Файл: Левитов Л.С. Шитов А.В. Функция Грина Задачи с решениями (2002).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 838

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

10.5. теыеойс

311

РПМХЮЙН ФП ЦЕ ŒЩТБЦЕОЙЕ, ЮФП Й ТБОЕЕ (УН. (10.156)).

тЕЫЕОЙЕ 64. дМС ФПЗП ЮФПВЩ ЙЪХЮЙФШ ŒМЙСОЙЕ РТЙНЕУЕК ОБ Tc, ТБУУНПФТЙН ДЙБЗТБННЩ, ПВТБЪХАЭЙЕ ПДЙО ВМПЛ ЛХРЕТПŒУЛПК МЕУФОЙГЩ, Й ХУТЕДОЙН ЙИ РП ВЕУРПТСДЛХ:

òÉÓ. 10.13

пОЙ ЙНЕАФ ФХ ЦЕ УФТХЛФХТХ, ЮФП Й ДЙБЗТБННЩ ОБ ТЙУ. 10.8. пФМЙЮЙЕ УПУФПЙФ Œ ФПН, ЮФП ЛХРЕТПŒУЛБС РЕФМС ФЕРЕТШ УПДЕТЦЙФ РТЙНЕУОХА МЕУФОЙГХ, ПРЙУЩŒБАЭХА ТБУУЕСОЙЕ ЛХРЕТПŒУЛПК РБТЩ ОБ РТЙНЕУСИ. рПЬФПНХ

`ó = −

–

;

(10.169)

1 + –˝c

ÇÄÅ

Πc

òÉÓ. 10.14

| УХННБ МЕУФОЙЮОЩИ ДЙБЗТБНН. рП УХФЙ ДЕМБ, ФБЛБС УХННБ ХЦЕ ВЩМБ ŒЩЮЙУМЕОБ ОБНЙ Œ ЪБДБЮЕ 54. оБРПНОЙН, ЮФП ХУТЕДОЕООБС РП ВЕУРПТСДЛХ ЖХОЛГЙС зТЙОБ Œ ЗТСЪОПН НЕФБММЕ ТБŒОБ

1

 

:

(10.170)

G(i!n; p) =

1

i!n − ‰p +

sign !n

 

2fi

 

лБЦДБС УФХРЕОШЛБ ЛХРЕТПŒУЛПК МЕУФОЙГЩ, УПУФПСЭБС ЙЪ ДŒХИ ЖХОЛГЙК зТЙОБ, ŒЪСФБС РТЙ ˙ = 0, s = 0, ЕУФШ

Bc(i!n) =

G(i!n; p) G(−i!n; −p)

d3p

 

 

 

(2ı)3 =

 

 

(10.171)

∞

 

 

d‰

 

 

 

 

2ı fi

 

 

=

 

1

0

2

 

2

=

1 + 2fi0

!n

|

:

−∞ !n +

2fi sign !n

 

+ ‰

 

 

|

 

 

уХННЙТПŒБФШ Bc ÐÏ !n ОЕ УМЕДХЕФ, РПУЛПМШЛХ УФПМЛОПŒЕОЙС У РТЙНЕУСНЙ | ХРТХЗЙЕ. фЕРЕТШ ŒЩЮЙУМЙН ŒУА РТЙНЕУОХА МЕУФОЙГХ. рТЙ ЬФПН РПМЕЪОП ŒУРПНОЙФШ, ЮФП РТЙНЕУОБС ЫФТЙИПŒБС МЙОЙС ТБŒОБ nu20 = (2ı 0fi )−1 (УН. ЗМ. 9). уХННЙТХС ЗЕПНЕФТЙ-

ЮЕУЛХА РТПЗТЕУУЙА, РПМХЮБЕН

 

 

 

L(i!n) = Bc(i!n) +

1

B2

(i!n) + : : : =

 

 

2ı 0fi

c

 

 

 

 

312

змбœб 10. уœетиртпœпдйнпуфш

=

Bc(i!n)

=

ı 0

:

(10.172)

1

− Bc(i!n)=(2ı 0fi )

 

|!n|

 

 

лБЛ НЩ ŒЙДЙН, fi РПМОПУФША ЙУЮЕЪМП ЙЪ ЬФПК ЖПТНХМЩ. пФНЕФЙН, ЮФП ŒЩРБДЕОЙЕ fi ЙЪ ПФŒЕФБ ЖПТНБМШОП ПВСЪБОП ФПНХ ЦЕ УПЛТБЭЕОЙА, ЛПФПТПЕ ПВЕУРЕЮЙŒБЕФ УПИТБОЕОЙЕ ЮЙУМБ ЮБУФЙГ РТЙ ŒЩЮЙУМЕОЙЙ ЛПТТЕМСФПТБ РМПФОПУФШ{РМПФОПУФШ Œ ЖЕТНЙ ЗБЪЕ У РТЙНЕУСНЙ:

 

 

n(!; q)n(−!; −q) q=0 = ı 0=(i!)

 

(10.173)

(УН. ЪБДБЮХ 52). оБИПДЙН ЛХРЕТПŒУЛХА РЕФМА:

 

|

 

 

 

 

 

 

|

1

= − 0 ln

2‚!D

:

 

˝c = −T !

n

L(i!n) = −2ı 0T

!n>0

!n

 

ıT

(10.174)

 

 

 

 

 

 

 

 

рПЬФПНХ

 

Tc = 2‚

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!D e−1=– 0 ;

 

 

(10.175)

 

 

ı

 

 

 

 

 

 

 

ЛБЛ Й Œ ПФУХФУФŒЙЕ РТЙНЕУЕК.

тЕЫЕОЙЕ 65 Б. оБЮОЕН У ХУТЕДОЕОЙС ЖХОЛГЙК зТЙОБ УŒЕТИРТПŒПДОЙЛБ РП РТЙНЕУСН. дМС ЬФПЗП НЩ ŒЩЮЙУМЙН НБФТЙЮОХА УПВУФŒЕООП-ЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛХА ЮБУФШ

òÉÓ. 10.15

рТЙ ЬФПН НБФТЙЮОПЕ ŒЩТБЦЕОЙЕ ДМС РТЙНЕУОПК МЙОЙЙ ФБЛПŒП:

nu02

1

0

=

1

1

(10.176)

0

1

2ı 0fi

(РТЙНЕУЙ ПДЙОБЛПŒП ИПТПЫП ТБУУЕЙŒБАФ ЛБЛ ЬМЕЛФТПОЩ, ВЕЗХЭЙЕ ŒРЕТЕД, ФБЛ Й ОБЪБД, Й РТЙ ЬФПН ОЕ РЕТЕŒПДСФ ПДОП ЙЪ УРБТЙŒБАЭЙИУС УПУФПСОЙК Œ ДТХЗПЕ, РПУЛПМШЛХ Х ОЙИ ТБЪОЩК УРЙО). œЩЮЙУМСЕН УПВУФŒЕООП-ЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛХА ЮБУФШ Œ РЕТŒПН РПТСДЛЕ РП ЛПОГЕОФТБГЙЙ РТЙНЕУЕК, УМЕДХС НЕФПДХ ЪБДБЮЙ 50:

 

2ı 0fi

 

 

(2ı)3

 

−2ı 0fi

!n2

+ ´2

+ ‰p2

(2ı)3

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

d3p : (10.177)

˚(i!n) =

G(i!n; p) d3p =

 

 

i!n1 + ‰pfiz − ´fix

йОФЕЗТЙТХС РП ‰, РПМХЮБЕН

 

 

−

 

!n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2fi

+ ´

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

'

 

 

 

 

 

 

(10.178)

 

 

 

 

˚(i!n) =

 

1 i!n 1 + ´fix :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

фБЛЙН ПВТБЪПН,

G

−1

= G0

− ˚

= i!~n1 − ‰fiz − ´fix ;

 

 

(10.179)

 

 

 

−1

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10.5. теыеойс

 

 

ÇÄÅ

1 +

 

!~n = !n

2

 

 

1

 

2fi '!n

пВТБФЙН ŒОЙНБОЙЕ, ЮФП

;

~

´ = ´ 1 +

+ ´2

~

!~n=´ = !n=´ :

 

 

 

 

313

2fi

1

+ ´

 

 

'!n

 

 

2

2

 

(10.180)

 

 

 

 

(10.181)

лБЛ НЩ ХВЕДЙНУС Œ ДБМШОЕКЫЕН, ЬФП УŒПКУФŒП ПЮЕОШ ŒБЦОП.

РТПЙЪПКДЕФ, ЕУМЙ

рТЙ ŒЩЮЙУМЕОЙЙ ˚ НЩ ЙУРПМШЪПŒБМЙ ЪБФТБŒПЮОЩЕ ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ G Й F . юФП ФЕРЕТШ РПДУФБŒЙФШ ЙУРТБŒМЕООЩЕ ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ Œ ŒЩТБЦЕОЙЕ ДМС

˚? пЛБЪЩŒБЕФУС, ˚ РТЙ ЬФПН ОЕ ЙЪНЕОЙФУС. ьФП МЕЗЛП ŒЙДОП ЙЪ (10.178), РПУЛПМШЛХ

РТЙ ЙЪНЕОЕОЙЙ Œ ЬФПН ŒЩТБЦЕОЙЙ !

n Й ´ Œ ПДОП Й ФП ЦЕ ЮЙУМП ТБЪ ŒЕМЙЮЙОБ ˚

 

 

 

ОЕ НЕОСЕФУС. рПЬФПНХ РПМХЮЕООЩК ОБНЙ ПФŒЕФ БŒФПНБФЙЮЕУЛЙ ПЛБЪБМУС

ТЕЫЕОЙЕН

 

ЙОФЕЗТБМШОПЗП ХТБŒОЕОЙС ДМС

˚, ФПЮОП ФБЛ ЦЕ, ЛБЛ Й ДМС ОПТНБМШОПЗП НЕФБММБ (УН.

ЪБДБЮХ 50).

 

œ РТЙОГЙРЕ, ЭЕМШ Œ ЗТСЪОПН УŒЕТИРТПŒПДОЙЛЕ УМЕДХЕФ ПРТЕДЕМСФШ ЪБОПŒП, ТЕЫБС ХТБŒОЕОЙЕ УБНПУПЗМБУПŒБОЙС (10.38), РТЙОЙНБАЭЕЕ ŒЙД

 

 

∞

~

 

 

 

 

 

0 d‰ ´

:

 

 

´ = –T !n

 

(10.182)

!~n2 + ´~ 2 + ‰2

 

 

 

−∞

 

 

 

 

йОФЕЗТЙТХС РП ‰, РТЙИПДЙН Л ХТБŒОЕОЙА

 

 

 

 

 

~

 

!n

+ ´

 

!~n + ´

 

 

´

 

 

´

 

´ = ı– 0T

'

~ 2

= ı– 0T

'

;

(10.183)

!n

2

!n

2

2

 

 

 

 

 

 

ОЕ УПДЕТЦБЭЕНХ ЛПОГЕОФТБГЙЙ РТЙНЕУЕК. (œП ŒФПТПН ТБŒЕОУФŒЕ НЩ ЙУРПМШЪПŒБМЙ (10.181).) фБЛЙН ПВТБЪПН, РТЙНЕУЙ ОЕ ŒМЙСАФ ОЕ ФПМШЛП ОБ Tc, ОП Й ОБ ФЕТНПДЙОБНЙЛХ УŒЕТИРТПŒПДОЙЛБ ŒППВЭЕ. фБЛ РТПЙУИПДЙФ РПФПНХ, ЮФП ДМС ФЕТНПДЙОБНЙЮЕУЛЙИ УŒПКУФŒ УХЭЕУФŒЕООБ МЙЫШ РПМОБС РМПФОПУФШ УПУФПСОЙК (ЙМЙ, ЗТХВП ЗПŒПТС, УЛПМШЛП ДМЙО ŒПМО ХЛМБДЩŒБЕФУС ОБ ЛБЦДПК ЛŒБЪЙЮБУФЙЮОПК ФТБЕЛФПТЙЙ) Й УПŒЕТЫЕООП ОЕ ŒБЦОП, ЛБЛ ЬФЙ УПУФПСОЙС ХУФТПЕОЩ (Ф. Е. РП ЛБЛЙН ЛПОЛТЕФОП ФТБЕЛФПТЙСН ДŒЙЦХФУС ЛŒБЪЙЮБУФЙГЩ, РП РТСНЩН, ЙМЙ РП МПНБОЩН, ТБУУЕЙŒБСУШ ОБ РТЙНЕУСИ).

тЕЫЕОЙЕ 65 В. фЕРЕТШ ТБУУНПФТЙН ПФЛМЙЛ УŒЕТИФЕЛХЮЕЗП ФПЛБ ОБ ŒОЕЫОЕЕ НБЗОЙФОПЕ РПМЕ. œ ПФМЙЮЙЕ ПФ Tc, ЬФБ ŒЕМЙЮЙОБ ЗПТБЪДП ВПМЕЕ ЮХŒУФŒЙФЕМШОБ Л ЖПТНЕ ФТБЕЛФПТЙК Й УЙМШОП ЙЪНЕОСЕФУС ДБЦЕ РТЙ НБМЩИ ЛПОГЕОФТБГЙСИ РТЙНЕУЕК. (дПУФБФПЮОП, ЮФПВЩ ДМЙОБ УŒПВПДОПЗП РТПВЕЗБ УФБМБ НЕОШЫЕ, ЮЕН ТБЪНЕТ ЛХРЕТПŒУЛПК РБТЩ ‰0.) пРТЕДЕМЙН УŒЕТИФЕЛХЮХА РМПФОПУФШ. лБЛ Й Œ ЪБДБЮЕ 51, ДМС ŒЩЮЙУМЕОЙС ПФЛМЙЛБ ДПУФБФПЮОП РТПŒЕУФЙ ŒЩЮЙУМЕОЙС У ХУТЕДОЕООЩНЙ РП РТЙНЕУСН ЖХОЛГЙСНЙ зТЙОБ, РПФПНХ ЮФП ДЙБЗТБННБ У РТЙНЕУОПК МЙОЙЕК, УПЕДЙОСАЭЕК ТБЪОЩЕ ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ, ТБŒОБ ОХМА (ЙЪ-ЪБ ФПЗП, ЮФП ŒЕТЫЙОБ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС У ЬМЕЛФТПНБЗОЙФОЩН РПМЕН ŒЕЛФПТОБС). хУТЕДОЕООЩЕ ЦЕ ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ ПФМЙЮБАФУС ПФ ЪБФТБŒПЮОЩИ МЙЫШ ЪБ-

→ → ~

НЕОПК !n !~n, ´ ´. рПЬФПНХ НПЦОП УТБЪХ ОБРЙУБФШ ЖПТНХМХ ДМС ns РП БОБМПЗЙЙ

314

 

 

 

змбœб 10. уœетиртпœпдйнпуфш

У ЪБДБЮЕК 50:

 

∞

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

n

!n

 

 

‰2

~

!2

2

 

 

n − ns

 

 

 

‰

 

+ ´ + ~n

 

d‰ :

(10.184)

= T

 

 

 

+ ´ − !~n

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

лБЛ Й ТБОЕЕ, ŒЩЮФЕН ЙЪ ЬФПЗП ŒЩТБЦЕОЙС ЕЗП ЪОБЮЕОЙЕ РТЙ ´ = 0, fi = ∞, ЮФПВЩ ЙУЛМАЮЙФШ ŒЛМБД ЖЕТНЙ-НПТС. йОФЕЗТЙТПŒБОЙЕ РП ‰ ДБЕФ:

 

ns

= ıT

 

 

 

~ 2

 

 

:

 

 

(10.185)

 

!~ + ´

 

 

 

 

 

 

 

´

 

3=2

 

 

 

n

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

!n

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

éÔÁË,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ns

 

 

2

 

2

 

1 +

 

 

1

 

 

 

= ıT

 

!n

+ ´

 

 

 

2 2

:

(10.186)

 

 

 

 

 

 

´2

 

 

 

 

n

!n

 

 

 

3=2

 

 

2fi '!n + ´

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

рТЙ НБМПК ЛПОГЕОФТБГЙЙ РТЙНЕУЕК, ЛПЗДБ fi ´0 1, ЬФП ŒЩТБЦЕОЙЕ ŒПУРТПЙЪŒПДЙФ ТЕЪХМШФБФ ЪБДБЮЙ 63, Б Œ РТПФЙŒПРПМПЦОПН ĂЗТСЪОПНĄ РТЕДЕМЕ fi ´0 1 ДБЕФ УМЕДХАЭЕЕ:

ns

 

 

n

´2

 

 

 

´

 

n

 

2

2

= ıfi ´ th

2T :

(10.187)

= 2ıfi T

(!

2

 

!n

 

+ ´ )

 

 

 

 

 

йОФЕТЕУОП, ЮФП Œ ЗТСЪОПН УŒЕТИРТПŒПДОЙЛЕ ДБЦЕ РТЙ T → 0 УŒЕТИФЕЛХЮБС РМПФОПУФШ

НОПЗП НЕОШЫЕ РПМОПК:

ns(T → 0)

 

 

 

 

 

 

 

= ıfi ´

0

1 :

 

(10.188)

 

n

 

 

 

 

 

 

 

ьФП УŒСЪБОП У ОБТХЫЕОЙЕН ФТБОУМСГЙПООПК ЙОŒБТЙБОФОПУФЙ Й ĂФПТНПЦЕОЙЕНĄ ЬМЕЛФТПОПŒ РТЙНЕУСНЙ.

рПДУФБŒМСС ns Œ ЖПТНХМХ ДМС ЗМХВЙОЩ РТПОЙЛОПŒЕОЙС ‹˜, РПМХЮБЕН

 

‹˜ =

1

'mc2= [e2 ´fi th(´=2T )] :

(10.189)

2ı

тЕЫЕОЙЕ 66. œОБЮБМЕ ОБКДЕН ХУТЕДОЕООХА РП РБТБНБЗОЙФОЩН РТЙНЕУСН ЖХОЛГЙА зТЙОБ. дМС ФПЗП ЮФПВЩ ЕЕ ŒЩЮЙУМЙФШ, НЩ ЙУРПМШЪХЕН НПДЙЖЙГЙТПŒБООХА ЛТЕ-

УФПŒХА ФЕИОЙЛХ. œŒЕДЕН ЮЕФЩТЕИЛПНРПОЕОФОЩЕ ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ

 

G = −

Tfi

+(r; fi )

+(0; 0)

Tfi ¸(r; fi )

+(0; 0)

 

(10.190)

 

Tfi

¸+(r; fi )

˛ (0; 0)

 

Tfi ¸(r; fi )

˛ (0; 0)

 

 

 

 

¸

˛

 

˛

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(¸ Й ˛ { УРЙОПŒЩЕ ЙОДЕЛУЩ). рТЙ ЬФПН ЖХОЛГЙС зТЙОБ Œ ПФУХФУФŒЙЕ РТЙНЕУЕК ТБŒОБ

 

−

!2 + ‰2

+ ´2

´+

(i!n

 

‰)‹¸˛

 

 

G0 =

 

1

 

(i!n + ‰)‹¸˛

−´¸˛

;

(10.191)

 

 

n

 

− ¸˛

 

−

 

 

 

Смотрите также файлы