Файл: В.М. Волков Математика. Контрольные работы №1, 2, 3 и методические указания к ним для студентов-заочников инженерно-технических спецальностей.pdf

т.к. lim

sin

5x

= lim

5x

;

lim

cos 2x =1

;

lim

sin 2x = lim 2x .

x→0

2

x→0

2

x

→0

x→0

x→0

5. При

нахождении

пределов

вида

lim

[ϕ(x)]ϕ(x ) = C

следует

x→x0

иметь в виду следующее:

φ(x)= B,

а) если lim

ϕ(x)

= A

;

lim

то

C = AB .

x→x0

x→x0

Пример. lim

(1 + x)

4 x

4 3

= 64 ;

= 4 4 = 43

x+1

x→3

ϕ(x)= A ≠1,

φ(x)= ±∞ ,

б) если

lim

lim

то вопрос о нахожде-

x→x0

x→x0

нии предела решается непосредственно.

x

+ 3

1

5

∞

Пример.

lim

x−2

=

= ∞

;

x

x→2

+1

3

[ϕ(x)]φ(x )

в) если

lim

ϕ(x)=1 ,

lim

φ(x)= ∞ , то lim

сводится

x→x0

x→x0

x→x0

1

x

1

lim

1 +

= e

или

lim

(1 + x)

= e.

x

x

x→∞

x→0

Пример.

x + 3

2 x

lim

.

Применим второй замечательный предел

x→∞

x −1

вида

1 t

lim

1

+

= e .

t

t→∞

(x −1)+ 4

x +

3 2 x

2 x

4

2 x

lim

=

lim

=

lim

1

+

=

x −

x −1

x

−1

x→∞

1

x→∞

x→∞

x−1

4

x−1

8 x

×2 x

x−1

4

×

4

4

x−1

4

=

lim

1

+

=

lim

1

+

.

x −1

x→∞

x→∞

x −1

x −1

Пусть

= t , тогда

t → ∞

при

x → ∞

и предел равен

4

8 x

t

lim

lim

8

1

x→∞ x−1

1

x→∞ 1−

lim

+

x

= e

8

.

1

t

= e

t→∞

Пример.

lim

1

ln(7 − 2x)=

lim

ln(7 − 2x)x−3

=

lim

ln(7 − 2x)=

1

x − 3

x→3

x→3

x − 3

x→3

= ln lim

(7 − 2x)

1

=

ln(1∞ ).

x −3

x →3

Неопределенность

вида

1∞

исключается

с помощью второго заме-

1

чательного предела

lim

(1 + t )

= e , если введем новую переменную

t

t→0

t = x − 3 , отсюда x = t + 3

и

t → 0

при

x → 3 .

1

1

1

ln lim

(7 −

2x)

= ln lim

(7 −

2(t + 3))

= ln lim

(1 − 2t )

=

x−3

t

t

x→3

t→0

t→0

1

(−2)

−

1

−2

−2

= −2, т.к.

= ln lim

−2t

= ln lim

2t

= ln e

[1 + (− 2t )]

(1 + (− 2t ))

t→0

t→0

1

lim

(1 + (−

2t ))−

= e .

2t

t→0

Пример.

5 x

x[ln(x + 5)− ln x]=

x ln

x

+

5

x

+

lim

lim

=

lim

ln

=

x

x

x→∞

x→∞

x→∞

5

x

5

5

5

= ln lim

1 +

= ln e

= 5 .

x

x→∞

6

Пример.

Установить, является ли функция

f (x)= 3

непре-

4 x−5

рывной при значениях аргумента x = 5

и x =1 .

При x = 5

4

Решение.

знаменатель дроби обращается в нуль и

4

5

функция не определена, следовательно,

точка x =

есть точка раз-

4

ва при x → 5

. Предел справа

lim

6

= +∞, т.к.

в знаменателе

4x − 5

4

x→

5

+0

4

положительная бесконечно малая величина. Отсюда

6

= 3+∞ = +∞ .

lim 3

4 x−5

x→

5

+0

4

6

Предел слева

lim

= −∞

, т.к. в знаменателе отрицательная

4x − 5

x→

5

−0

4

6

1

= 0 .

бесконечно малая величина, тогда lim 3

= 3−∞ =

4 x−5

3+∞

x→

5

−0

4

Схематический чертеж графика данной функции имеет вид (рис. 7).

Точка x =

5 есть точка разрыва второго рода.

4

1

При

x =1

f (1)= 3−6 =

,

6

729

f (x)

= 3−6 =

1

. Следовательно,

lim

= lim

3

4 x−5

x→1

x→1

729

3

,

если x ≤ 0

Пример. Функция

x

y = x,

если

0 < x ≤ 2

если

x > 2

3,

задана на трех промежутках: ] - ∞; 0] ,

]0 ; 2] , ]2 ; ∞[ , поэтому график

функции y = x3 строим не для всех x ,

а только для

x ≤ 0 , т.е. в про-

межутке ] − ∞; 0], график функции

y = x строится только для 0 < x ≤ 2,

т.е. в промежутке ]0 ; 2], и график функции y = 3 для

x ]2 ; ∞[ (рис. 8).

границах промежутков в точках

x = 0 и

x = 2 ,

т.к.

lim

y = lim

x3 = 0 ;

x→−0

x→−0

lim

x = 0 ; и y(0)= 03 = 0 ,

то в точке x = 0

x→+0

функция непрерывна (функция опреде-

лена в точке x = 0, пределы слева и спра-

точке).

ва равны значению функции в самой

3 = 3 , y(2)= 2 , то при

Так как lim

y = lim x = 2 ,

lim

y = lim

x→2-0

x→2−0

x→2+0

x→2+0

2x + 6y + 5z =1

3x + 2 y + 3z = −2

1.

5x + 3y - 2z = 0

2. − 4x − 3 y − 5z =1

7x + 4y - 3z = 2

5x + y − z = 3

2x + 3 y + z = 0

x + 2y + 3z = 3

3. 7 x + 9 y + 5z = −3

4.

3x + z = 9

3x + 4 y + 3z = 5

2x + 4y + 5z = 6

5x + 2 y + 3z =1

x + 2 y + 2z =10

5.

x + 2 y =1

6.

2x + y − 2z =1

2x − 2 y + z = 7

3x + 4 y + 7z =1

3x + 4 y + 2z = 8

x + 2y + 3z = 2

7. 2x − 4 y + 3z = −1

8.

4x + z =1

x + 5 y + z = 0

6x + 2y + 5z = 2

5x + 8 y − z = 7

x + 2 y − z = 2

9. 2x − 3 y + 2z = 9

10. x + 3 y − 2z = 3

x + 2 y + 3z =1

x + 5 y + z = 4