Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001).pdf

симметрию матричных элементах могут сократиться сингулярностями в матричных элементах при δM = 0. Именно это и происходит

в случае киральных симметрий, возникающих в пределе, когда некоторые собственные значения М обращаются в нуль. В этом случае, когда достигается симметричный предел нулевой массы, массовые множители в числителях нарушающих симметрию вакуумных средних сокращаютс яс массовыми множителями в знаменателях пропагаторов во всех точках, где имеет нулевые собственные значения. По этой причине приводимые рассуждения применимы только к некиральным симметриям в теориях со всеми ненулевыми собственными значениями массовых матриц М.

Чтобы в этом случае установить ограничения на матричный элемент (19.9.5), заметим сначала, что дифференциальный оператор (19.9.4) антиэрмитов, так что до тех пор, пока эрмитова матрица М не имеет нулевых собственных значений, имеет хорошо определенный обратный оператор. Необходимо еще показать, что остающееся интегрирование по калибровочным полям в (19.9.5), вклю- чая то, которое содержится в Z, не сделает это выражение сингулярным, когда М удовлетворяет условиям симметрии, например, условию, что в случае U(n) симметрии n собственных значений этой матрицы равны. Как будет видно, это обеспечивает то, что при добавлении к инвариантной по отношению к некоторому глобальному преобразованию симметрии фермионной массовой матрице М нарушающего эту симметрию малого слагаемого δM, изменение вакуум-

ного среднего (19.9.4) относительно этого преобразования симметрии обращается в нуль в пределе δM → 0.

Доказательство того, что функции Грина в координатном пространстве (19.9.5) несингулярны, затруднительно, поэтому рассмотрим матричные элементы сглаженных полей

ãäå fk(x) — произвольные гладкие квадратично интегрируемые функции. Тогда выражение (19.9.5) принимает вид

(19.9.8)

326 Глава 19. Спонтанно нарушенные глобальные симметрии

ãäå

(D/ + M)−fu1,gv ≡ z d4xz d4 y fk† (x)(D/ + M)xuk−1 ,yvl gl (y) . (19.9.9)

В этом базисе фермионные пропагаторы для данного калибровочно-

го поля не только хорошо определены, но и равномерно ограничены в Aμa(x) *:

ãäå ma — собственные значения М, и для удобства мы теперь нормируем функции fi(x) è gj(y) òàê, ÷òî

* Чтобы увидеть это, можно разложить собственные векторы М:

Muvcva = macau , cau*cbu = δab

и, применяя прием Вафы и Виттена 49, записать (19.9.9) как

£ z d4x| f(x)|2 z d4y| g(y)|2 = 1 .

Используя это внутри интеграла, приходим к (19.9.10).

(Условие суммирования здесь не соблюдается.) Кроме того, весовая функция для среднего по калибровочным полям положительна *

При положительной весовой функции среднее от любой функции ограничено границей этой функции. Подставляя ограничение (19.9.10) в (19.9.8), находим, что матричный элемент ограничен неравенством

Следовательно, когда нарушающие симметрию члены δM â Ì ñòðå-

мятся к нулю, не возникает сингулярностей, которые могли бы сократить множители δM. Чтобы увидеть это более явно, можно ис-

пользовать те же приемы, чтобы показать, что если мы возмущаем М за счет малого нарушающего симметрию слагаемого δM, то слагаемое в (19.9.8) первого порядка по δM ограничено неравенством

èэто обращается в нуль при δM → 0.

Âреальном мире ни одна из масс кварков не равна нулю и эти массы не вырождены, поэтому из предыдущих рассуждений сразу же следует, что U(1) симметрии типа сохранения барионного числа, странности и т. д. не нарушаются ни спонтанно, ни внутренне. Что касается других симметрий сильных взаимодей-

** В фермионном детерминанте мы используем то, что

Det(D/ + M) = Det γ 5 (D/ + M) γ 5 = Det(−D/ + M) .