
x
1
(p)
x
3
(p)
x
2
(p)
+ –
+
–
x
1
(p)
x p
x p
x p
1
3
2
( )
( )
( )
=
µ
.
x p
x p
x p
3
1
2
( )
( )
( )
=
±
.
6.
34
рис. 61
x
1
(p)
x
3
(p)
x
2
(p)
+ –
x
3
(p)= x
1
(p)
±
x
2
(p).
x
1
(p)
x
3
(p)
x
3
(p)
+ –
+
–
Замечание: 1) Структурные преобразования можно производить только в том случае, если анализ
динамической системы производится при нулевых начальных условиях. В
противном случае структурные преобразования приводят к потере начальных
условий и погрешностям при дальнейшем анализе.
2) Структурные преобразования лишены физического смысла.
Передаточные функции систем по управляющему
и возмущающему воздействиям
рис. 62
W
1
(p)
x
1
(p)
G(p)
W
3
(p)
x
3
(p)
F(p)
E(p)
W
2
(p)
x
2
(p)
x(p)
E(p) – изображение ошибки системы;
G(p) – управляющий сигнал;
F(p) – возмущение.
Запишем уравнения по структуре (рис.62)
(1)
⋅
=
−
=
⋅
=
⋅
=
−
=
).
(
)
(
)
(
),
(
)
(
)
(
),
(
)
(
)
(
),
(
)
(
)
(
),
(
)
(
)
(
3
3
2
3
2
1
2
1
1
p
W
p
x
p
x
p
F
p
x
p
x
p
W
p
x
p
x
p
W
p
E
p
x
p
x
p
G
p
E
Решая систему (1) относительно
x p
G p
( ),
( )
и
F p
( )
, получим
x p
W p W p W p
W p W p W p
G p
W p
W p W p W p
F p
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
=
⋅
⋅
+
⋅
⋅
−
+
⋅
⋅
1
2
3
1
2
3
3
1
2
3
1
1
.
(2)
Обозначим
W p
W p W p W p
W p W p W p
y
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
=
⋅
⋅
+
⋅
⋅
1
2
3
1
2
3
1
– передаточная функция по управлению.
W p
W p
W p W p W p
F
( )
( )
( )
( )
( )
=
+
⋅
⋅
3
1
2
3
1
– передаточная функция по возмущающему воздействию.
W p W p W p
W p
p
1
2
3
( )
( )
( )
( )
⋅
⋅
=
– есть передаточная функция разомкнутой системы. Чтобы
получить её необходимо мысленно разорвать контур обратной связи (волнистые линии на рис.62) и
место разрыва считать одновременно входом и выходом системы.
x p
W p
W p
G p
W p
W p
F p
p
p
p
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
=
+
−
+
1
1
3
.
35
При совместном действии на систему
G p
( )
и
F p
( )
исследование ведется отдельно по каждому
воздействию. Суммарный результат получается алгебраическим сложением всех результатов. Это
справедливо лишь для линейных систем.
При исследовании систем стабилизации в качестве исходной служит передаточная функция
W p
F
( )
по возмущению, тогда структура преобразуется к виду (рис.63).
рис. 63
W
3
(p)
X(p)
x
2
(p)
F(p)
W
1
(p)W
2
(p)
Если анализируется следящая система, то за исходную принимается ПФ
W p
y
( )
по управлению при
F p
( )
= 0
(рис.64).
рис. 64
X(p)
G(p)
W
1
(p)W
2
(p)W
3
(p)
Для того, чтобы получить характеристическое уравнение системы достаточно приравнять нулю
знаменатель ПФ замкнутой системы.
Проблема устойчивости в САУ
Устойчивость – это свойство системы возвращаться в исходный или близкий к нему
установившийся режим после всякого выхода из него в результате какого-либо воздействия.
Пример:
устойчивое
устойчивое в малом
и неустойчивое в большом
неустойчивое
полуустойчивое
1)
2)
3)
4)
Рис.65
Устойчивость является важнейшим качественным свойством систем управления. Любая САУ
создается таким образом, чтобы её основной режим работы был устойчивым.
Рассмотрим линейную САУ, которая описывается системой дифференциальных уравнений:
&
,
,
x
Ax Bu
x R
u R
n
m
=
+
∈
∈
.
(1)
Основным режимом её работы является статический режим или состояние равновесия, когда
&
x
= 0
.
(2)
Решая (1) с учетом (2)
36