Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001).pdf

используя линейно преобразующееся поле, подчиненное нелинейным связям типа U(x) из раздела 19.7. Однако, возможно, что могут быть и другие слагаемые в действии для эффективной теории поля, аномальные в том смысле, что они задаются интегралами от четырехмерных плотностей лагранжианов, не являющихся инвариантными, но чья вариация под действием нарушенной симметрии представляет полную пространственно-временную производную, что сохраняет инвариантность соответствующего слагаемого в действии. Как мы увидим в разделе 22.7, такое слагаемое для SU(3) × SU(3)

было открыто Вессом и Зумино42 при изучении «аномалий», обязанных диаграммам с кварковыми петлями. Однако структуру этого слагаемого можно понять, ничего не зная об определяющей ее теории кварков и глюонов.

Простейший способ описать слагаемое Весса–Зумино — расширить размерность пространства-времени до пяти измерений, как это специально было предложено для данного случая Виттеном 43. До тех пор, пока мы требуем, чтобы поля в эффективной теории поля стремились к общему пределу при xμ → ∞ по любому направ-

лению, можно считать, что пространство-время имеет топологию сферы S4 с точкой на бесконечности, включенной как обычная точ- ка. Как отмечалось в разделе 19.6, когда группа G нарушена до подгруппы Н, можно считать, что допустимые значения голдстоуновских полей ξa в любой пространственно-временной точке опре-

деляют точку в пространстве смежных классов G/H (пространство элементов G, в котором отождествлены любые два элемента, отли- чающиеся умножением справа на элементы Н). Поэтому множество функций ξa(x) представляет отображение пространственно-времен-

ной сферы S4 на G/H. В зависимости от топологии G/H иногда оказывается возможным гладко продеформировать любую 4-сферу в G/H в точку; иными словами, оказывается возможным расширить любую функцию ξa(x) до непрерывной функции ξa(x; s), определен-

íîé äëÿ 0 ≤ s ≤ 1, причем ξa(x; 0) = ξa(x), à ξa(x; 1) — любая фиксированная точка исходной сферы (например, ξa = 0). Если это верно,

то математически такое утверждение выражают словами, что гомотопическая группа π4(G/H) тривиальна. (Подробнее о гомотопи-

ческих группах см. в разделе 23.2.)

Известно, что это имеет место в случае группы SU(N) × SU(N),

спонтанно нарушенной до SU(N), где пространство смежных классов SU(N) × SU(N)/SU(N) имеет такую же топологию, что и сама

Примечательно, что коэффициент при слагаемом Весса–Зу- мино–Виттена не является свободно настраиваемым параметром. Как показал Виттен 43, это происходит потому, что хотя такое слагаемое не изменяется при гладких деформациях функции U(y) в В5, не изменяющих значений U(x) на пространственно-временной границе S4, его все же можно изменить путем скачкообразного изменения U(y), оставляющего U(x) неизменным на границе. Можно представлять пятимерный шар В5 как половину пятимерной сферы S5, а пространство-время S4 как границу между В5 и другой половиной В5′. (Представьте, что S5 аналогична поверхности Земли, тогда пространство-время S4 аналогично экватору, а В5 è Â5′ – север-

ному и южному полушариям.) Так как S4 является одновременно границей и другой половины S5, можно записать слагаемое Весса– Зумино–Виттена в виде

включив дополнительный знак «минус», поскольку граница В5′ ÿâ-

ляется 4-сферой с противоположной ориентацией. Требование, чтобы слагаемые (19.8.3) и (19.8.6) были равны для произвольных полей голдстоуновских бозонов, можно удовлетворить, только положив n = 0. Однако для того, чтобы на весовой множитель exp(iI) в функциональных интегралах не влияла разность между слагаемым (19.8.3) и (19.8.6), достаточно лишь потребовать, чтобы эта разность равнялась бы 2π, умноженному на целое число:

С учетом нормировочных множителей, включенных нами в определение (19.8.1) величины ω(y), интеграл от нее по любой пятимерной сфере оказывается равным 2π 44. Отсюда следует, что коэффици-

ент n должен быть целым числом.

В связи с приведенным примером слагаемого Весса–Зумино– Виттена возникает вопрос о том, не могут ли существовать другие аномальные слагаемые в действии, не обязательно связанные с кварковыми петлями, которые также SU(3) × SU(3) инвариантны, хотя и не являются четырехмерными интегралами от SU(3) × SU(3) èíâà-

риантных лагранжевых плотностей. К счастью, ответ отрицателен. Было показано 45, что для произвольной группы G, нарушенной до

произвольной подгруппы H (причем π4(G/H) = 0), любое слагаемое F[ξ] в действии для полей голдстоуновских бозонов ξa(x) всегда можно записать как интеграл от G-инвариантной 5-формы Ω по пятимер-

íîìó øàðó Â5, границей которого является пространственно-вре- менная 4-сфера S4:

Для того, чтобы это выражение не зависело от конкретного способа, которым ξa(x) распространяется внутрь пятимерного шара, необходимо, чтобы форма Ω была точной, в том смысле, что суще-

ствует внешняя производная от 4-формы

(квадратные скобки, как обычно, указывают на антисимметризацию по отношению к индексам внутри скобок), так что

Отсюда следует, что Ω также и точна, т. е. имеет обращающуюся в

нуль внешнюю производную:

При условии, что 4-форма Labcd(ξ) также G-инвариантна, функцио-

нал (19.8.10) является одним из обычных явно G-инвариантных слагаемых в действии, обсуждавшихся в трех предыдущих разделах. Аномальные слагаемые в действии возникают из-за возможности того, что хотя каждое слагаемое в Ω(y) G-инвариантно и является

внешней производной 4-формы, некоторые слагаемые могут не быть внешними производными от G-инвариантных 4-форм. Следовательно новые слагаемые в действии можно отождествить с замкнутыми G-инвариантными 5-формами, которые независимы в том смысле, что ни одна их действительная линейная комбинация не является внешней производной от G-инвариантной 4-формы. Эти слагаемые