ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.06.2024
Просмотров: 1536
Скачиваний: 2
17.4. Калибровка фонового поля |
133 |
δ( fα fα ) = −Cαβγ fα εβ fγ = 0 . |
(17.4.7) |
Кроме того, исходный лагранжиан L зависит от A и A′ только через сумму A + A′, которая под действием комбинированного преобразо-
вания (17.4.2), (17.4.3) подвергается обычному калибровоч- ному преобразованию
δdAαμ + Aα′μ i = ∂μεα − Cαβγ εβ dAγμ + Aγ′μ i . |
(17.4.8) |
Если определить преобразования фонового поля и квантового поля материи в виде
δψ = itα εα ψ, |
(17.4.9) |
δψ′ = itα εα ψ′, |
(17.4.10) |
òî |
|
δ(ψ + ψ′) = itα εα (ψ + ψ′). |
(17.4.11) |
Исходный лагранжиан L инвариантен относительно исходных калибровочных преобразований (17.4.8), (17.4.11) и зависит только от A + A′ è ψ + ψ′, так что он инвариантен также относительно
новых формальных преобразований (17.4.2), (17.4.3), (17.4.9) и (17.4.10). Полезно сделать эту инвариантность более явной, записав L че- рез фоновую ковариантную производную Dμ . В общем случае имеем:
L = − |
1 |
|
|
∂ |
|
A |
+ A′ |
|
− ∂ |
|
|
A |
|
+ |
A′ |
|
|
+ C |
|
|
|
A |
|
+ |
A′ |
|
A |
|
+ A′ |
2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
4 e |
μ |
ν |
|
|
αβγ |
|
|
γμ |
j |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
αν |
|
|
|
|
αν |
|
|
|
|
|
|
αμ |
|
|
αμ |
|
|
|
|
|
βμ |
|
βμ |
|
|
γμ |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
||
+ LM ψ + ψ |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
′ |
g |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
, ∂μ bψ + ψ |
g − itα Aαμ + Aαμ |
bψ + ψ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= − |
1 |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
A′ |
− |
|
|
|
|
|
A′ |
+ C |
|
|
A′ |
A′ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
F |
|
|
|
D |
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
4 d |
|
|
|
|
αβγ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
αμν |
|
|
μ αν |
|
|
|
ν |
|
αμ |
|
|
|
|
βμ |
γν i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
+ LM d |
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
′ |
gi , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
ψ + ψ |
, Dμ bψ + ψ |
g − itα Aαμ b |
ψ + ψ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
ãäå, êàê è â (17.4.5), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A′ |
|
|
≡ ∂ |
|
A′ |
|
+ C A A′ |
|
|
|
|
|
|
(17.4.13) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
μ αν |
|
|
μ αν |
|
|
|
αβγ βμ |
|
γν |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
μ ψ ≡ ∂μ ψ − itα Aαμψ , |
|
|
|
|
|
|
|
|
(17.4.14) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
134 Глава 17. Перенормировка калибровочных теорий
à Fαμν — напряженность фонового поля:
Fαμν ≡ ∂μ Aαν − ∂ν Aαμ + Cαβγ Aβμ Aγν . |
(17.4.15) |
(Символ квадрата в первом слагаемом в L подразумевает очевидные свертки по индексам.) Ясно, что L инвариантен относительно новых преобразований (17.4.2), (17.4.3), (17.4.9) и (17.4.10), так как он вклю- чает Aαμ òîëüêî в напряженности поля Fαμν и фоновой ковариантной производной Dμ полей «материи» A′αμ, ψ′ è ψ.
Следует четко отличать это новое преобразование от истинного калибровочного преобразования. Последнее может не оказывать никакого действия на А или ψ, которые являются просто заданны-
ми классическими фоновыми полями, и индуцировать обычное калибровочное преобразование полей A + A′, ψ + ψ′, òàê ÷òî
|
|
|
δ |
TRUE |
Aμ |
= 0, |
|
|
|
|
|
(17.4.16) |
||||||
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
δ |
TRUE |
A′μ |
= ∂με |
α |
− C |
ε |
β d |
Aμ + A′ |
μ |
i |
||||||||
|
α |
|
|
|
|
|
αβγ |
|
|
γ |
γ |
|
||||||
|
|
|
|
= |
|
μ ε |
|
− C |
|
ε |
|
A′μ |
|
|
(17.4.17) |
|||
|
|
|
|
D |
α |
|
β |
, |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
αβγ |
|
γ |
|
|
|
|||
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
δTRUEψ = 0, |
|
|
|
|
|
|
(17.4.18) |
||||||||
|
|
δTRUEψ′ = itα εα (ψ + ψ′) . |
|
|
(17.4.19) |
|||||||||||||
Конечно, с точки зрения действия на A + A′ è ψ + ψ′ ýòî òî æå
самое, что и формальные преобразования (17.4.2), (17.4.3), (17.4.9) и (17.4.10), поэтому такие преобразования также оставляют лагранжиан инвариантным. Однако при нашем новом выборе fα (17.4.1) слагаемое fαfα зависит не только от А + А′ и неинвариантно относи-
тельно (17.4.16) и (17.4.17). Вместо этого
δ |
|
= |
|
|
|
μ ε |
|
− C |
ε |
A′ |
μC |
(17.4.20) |
f |
D |
D |
α |
|||||||||
|
TRUE α |
|
μ d |
|
|
αβγ |
β |
γ |
αβγ i |
|
||
ãäå Dμ дается формулой (17.4.5).
Рассмотрим, наконец, лагранжиан гостов в этой новой калибровке. Величина (15.7.3) в действии для гостов в общем случае дается просто заменой в δTRUEfα величины εα на гостовское поле ωα + ω′α:
17.4. Калибровка фонового поля |
135 |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
μ (ω |
|
|
+ ω′ ) − C |
(ω |
|
+ ω′ )A′μ |
, |
|
|
|
(17.4.21) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
α |
D |
D |
α |
β |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
μ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
αβγ |
|
|
|
|
|
β |
γ |
|
|
|
|
|||||||||
Поэтому лагранжиан гостов в (15.6.2) имеет вид |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
L |
|
|
= |
(ω* |
+ ω′* ) |
|
|
|
|
|
|
μ (ω |
|
|
+ ω′ ) − C |
|
|
(ω |
|
|
+ ω′ )A′μ |
|
, (17.4.22) |
||||||||||||||
|
GH |
D |
|
|
|
D |
α |
|
|
β |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
α |
|
|
|
α μ |
|
|
|
|
|
|
|
α |
αβγ |
|
|
β |
γ |
|
|
|
|
|||||||||||||
или, интегрируя по частям, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
GH |
|
d |
μ |
α |
|
|
|
|
α |
id |
|
|
|
μ (ω |
α |
α |
αβγ |
|
|
β |
β |
γ |
μ |
|
i |
|
|||||||||||
L |
|
|
= − |
D |
(ω* |
+ ω′* ) |
|
|
|
D |
|
+ ω′ ) − C |
|
|
|
(ω |
|
+ ω′ )A′ |
|
|
. (17.4.23) |
|||||||||||||||||
Это выражение явно инвариантно относительно объединенных пре-
образований (17.4.2), (17.4.3), дополненных преобразованиями полей
ω è ω′:
δωα |
= −Cαβγ εβω γ , |
(17.4.24) |
′ |
′ |
(17.4.25) |
δωα |
= −Cαβγ εβω γ , |
|
и аналогично |
|
|
δω*α |
= −Cαβγ εβω*γ , |
(17.4.26) |
′* |
′* |
(17.4.27) |
δωα |
= −Cαβγ εβωγ . |
Мы видим, что формально объединенные преобразования (17.4.2), (17.4.3), (17.4.9), (17.4.10) и (17.4.24)–(17.4.27) оставляют инвариантным полный лагранжиан в модифицированном действии (15.6.4):
|
1 |
|
LMOD = L − |
2ξ fα fα + LGH . |
(17.4.28) |
Интегрирование по A′, ψ′, ω′ è ω′* производится с мерой, которая
предполагается инвариантной относительно простых матричных преобразований (17.4.3), (17.4.10), (17.4.25) и (17.4.27), поэтому эффективное действие G[A,ψ,ω,ω*] инвариантно относительно остав-
шихся преобразований (17.4.2), (17.4.9), (17.4.24) и (17.4.26). Иными словами, оно калибровочно инвариантно в том же смысле, что и исходное действие I[A,ψ,ω,ω′].
Эта формальная калибровочная инвариантность накладывает сильные ограничения на бесконечности, которые могут возникать в эффективном действии. Ультрафиолетовые расходимости в Γ
136 |
Глава 17. Перенормировка калибровочных теорий |
появляются в коэффициентах у слагаемых, массовая размерность которых равна d ≤ 4, но здесь эти слагаемые инвариантны относи-
тельно фоновых калибровочных преобразований (17.4.2), (17.4.9), (17.4.24) и (17.4.26). Например, в калибровочной теории, основанной на простой калибровочной группе, с фермионами спина 1/2, принадлежащими неприводимому представлению этой группы, единственно возможные слагаемые имеют вид:
|
|
|
|
|
|
Γ∞ = z d4x L∞ , |
|
|
|
|
|
|
|
(17.4.29) |
||||||||
|
|
= − |
1 |
|
|
|
F Fμν |
− L |
|
|
ψ γ μ |
|
|
|
|
ψ |
|
|
||||
L |
∞ |
L |
|
|
ψ |
D |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
4 |
|
A |
|
αμν α |
|
|
|
|
|
|
μ |
|
|
(17.4.30) |
|||||||
|
|
− mL |
|
|
ψψ − L |
|
|
|
|
ω* |
|
|
|
|
μω |
|
||||||
|
|
m |
ω |
(D |
)(D |
α |
) , |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
μ |
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
||||
ãäå Fαμν, Dμ ψ , Dμω*α è Dμωα построены полностью из фоновых
полей *:
Fαμν ≡ ∂μ Aαν − ∂ν Aαμ + Cαβγ Aβμ Aγν , |
(17.4.31) |
|||||
|
|
|
|
|
μ ψ ≡ ∂μ ψ − itα Aαμψ , |
(17.4.32) |
D |
||||||
|
|
μωα ≡ ∂μωα + Cαβγ Aβμωγ , |
(17.4.33) |
|||
D |
||||||
|
|
μω*α ≡ ∂μω*α + Cαβγ Aβμω*γ . |
(17.4.34) |
|||
|
D |
|||||
На основании размерного анализа можно ожидать, что константы LA, Lψ, Lμ è Lω будут логарифмически расходящимися.
Чтобы справиться с этими расходимостями, заметим, что лагранжиан (17. 4. 12) содержит чисто классический кусок
L |
|
= − |
1 |
F Fμν − ψ(γ μ |
|
+ m) − ( |
|
ω* |
)( |
|
μω |
|
) , |
(17.4.35) |
||
CLASS |
D |
D |
D |
α |
||||||||||||
|
||||||||||||||||
|
|
4 |
|
αμν α |
μ |
μ α |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* Условие простоты калибровочной группы обеспечивает единственность кинетического слагаемого для полей A и ω, которое пропорционально
Fαμν Fαμν è Dμ ω *α Dμ ω α , соответственно. В то же время, условие, что ψ ïðå-
образуется неприводимо, обеспечивает единственность кинетического и массового слагаемого для ψ. Ценой небольшого усложнения обозначений не-
трудно рассмотреть и более общий случай. Кроме того, мы неявно используем сохранение гостовского числа.
17.4. Калибровка фонового поля |
137 |
получающийся отбрасыванием всех слагаемых в LMOD, содержащих квантовые поля A′, ψ′, ω′, ω*′. Определяем перенормированные поля
AαμR |
≡ |
1 + LA |
|
|
Aαμ , |
(17.4.36) |
||
ψ lR |
≡ |
|
|
|
|
ψ l , |
|
|
|
1 + Lψ |
(17.4.37) |
||||||
ω αR ≡ |
|
|
|
ω α , |
|
|||
1 + Lω |
(17.4.38) |
|||||||
ω αR* ≡ |
|
|
ω*α , |
|
||||
|
1 + Lω |
(17.4.39) |
||||||
так что сумма слагаемых (17.4.30) и (17.4.35) принимает вид:
L |
|
+ L |
|
= − |
1 |
FR |
FRμν − ψRγ μ DRψR |
|
CLASS |
GH |
|
||||||
|
|
4 |
αμν |
α |
μ |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
− mRψ RψR − (DμRω*αR)(DμRωαR),
ãäå mR — перенормированная масса
mR ≡ m(1 + Lm) / (1 + Lψ ) ,
è
FR |
|
≡ ∂ |
μ |
AR − ∂ |
ν |
AR |
+ CR |
AR |
AR |
, |
|||||||||
αμν |
|
|
αν |
|
|
|
|
|
αμ |
|
αβγ |
|
|
βμ |
γμ |
|
|||
|
|
DRψR ≡ ∂ |
μ |
ψR − itRAR |
ψR , |
|
|||||||||||||
|
|
μ |
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
αμ |
|
|
|
|
|
||
|
DRωR ≡ ∂ |
μ |
ωR + CR |
AR |
|
ωR |
, |
|
|||||||||||
|
|
μ |
α |
|
|
|
|
α |
αβγ |
βμ |
|
γ |
|
|
|||||
|
DRω*R |
≡ ∂ |
μ |
ω*R + CR |
AR |
|
ω*R . |
|
|||||||||||
|
|
μ α |
|
|
|
|
α |
|
αβγ βμ |
γ |
|
|
|||||||
(17.4.40)
(17.4.41)
(17.4.42)
(17.4.43)
(17.4.44)
(17.4.45)
Здесь перенормированные структурные константы и генераторы группы равны:
CR |
≡ (1 + L |
A |
) |
−1/2 C |
, |
(17.4.46) |
αβγ |
|
|
αβγ |
|
||
CR |
≡ (1 + L |
A |
) |
−1/2 C |
, |
(17.4.47) |
αβγ |
|
|
αβγ |
|