Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001).pdf

известны в математике как генераторы группы когомологий де Рама H5(G/H; R). (Групповым умножением здесь является простое сложение.) Группы когомологий де Рама вычислены для многообразий с разной топологией 46. В частности, группа когомологий H5(SU(N) × SU(N)/SU(N); R) имеет единственный генератор, давае-

мый выражением (19.8.1). Таким образом, не зная ничего о лежащей в основе теории кварков и глюонов, можно кое-что узнать об аномальных слагаемых в действии для голдстоуновских бозонов, с точ- ностью до значения целого числа n. В разделе 22.7 мы увидим, что в SU(Nc) калибровочных теориях это число равно числу цветов Nc, так что в квантовой хромодинамике n = 3.

19.9. Ненарушенные симметрии

Выше мы видели, каким образом можно вывести свойства голдстоуновских бозонов и их низкоэнергетических взаимодействий из предположения, что теория инвариантна (или приближенно инвариантна) относительно группы G, спонтанно нарушенной до подгруппы Н. Однако применяя эти методы к случаям, когда G есть SU(2) × SU(2) èëè SU(3) × SU(3), мы должны были обратиться к эксперименту, чтобы установить путь нарушения симметрии от SU(2) × SU(2) èëè SU(3) × SU(3) к их некиральным SU(2) или SU(3) под-

группам. В разделе 22.5 мы покажем, что в квантовой хромодинамике SU(3) × SU(3) симметрия для безмассовых u-, d- и s-кварков

должна быть, на самом деле, спонтанно нарушена, но значительно труднее показать на основе квантовой хромодинамики, что SU(2) ×

SU(2) симметрия, при условии, что только u и d не имеют массы, также спонтанно нарушена *. С другой стороны, существуют инту-

* Вайнгартен 48 использовал решеточные методы, чтобы показать, что независимо от того, нарушена или нет киральная симметрия, легчайшая частица в квантовой хромодинамике с безмассовыми u- и d-кварками должна иметь квантовые числа пиона. Как мы увидим в разделе 22.5, из существования в квантовой хромодинамике аномалий, обязанных фермионным петлям, вместе с предположением о захвате кварков вытекает, что некоторые адроны не имеют массы, откуда следует, что пион безмассовый. Это является сильным доводом в пользу спонтанного нарушения киральной симметрии.

итивные аргументы в пользу того, что их некиральные подгруппы SU(2) или SU(3) ненарушены. Эти аргументы основаны на предположении, известном как жесткое массовое условие 48, утверждающем, что составные частицы не могут быть безмассовыми, если те частицы, из которых они состоят, массивны. Некиральные симметрии, вроде сохранения изоспина, не нарушаются, если придать кваркам равные массы. Поэтому, если они нарушались бы спонтанно, у нас получились бы безмассовые голдстоуновские бозоны, составленные из массивных кварков, что противоречит условию устойчивости масс. Ниже мы изложим доказательство Вафы и Виттена 49, что в калибровочных теориях типа квантовой хромодинамики не могут быть спонтанно нарушены те симметрии, которые не нарушаются введением масс кварков. Этот результат представляет больше чем академический интерес — как мы увидим в разделе 21.4, не исключено, что спонтанное нарушение электрослабых калибровоч- ных симметрий описывается теорией «техницвета», аналогичной квантовой хромодинамике, и при проверке этой идеи важно знать, какие симметрии в этой теории остаются ненарушенными.

Рассмотрим калибровочную теорию типа квантовой хромодинамики с некоторым числом фермионных «ароматов» в одинаковых представлениях калибровочной группы. Если у всех фермионов есть массы, теория будет инвариантной относительно унитарных глобальных некиральных преобразований фермионных ароматов, коммутирующих с массовой матрицей фермионов. Например, если n1 фермионов вырождены с общей массой m1, n2 фермионов вырождены с некоторой другой массой m2 и т. д., то такой глобальной группой симметрии будет U(n1) × U(n2) × ... (В частном случае, когда нет

вырождений, получается глобальная симметрия относительно U(1) × U(1) × ... Примером может служить сохранение барионного

числа, странности и т. п. в квантовой хромодинамике.) Эти симметрии не могут быть спонтанно нарушены.

Для доказательства рассмотрим общую функцию Грина для r фермионных и антифермионных полей. * В формализме функцио-

* В оригинальной работе Вафа и Виттен 49 сначала доказали отсутствие нарушения симметрии в случае r = 1 и x = y, затем заметили, что отсутствие нарушения симметрии в этом вакуумном среднем не исключает возможности спонтанного нарущения симметрии в других функциях Грина, после чего перешли к другим методам доказательства.

нальных интегралов она имеет вид *

× expdiIкалибр [A] + iIДирак [ψ, ψ†; A]i ,

ãäå k1, ..., kr è l1, ..., lr – дираковские спиновые индексы, u1, ..., ur

Ниже необходимо работать в евклидовом пространстве-времени, где

все величины x4 = x4 = ix0, y4 = y4 = iy0 è A4a = A4a =iA0a действительны. (См. приложение А к гл. 23.) В этом случае дираковское

действие равно

где М — фермионная массовая матрица, а евклидова калибровочно ковариантная производная, свернутая с евклидовыми дираковскими матрицами, равна

i=1

* Как мы видели в разделе 15.5, и числитель, и знаменатель пропорциональны бесконечному объему калибровочной группы, который сокращается в отношении (19.9.1). Наличие такого бесконечного множителя несколько снижает строгость последующих рассуждений, но если бы мы устранили этот множитель, введя духи, то некоторые шаги ниже, зависящие от положительности действия, породили бы ряд трудностей. Один из способов рассмотрения этой проблемы состоит в замене пространственновременного континуума конечной решеткой точек. В этом случае калибровочная группа имеет конечный объем, и не требуется ни фиксации калибровки, ни введения духовых полей.

где, как обычно, γ4 = iγ0. Поскольку действие квадратично по фер-

мионным полям, можно явно взять интеграл по этим полям:

ãäå «± перестановки» означает, что нужно просуммировать по всем r! перестановкам полей ψ, беря знак «минус» для нечетных переста-

новок, а

Выражение (19.9.5) явно инвариантно относительно любого унитарного преобразования по индексам ароматов, коммутирующего с массовой матрицей М. Не имеет значения, какие непертурбативные эффекты порождаются функциональным интегралом по калибровочным полям и полям духов; эти поля инертны по отношению к обсуждаемым здесь симметриям, так что оставшийся функциональный интеграл в (19.9.5) не может разрушить эти симметрии *. Однако, чтобы это рассуждение было убедительным, следует показать, что выражение (19.9.5) хорошо определено.

Это не просто академический вопрос математической строгости. Как мы видели в разделе 19.1, признаком того, что симметрия спонтанно не нарушена, является не только то, что основное состояние инвариантно относительно преобразований симметрии, но и то, что симметрия основного состояния устойчива относительно малых возмущений. Если нарушить симметрии М, добавив малое возмущение δM, и если при этом выражение (19.9.5) становится сингулярным при δM → 0, тогда множители в δM в нарушающих

* Труднее показать, что в квантовой хромодинамикеP C Ò с массивными кварками спонтанно не нарушаются симметрии , и , поскольку эти симметрии нетривиально действуют на калибровочные поля. Вафа и Виттен 50 использовалиÐметодику из работы 49, чтобы показать, что в квантовой хромодинамике спонтанно не нарушается.