Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001).pdf

Полевые и антиполевые переменные χn è χ‡n связаны с переменными χn è Kn антиканоническим преобразованием, сохраняющим все

антискобки, ‡так что антискобка в (17.3.9) может быть вычислена

через χn è χ n вместо χn è Kn.

Условие (17.3.5), которому удовлетворяет контрчлен SN, не эквивалентно условию (17.3.9), которому удовлетворяет ΓN,∞. Однако,

если задать любое S0N, удовлетворяющее уравнению (17.3.5), можно найти целый класс других решений

ãäå S′N произвольно, если не считать условия, что SR + S′N, êàê è

SR + S0N, удовлетворяет тем же условиям симметрии, что и SR, è

чтобы не нарушить уравнения (17.3.5). Поэтому бесконечная часть в квантовом эффективном действии N-ого порядка может быть записана в виде:

ãäå XN включает слагаемые от петлевых диаграмм, а также от слагаемого S0N и различных слагаемых в Γ, включающих SM è FM äëÿ M

< N. Например, при N = 2 из формулы (17.3.8) имеем:

X2 = S20 + 2(F1, S1) + (F1,(F1, SR))

+ двухпетлевые вклады, содержащие только SR + однопетлевые вклады, содержащие SR, S1 è F1.

Единственное, что нужно знать о величине XN для наших целей, это то, что она не включает S′N èëè FN и инвариантна относительно

любой линейно реализованной глобальной симметрии SR.

Далее, поскольку (SR,SR) = 0, операция F ¬ (SR,F) нильпотентна: для любых F

Поэтому из (17.3.9) и (17.3.11)–(17.3.13) следует, что

Любое слагаемое в XN,∞, имеющее вид (SR,Y), можно сократить в соотношении (17.3.12), выбрав FN,∞ равным Y. Таким образом пространство возможных оставшихся бесконечных слагаемых в XN,∞, которые должны быть сокращены контрчленом S′N,∞, состоит из

тех функционалов X, которые удовлетворяют условию (SR,X) = 0, причем эквивалентными считаются функционалы, отличающиеся на слагаемые вида (SR,Y). Иными словами, бесконечности в GN, которые должны быть сокращены контрчленами S′N, принадлежат

когомологии отображения X ¬ (SR,X).

Возможный вид контрчлена S′N ограничен требованием, что SR + S′N должна удовлетворять любому из структурных ограниче-

ний, наложенных на действие S. Таким образом мы сможем завершить доказательство перенормируемости, если удастся показать, что когомология отображения X ¬ (SR,X) состоит только из функционалов, удовлетворяющих этому структурному ограничению.

В случае квантовой гравитации, взаимодействующей с полями Янга–Миллса с полупростой калибровочной симметрией, все симметрии теории обеспечиваются структурным ограничением (17.3.1). В этом случае существует теорема 4, утверждающая, что когомология отображения X ¬ (SR,X) (на пространстве локальных функционалов с гостовским числом нуль, а не на пространстве функций, зависящих от пространственно-временных координат) состоит * из функционалов A[ϕ], инвариантных относительно калибровочного пре-

образования ϕr → ϕr + eAFrA[ϕ] со структурными константами fCAB.

Любая бесконечность N-го порядка такого типа может быть сокращена контрчленом S′N того же типа. Таким образом, хотя эти тео-

рии и не перенормируемы по индексу, они перенормируемы в том смысле, что все бесконечности можно устранить выбором параметров в исходном голом действии I[ϕ] и подходящей перенормировкой

полей и антиполей.

В других теориях когомология отображения X ¬ (SR, X) содержит дополнительные слагаемые. Это не обязательно требует

* Строго говоря, это верно только, если потребовать, чтобы постоянные коэффициенты в S не принимали специальных значений, при которых S было бы инвариантно относительно более широкой группы локальных симметрий. Например, это исключает случай S = 0.

ослабления структурных ограничений, так как дополнителные слагаемые в когомологии могут и не соответствовать реальным ультрафиолетовым расходимостям. Например в калибровочных теориях с множителями U(1) когомология содержит слагаемые 4, отвечающие переопределению действия U(1) калибровочной симметрии на разли- чиные поля. Если оно окажется бесконечным, нам потребуется ослабить структурные ограничения, оставив произвольной нормировку функций преобразования frA[ϕ] в (17.3.1). Но такая бесконечность зап-

рещена теми же теоремами о мягких фотонах, которые утверждают, что отношения U(1) констант связи с различными полями (типа отношений зарядов разных лептонов в КЭД) не затрагиваются радиационными поправками (см. раздел 10.4). Если дополнительные слагаемые в когомологии содержат ультрафиолетовые расходимости, необходимо ослабить наложенные на S структурные ограничения, с тем, чтобы для каждой возможной ультрафиолетовой расходимости возник свой контрчлен. Неизвестно, всегда ли это возможно. Если это не так, то следует отбросить некоторые тео-рии из-за наличия в них неустранимых ультрафиолетовых расходимостей.

17.4. Калибровка фонового поля *

Обратимся теперь к методу вычислений, явно сохраняющему тип калибровочной инвариантности и поэтому особенно удобному, прежде всего, в однопетлевых вычислениях. Рассмотрим эффективное действие Γ[A,ψ,ω,ω*] как функционал ** классических внешних полей материи, калибровочных, гостовских и антигостовских полей ψl(x), Aαμ(x), ωα(x), ω*α(x). Даже несмотря на то, что госты и антигосты

никогда не появляются в начальном или конечном состоянии, мы рассматриваем фоновые поля гостов и антигостов наряду с полями материи и калибровочными полями с целью разобраться с частями диаграмм, имеющими внешние гостовские или антигостовские линии.

* В русскоязычной литературе чаще используется термин «фоновая калибровка». — Прим. ред.

** Мы возвращаемся к частному выбору фиксирующего калибровку функционала B[ϕ] в виде гауссиана (15.7.4) и интегрируем по вспомогательному полю hα, так что в модифицированном лагранжиане это фиксирующее калибровку слагаемое имеет вид –fαfα/2ξ.

Как описано в разделе 16.1, эффективное действие Γ[A,ψ,ω,ω*]

есть сумма связных одночастично неприводимых диаграмм для амплитуды перехода вакуум–вакуум, вычисленных в теории, в которой квантовые поля A′, ψ′, ω′, ω*′, по которым производится интегрирование, заменены в действии на сдвинутые поля A + A′, ψ + ψ′, ω + ω′, ω* + ω*′, причем интегрирование по штрихован-ным

полям производится при фиксированных нештрихованных полях. Мы имеем широкие возможности выбора фиксирующей калибровку функции fα(x). Вместо прежнего выбора fα = ∂μAμα (èëè ∂μ[A′μα + Aμα]) можно взять5

Причина такого выбора в том, что фиксирующее калибровку слагаемое fαfα становится инвариантным относительно калибровочного преобразования, при котором фоновое поле Aμα преобразуется как калибровочное поле, а квантовое поле A′μα преобразуется однород-

но, как обычное поле материи, принадлежащее присоединенному представлению калибровочной группы:

Трансформационные свойства функции fα легче всего увидеть, за-

писав ее как новый тип ковариантной производной:

Мы видим, что под действием преобразования (17.4.2), (17.4.3) функция (17.4.1) преобразуется в точности как A′α:

òàê ÷òî ÷ëåí fαfα в модифицированном лагранжиане инвариантен: