Файл: Левитов Л.С. Шитов А.В. Функция Грина Задачи с решениями (2002).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 842

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

10.5. теыеойс

315

Á ´¸˛ = i´ y

( i

{ УРЙОПŒЩЕ НБФТЙГЩ рБХМЙ). лБЛ Й Œ РТЕДЩДХЭЕК ЪБДБЮЕ, ОБКДЕН

¸˛

¸˛

 

УПВУФŒЕООП-ЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛХА ЮБУФШ ЙЪ ДЙБЗТБННЩ ОБ ТЙУ. 10.16:

α µ

ν

β

 

 

 

òÉÓ. 10.16

œ УМХЮБЕ РБТБНБЗОЙФОЩИ РТЙНЕУЕК ЫФТЙИПŒБС МЙОЙС ЙНЕЕФ ОЕФТЙŒЙБМШОХА УРЙОПŒХА УФТХЛФХТХ. еЕ НПЦОП ОБКФЙ, ŒЩЮЙУМЙŒ ЛПТТЕМСФПТ ЖМХЛФХБГЙК РТЙНЕУОПЗП РПФЕОГЙБМБ:

! a

J ‹(r − ra) ¸˛i Sia

J ‹(r − rb) —k Skb " = nÍÁÇJ 2‹(r − r ) SiSk ¸˛i

—k =

 

 

S(S + 1)

b

 

 

=

nÍÁÇJ 2‹(r − r ) ¸˛i —i :

(10.192)

 

3

уФПСЭЕЕ ЪДЕУШ УЛБМСТОПЕ РТПЙЪŒЕДЕОЙЕ НБФТЙГ рБХМЙ НПЦОП РТЕПВТБЪПŒБФШ, ЙУРПМШЪХС ФПЦДЕУФŒП жЙТГБ (cН. [9], § 28):

 

 

¸˛i —i = 2‹¸ ‹˛— − ‹¸˛ ‹— :

 

(10.193)

фБЛЙН ПВТБЪПН,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

nÍÁÇ

J 2S(S

 

 

∞

 

 

(10.194)

 

 

 

−∞

 

˚¸˛ (i!n) = − 3

+ 1) (2‹¸˛ ‹— − ‹¸—‹˛ )

G— (i!n; ‰) 0 d‰ :

рПДУФБŒЙН ŒОБЮБМЕ Œ ЬФПФ ЙОФЕЗТБМ G

 

 

 

 

УФП, Й НЩ РПМХЮБЕН

 

 

0. йОФЕЗТЙТПŒБОЙЕ РТПЙЪŒПДЙФУС ДПŒПМШОП РТП-

 

 

 

−2ıfis

 

!n2 + ´2

 

 

 

 

1

 

'

 

(10.195)

 

˚¸˛ (i!n) =

i!n1 − 2‹¸˛ ´— ‹—

fix

+ ´¸˛ fix ;

ÇÄÅ

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fis = ı 0nÍÁÇJ 2S(S + 1)

 

 

(10.196)

| ŒТЕНС ТЕМБЛУБГЙЙ УРЙОБ ОБ РТЙНЕУСИ. рПУЛПМШЛХ ´— ‹— = 0, ФП НЩ РПМХЮБЕН

 

0

−

 

 

0

ЪБНЕОПК !

n

É ´ ÎÁ

 

ФБЛЙН ПВТБЪПН, ЮФП G−1

= G−1

˚ ПФМЙЮБЕФУС ПФ G

 

 

 

 

!~n = !n 1 +

 

2

;

´~ = ´ 1

 

 

2

 

:

(10.197)

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

2fis'!n + ´2

− 2fis'!n + ´2

 

316

 

 

 

 

 

змбœб 10. уœетиртпœпдйнпуфш

пДОБЛП ЪБНЕФЙН, ЮФП ФЕРЕТШ, Œ ПФМЙЮЙЕ ПФ ЪБДБЮЙ 64,

 

 

 

 

 

 

~

= !=´ :

 

 

(10.198)

 

 

 

!=~ ´

 

 

рПЬФПНХ ЕУМЙ ФЕРЕТШ РПДУФБŒЙФШ G Œ (10.194), ФП РПМХЮЙФУС ДТХЗПЕ ЪОБЮЕОЙЕ ˚. рП-

РТПВХЕН ТЕЫЙФШ ЪБДБЮХ

УБНПУПЗМБУПŒБООП, РПДУФБŒМСС Œ (10.194)

G У ОЕЙЪŒЕУФОЩНЙ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!~ É ´.~ фПЗДБ

 

(i!

 

 

1

~n

~

 

 

 

) =

 

+ ´

(10.199)

 

 

'

 

 

˚

 

i!~n1 − ´¸˛ fix :

 

¸˛

n

 

−2ıfis

!2

~ 2

 

хТБŒОЕОЙЕ дБКУПОБ ФЕРЕТШ РТЙŒПДЙФ Л ХУМПŒЙА УБНПУПЗМБУПŒБОЙС, ПРТЕДЕМСАЭЕНХ

~

 

 

 

 

 

!~ É ´:

 

 

 

 

 

!~ = ! +

 

!~

;

 

(10.200)

2fis'!~2 + ´~ 2

 

~

 

~

 

 

 

 

´

 

:

 

´ = ´ −

2fis'!~2 + ´~ 2

(10.201)

фЕРЕТШ ЪБРЙЫЕН ХТБŒОЕОЙЕ зПТШЛПŒБ (10.38), ПРТЕДЕМСАЭЕЕ ЭЕМШ:

´ = – T

!n

 

∞

0 d‰ F (i!n; ‰) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞

∞

~

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

´ 0 d‰

!~n

+ ´

 

= – T

 

 

−∞

!~n2 + ´~ 2 + ‰2 = ı– 0T

 

'

~ 2

: (10.202)

 

!n

 

 

!n

2

~

!=´, ЬФП ХТБŒОЕОЙЕ ПФМЙЮБЕФУС ПФ ХТБŒОЕОЙС ДМС ЮЙУФПЗП

éÚ-ÚÁ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ !=~ ´ =

УŒЕТИРТПŒПДОЙЛБ.

œЩŒЕДЕН ПФУАДБ ХТБŒОЕОЙЕ, ПРТЕДЕМСАЭЕЕ ФЕНРЕТБФХТХ РЕТЕИПДБ УŒЕТИРТПŒПД-

 

 

 

c

 

→

0, ТЕЫЙН ХТБŒОЕОЙС (10.200),

ОЙЛБ У РБТБНБЗОЙФОЩНЙ РТЙНЕУСНЙ T . рПМБЗБС ´

 

 

(10.201):

 

 

 

´~ 1 + 2fi

1

!~ = ´ :

(10.203)

!~ = ! + 2fi sign ! ;

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

s

 

 

 

s|

 

|

 

фПЗДБ ХТБŒОЕОЙЕ ОБ Tc ŒЩЗМСДЙФ ФБЛ:

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

1

 

1 = 2ı– 0T

´

= 2ı– 0T

=

 

 

 

 

c

 

 

´~!n

c

 

 

 

 

 

!n>0

!n>0 !~n + 1=2fis

 

= 2ı– 0Tc

 

1

 

 

 

(10.204)

 

 

:

 

 

 

 

 

!n>0 !n + 1=fis

 

 

 

 

пУФБОПŒЙНУС ОБ ЖЙЪЙЮЕУЛПН УНЩУМЕ ЬФПК ЖПТНХМЩ. рТЙ ТБУУЕСОЙЙ ОБ РБТБНБЗОЙФОПК РТЙНЕУЙ УРЙО ЬМЕЛФТПОБ НПЦЕФ РЕТЕŒЕТОХФШУС, Й fis ЕУФШ УТЕДОЕЕ ŒТЕНС НЕЦДХ ДŒХНС РЕТЕŒПТПФБНЙ УРЙОБ, Ф. Е. ŒТЕНС ЦЙЪОЙ ЛХРЕТПŒУЛПК РБТЩ. ъОБНЕОБФЕМШ Œ

10.5. теыеойс

317

(10.204) ПРЙУЩŒБЕФ ТБЪŒБМ ЛХРЕТПŒУЛЙИ РБТ ЙЪ-ЪБ ТБУУЕСОЙС ОБ НБЗОЙФОЩИ РТЙНЕУСИ Й ХНЕОШЫЕОЙЕ ЬЖЖЕЛФЙŒОПЗП ŒТЕНЕОЙ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС.

åÓÌÉ fis ŒЕМЙЛП РП УТБŒОЕОЙА У h=T— c , ФП РБТБНБЗОЙФОЩЕ РТЙНЕУЙ МЙЫШ УМЕЗЛБ УДŒЙЗБАФ Tc. îÏ ÐÒÉ fis ≈ h=T— c УŒЕТИРТПŒПДЙНПУФШ РПМОПУФША РПДБŒМСЕФУС. оБКДЕН ЛТЙФЙЮЕУЛПЕ fis , РПМБЗБС Tc = 0 Й ЪБНЕОСС УХННХ ОБ ЙОФЕЗТБМ:

1

– 0

 

2‚!D

!D

d!

 

 

= ln

=

= ln(!D fis ) ;

(10.205)

ıTc

! + 1=fis

 

 

0

 

 

 

ПФЛХДБ

 

fi = 2‚h=— (ıTc) :

(10.206)

s

 

фБЛЙН ПВТБЪПН, РБТБНБЗОЙФОЩЕ РТЙНЕУЙ ДБЦЕ Œ НБМЩИ ЛПОГЕОФТБГЙСИ НПЗХФ УХЭЕУФŒЕООП РПŒМЙСФШ ОБ УŒПКУФŒБ УŒЕТИРТПŒПДОЙЛБ Й ДБЦЕ РПМОПУФША РПДБŒЙФШ УŒЕТИРТПŒПДЙНПУФШ. рТЙ ЬФПН ПЛБЪЩŒБЕФУС, ЮФП Œ ПРТЕДЕМЕООПН ЙОФЕТŒБМЕ РП ЛПОГЕОФТБГЙЙ РТЙНЕУЕК УХЭЕУФŒХЕФ ТЕЦЙН ФБЛ ОБЪЩŒБЕНПК ВЕУЭЕМЕŒПК УŒЕТИРТПŒПДЙНПУФЙ, Œ ЛПФПТПН УПРТПФЙŒМЕОЙЕ НЕФБММБ ТБŒОП ОХМА, ОП ЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛБС ЭЕМШ ПФУХФУФŒХЕФ. фБЛ РПМХЮБЕФУС ЙЪ-ЪБ ФПЗП, ЮФП РТЙНЕУЙ НЕОСАФ ЬОЕТЗЙА УŒСЪЙ ЬМЕЛФТПОПŒ Œ РБТЕ РП-ТБЪОПНХ Œ ТБЪОЩИ ЮБУФСИ ПВТБЪГБ. юЙФБФЕМШ, ЙОФЕТЕУХАЭЙКУС ЬФЙН ЬЖЖЕЛФПН, НПЦЕФ ПВТБФЙФШУС Л ПТЙЗЙОБМШОПК ТБВПФЕ 7.

тЕЫЕОЙЕ 67. лБЛ Й Œ ЪБДБЮЕ 64, НЩ ŒОБЮБМЕ ОБКДЕН ЛХРЕТПŒУЛХА РТЙНЕУОХА МЕУФОЙГХ, Б ЪБФЕН РПДУФБŒЙН ЕЕ Œ ХТБŒОЕОЙЕ УБНПУПЗМБУПŒБОЙС. œЩЮЙУМЕОЙЕ ЛХРЕТПŒУЛПК МЕУФОЙГЩ ŒП ŒОЕЫОЕН НБЗОЙФОПН РПМЕ Œ ПВЭЕН УМХЮБЕ ДПŒПМШОП УМПЦОП. пДОБЛП ЕУМЙ РПМЕ НЕДМЕООП НЕОСЕФУС ОБ ДМЙОЕ УŒПВПДОПЗП РТПВЕЗБ, ЬФБ ЪБДБЮБ УЙМШОП ХРТПЭБЕФУС. ъБНЕФЙН, ЮФП ДŒЕ УФХРЕОШЛЙ РТЙНЕУОПК МЕУФОЙГЩ ОБИПДСФУС ДТХЗ ПФ ДТХЗБ ОБ ТБУУФПСОЙЙ РПТСДЛБ l. ьФП РПЪŒПМСЕФ РТЕОЕВТЕЮШ ЙЪНЕОЕОЙЕН РПМС ОБ ПДОПК УФХРЕОШЛЕ Й ТБУУНПФТЕФШ УФХРЕОШЛХ Œ РПУФПСООПН РПМЕ. йЪНЕОЕОЙЕ РПМС НЩ ХЮФЕН, РЕТЕИПДС Л УХННЙТПŒБОЙА УФХРЕОЕЛ, ЛБЦДБС ЙЪ ЛПФПТЩИ ЮХŒУФŒХЕФ НБЗОЙФОПЕ РПМЕ ОБ УŒПЕН ПФТЕЪЛЕ ФТБЕЛФПТЙЙ.

рПУЛПМШЛХ ОБУ ЙОФЕТЕУХАФ ОЕПДОПТПДОЩЕ ТЕЫЕОЙС ХТБŒОЕОЙС УБНПУПЗМБУПŒБОЙС, НЩ ŒОБЮБМЕ ŒЩЮЙУМЙН РТЙНЕУОХА МЕУФОЙГХ РТЙ ОЕОХМЕŒПН УХННБТОПН ЙНРХМШУЕ s Œ ОХМЕŒПН НБЗОЙФОПН РПМЕ. ьФП НПЦОП УДЕМБФШ ФБЛ ЦЕ, ЛБЛ Й Œ ЪБДБЮЕ 54. пДОБ

УФХРЕОШЛБ МЕУФОЙГЩ ŒЩЮЙУМСЕФУС ФПЮОП ФБЛ ЦЕ:

 

 

Bc =

4ı

i

0

i

=

 

d˙

 

d‰

 

 

=

i! − ‰ + 2fi sign ! −i! − ‰ + sv − 2fi sign !

(10.207)

4ı 1 + 2|!|fi0+ ifi sv =

1 + 2|!|fi 0+ fi Ds2

 

d˙

2ı fi

2ı fi

 

 

(D | ЛПЬЖЖЙГЙЕОФ ДЙЖЖХЪЙЙ). уХННЙТХС МЕУФОЙГХ, РПМХЮБЕН

 

 

C! (s) =

Bc

2ı 0

:

(10.208)

 

1 − Bc=2ı 0fi

= 2|!| + Ds2

7б. б. бВТЙЛПУПŒ, м. р. зПТШЛПŒ, цьфж, Ф. 39, У. 178 (1960)

318

змбœб 10. уœетиртпœпдйнпуфш

фЕРЕТШ РПРТПВХЕН ХЮЕУФШ НБЗОЙФОПЕ РПМЕ. рХУФШ УОБЮБМБ ЕЗП ŒЕЛФПТОЩК РПФЕОГЙБМ A(r) РПУФПСОЕО. фПЗДБ ЕЗП ХЮЕФ УŒЕДЕФУС Л УДŒЙЗХ ЙНРХМШУПŒ p → p − eA=c Œ ЖХОЛГЙСИ зТЙОБ. рПЬФПНХ Œ РТЙНЕУОПК МЕУФОЙГЕ s ЪБНЕОЙФУС ОБ s−2eA=c. уМЕДПŒБФЕМШОП,

C! =

2

 

!

2ı 0

2e A

2 :

(10.209)

 

+ D

s

 

 

 

|

|

 

 

−

c

 

 

хДПВОП ЪБРЙУБФШ ЬФП ŒЩТБЦЕОЙЕ Œ ЛППТДЙОБФОПН РТЕДУФБŒМЕОЙЙ. вХДЕН УЮЙФБФШ C! (r; r ) ЖХОЛГЙЕК ОБЮБМШОПК Й ЛПОЕЮОПК ФПЮЕЛ. ъБНЕОСС s ОБ −i r, РЕТЕРЙЫЕН ŒЩТБЦЕОЙЕ ДМС ЛХРЕТПОБ Œ ЖПТНЕ ДЙЖЖЕТЕОГЙБМШОПЗП ХТБŒОЕОЙС:

2

|

!

+ D

i

@

−

2e A

2

C! (r; r ) = 2ı 0‹(r

−

r ) :

(10.210)

 

|

−

 

@r

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

юФП ЙЪНЕОЙФУС, ЕУМЙ A(r) | НЕДМЕООП НЕОСАЭБСУС ЖХОЛГЙС? еУМЙ НЩ ОБНЕТЕОЩ ХЮЙФЩŒБФШ МЙЫШ РЕТŒЩЕ ДŒБ РПТСДЛБ РП A Œ ЪОБНЕОБФЕМЕ (10.209), ФП МЕЗЛП РПОСФШ, ЮФП ŒУЕ ŒПЪНПЦОЩЕ ХУМПЦОЕОЙС УŒСЪБОЩ У РПСŒМЕОЙЕН ЮМЕОПŒ, ЪБŒЙУСЭЙИ ПФ div A, РПУЛПМШЛХ ЬФП ЕДЙОУФŒЕООБС ŒТБЭБФЕМШОП ЙОŒБТЙБОФОБС ЛПНВЙОБГЙС ЙЪ РТПЙЪŒПДОЩИ A. (йОЩНЙ УМПŒБНЙ, ЕУМЙ A УФБОПŒЙФУС ЖХОЛГЙЕК r, ŒПЪОЙЛБЕФ ŒПРТПУ П РПТСДЛЕ ПРЕТБФПТПŒ A(r) Й Œ ЛХРЕТПОЕ.) оП ŒЩВЙТБС ЛБМЙВТПŒЛХ, Œ ЛПФПТПК div A = 0, НЩ ŒУЕЗДБ НПЦЕН ДПВЙФШУС ЙУЮЕЪОПŒЕОЙС РПДПВОЩИ РПРТБŒПЛ. рПЬФПНХ ДМС ФПЗП, ЮФПВЩ ŒЩЮЙУМЙФШ РТЙНЕУОХА МЕУФОЙГХ, ДПУФБФПЮОП ТЕЫЙФШ ХТБŒОЕОЙЕ

2

|

!

+ D

i

@

−

2e A(r)

2

C! (r; r ) = 2ı 0‹(r

−

r ) :

(10.211)

 

|

−

 

@r

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ьФП ХТБŒОЕОЙЕ НПЦОП ŒЩŒЕУФЙ Й ОБРТСНХА. дМС ЬФПЗП ОБДП ТБУУНПФТЕФШ ФБЛЙЕ РПРТБŒЛЙ Л ПДОПК ĂУФХРЕОШЛЕĄ:

òÉÓ. 10.17

(œПМОЙУФЩЕ МЙОЙЙ ОБ ЬФПН ТЙУХОЛЕ ЙЪПВТБЦБАФ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ У ŒОЕЫОЙН НБЗОЙФОЩН РПМЕН.) рПУМЕ ЬФПЗП УХННЙТПŒБОЙЕ МЕУФОЙГЩ ДБЕФ ХТБŒОЕОЙЕ (10.211).

10.5. теыеойс

319

фЕРЕТШ ЪБРЙЫЕН ХТБŒОЕОЙЕ УБНПУПЗМБУПŒБОЙС, РПМБЗБС ´ → 0. œВМЙЪЙ Hc2 УПУФП-

СОЙЕ ОЕПДОПТПДОП, РПЬФПНХ ´ ЪБŒЙУЙФ ПФ r. хТБŒОЕОЙЕ зПТШЛПŒБ ЙНЕЕФ ŒЙД

 

 

∞

 

d!

 

 

´(r) = –

 

F (!; r; r)

2ı

:

(10.212)

−∞

бОПНБМШОБС ЗТЙОПŒУЛБС ЖХОЛГЙС F (!; r; r) ДБЕФУС РТЙ ´ → 0 ЕДЙОУФŒЕООПК ДЙБЗТБННПК:

òÉÓ. 10.18

уТБŒОЙŒБС ЕЕ У ДЙБЗТБННПК ДМС РТЙНЕУОПК МЕУФОЙГЩ, ОБИПДЙН

F (!; r; r) = ´(r ) C! (r; r ) d3r : (10.213)

рПЬФПНХ ХТБŒОЕОЙЕ УБНПУПЗМБУПŒБОЙС ЪБРЙУЩŒБЕФУС ФБЛ:

∞ d!

 

 

 

´(r) = –

2ı

C! (r; r ) ´(r ) d3r :

(10.214)

−∞

 

 

 

 

юФПВЩ ОБКФЙ ЕЗП ТЕЫЕОЙС, ХДПВОП ТБЪМПЦЙФШ ´(r) РП ОПТНЙТПŒБООЩН УПВУФŒЕООЩН ЖХОЛГЙСН ’n(r) ПРЕТБФПТБ Œ МЕŒПК ЮБУФЙ (10.211). ьФЙ ЖХОЛГЙЙ ПВМБДБАФ ФБЛЙНЙ УŒПКУФŒБНЙ:

 

@

2e

2

 

 

 

 

 

A(r)

 

 

 

 

 

D −i @r −

c

’n(r) = —n’n(r) ;

(10.215)

 

’n(r) ’m(r) d3r = ‹nm

 

 

 

(10.216)

(—n | n-Е УПВУФŒЕООПЕ ЪОБЮЕОЙЕ). ъБРЙЫЕН ´(r) Œ ŒЙДЕ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

´(r) = ´n ’n(r) :

 

(10.217)

 

 

 

n

 

 

 

 

 

лХРЕТПО НПЦОП ŒЩТБЪЙФШ ЮЕТЕЪ ’n(r):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

’n(r) ’ (r )

 

 

 

 

 

| |

n

:

(10.218)

 

C! (r; r ) = 2ı 0

 

 

 

 

 

n

2 ! + —n

 

ьФП УППФОПЫЕОЙЕ МЕЗЛП РТПŒЕТЙФШ, ЪБНЕФЙŒ, ЮФП ЬФБ ЖХОЛГЙС Œ УЙМХ (10.215) ХДПŒМЕФŒПТСЕФ ХТБŒОЕОЙА РТЙ r = r , Б РТЙ r → r МЕŒБС ЮБУФШ ХТБŒОЕОЙС УПŒРБДБЕФ У ‹-ЖХОЛГЙЕК, РПУЛПМШЛХ ЙОФЕЗТБМ ПФ ОЕЕ РП r ТБŒЕО 1 Œ УЙМХ (10.216).

Смотрите также файлы