Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001).pdf

В таком ортонормированном базисе матрица квадратов масс в первом порядке по mu è md имеет вид

Наличие недиагонального члена (19.10.11) приводит к уменьшению произведения собственных значений на пренебрежимо малое отношение (mu − md)2 64(mu + md)2 , оставляя, конечно, неизменной

сумму собственных значений, так что в хорошем приближении собственные значения даются диагональными элементами (19.10.9) и (19.10.10). Сравнивая (19.10.9) с (19.7.16), видим, что частица, отве- чающая собственному вектору ua, ýòî π0. Другая частица, соответ-

ствующая ub, имеет массу

Таким образом, нарушенная U(1)A симметрия требует вдобавок к самому пиону существования нейтрального псевдоскалярного голдстоуновского бозона массой меньше, чем 3mπ . Едва ли нужно до-

казывать, что такой сильновзаимодействующей частицы не существует *. В разделе 23.5 мы увидим, что эта проблема в конце

* Заметим, что, беря Fζ . Fπ, можно придать дополнительному нейт-

ральному скаляру очень малую массу, но тогда его взаимодействия были бы столь слабы, что он мог бы легко избежать детектирования. Малоправдоподобно, что очень большое отношение Fπ ê Fζ могло бы возникнуть в

квантовой хромодинамике, но нечто похожее возникает в теориях с дополнительными полевыми переменными, которые были предложены, чтобы избежать нарушения четности инстантонами (см. раздел 23.6).

концов была разрешена открытием непертурбативных эффектов, нарушающих дополнительную симметрию U(1)A.

Задачи

1.Примените общую теорию нарушенных глобальных симметрий к случаю, когда группа симметрии SO(3) (с генераторами

t1, t2, t3) спонтанно нарушается до своей SO(2) подгруппы (с генератором t3). Как преобразуются поля голдстоуновских бозонов относительно бесконечно малых преобразований SO(3)? (Используйте экспоненциальную параметризацию пространства смежных классов SO(3)/SO(2).) Вычислите ковариант-

ную производную Daμ поля голдстоуновских бозонов и обще-

го поля с ненулевым значением q генератора ненарушенной

симметрии t3. Как выглядит самый общий SO(3)-инвариант- ный лагранжиан, включающий только годстоуновские бозоны и не содержащий более двух производных? Используйте этот лагранжиан, чтобы вычислить слагаемые в инвариантной амплитуде упругого рассяния голдстоуновских бозонов в низшем порядке по их энергии. Как выглядит самый общий SO(3)-инвариантный лагранжиан с двумя неголдстоуновскими полями и не более чем одной производной? Как выглядит самая общая функция, зависящая только от полей голдстоуновских бозонов (без производных) и преобразующаяся как третья компонента 3-вектора SO(3)? Добавьте это слагаемое в лагранжиан, выбрав коэффициент так, чтобы голдстоуновский бозон приобрел массу m, и заново рассчитатйте амплитуду рассеяния голдстоуновских бозонов в низшем порядке.

2.Рассмотрите теорию с SU(N) глобальной симметрией, спонтанно нарушенную до SU(N–1). Предположим, мы добавляем малое нарушающее симметрию возмущение, принадлежащее фундаментальному представлению N группы SU(N). С учетом подстройки вакуума какая группа симметрии полностью ненарушена? Что можно сказать о случае, когда нарушающее симметрию возмущение принадлежит к присоединенному представлению SU(N)?

3.В однопетлевом приближении рассчитайте амплитуду пионпионного рассеяния с учетом конечной массы пиона.

4.Выведите «правило сумм Адлера», являющееся аналогом правила сумм Адлера–Вайсбергера для случая пион-пионного рассеяния.

5.Вычислите свойства преобразований пионного поля ξa относительно преобразований группы SU(2) × SU(2) в случае, когда смежные классы SU(2) × SU(2)/SU(2) параметризованы как

exp(iξaxa).

6. Используйте формулу (19.7.31) и SU(3) симметрию, чтобы вывести соотношение (19.7.32).

Список литературы

1.Coleman, S. Secret symmetry: an introduction to spontaneous symmetry breakdown and gauge fields. In: Aspects of Symmetry. Selected Erice Lectures of Sidney Coleman (Cambridge University Press, Cambridge, 1985).

2.Titchmarsh, E.C., Introduction to the Theory of Fourier Integrals

(Oxford University Press, Oxford, 1937), Sec. 1.4.

3.Goldstone, J., Nuovo Cimento, 9, 154 (1961).

4.Nambu, Y., Phys. Rev. Lett., 4, 380 (1960).

5.Goldstone, J., Salam, A., and Weinberg, S., Phys. Rev., 127, 965 (1962).

6.Adler, S., Phys. Rev., 137, B1022 (1965).

7.Weinberg, S., Phys. Rev. Lett., 29, 1698 (1972).

8.Dashen, R., Phys. Rev., 183, 1245 (1969). Поправки к этому соотношению см.: Donoghue, J.F., Holstein, B.R., and Wyler,

D., Phys. Rev., D47, 2089 (1993); Bijnens, J., Phys. Lett., B306, 343 (1993); Maltman, K. and Kotchan, D., Mod. Phys. Lett., A5, 2457 (1990); Urech, R., Nucl. Phys., B433, 234 (1995); Baur, R. and Urech, R., Zurich–Karlsruhe preprint ZU-TH 22/95, TTP95-31, hep-ph/9508393 (1995).

9.Обзор см.: Towner, I.S. et al., Chalk River preprint nucl-th/ 9507005 (1995).

10.Weinberg, S., Phys. Rev., 112, 1375 (1958).

11.Goldberger, M.L. and Treiman, S., Phys. Rev., 111, 1375 (1958).

12.Ericson, T. and Weise, W., Pions and Nuclei (Clarendon Press, Oxford, 1988).

13.Ericson, T. et al., CERN preprint CERN-TH/95-50 (1995).

14.Das, T., Guralnik, G.S., Matur, V.S. et al., Phys. Rev. Lett., 18, 759 (1967).

15.Bernstein, J., Fubini, S., Gell-Mann, M., and Thirring,1 W., Nuovo Cimento, 17, 757 (1960); Gell-Mann, M. and Levy, M., [24]; Chou, K.-C., Soviet Physics JETP, 12, 492 (1961).

16.Nambu, Y., Phys. Rev. Lett., 4, 380 (1961).

17.Nambu, Y. and Jona-Lasinio, G., Phys. Rev., 122, 345 (1961).

18.Nambu, Y. and Lurie, D., Phys. Rev., 125, 1429 (1962); Nambu, Y. and Shrauner, E., Phys. Rev., 125, 1429 (1962).

19.Adler, S.L., Phys. Rev. Lett., 14, 1051 (1965); Phys. Rev., 140, B736 (1965); Weisberger, W.I., Phys. Rev. Lett., 14, 1047 (1965); Phys. Rev., 143, 1302 (1965). Влияние конечноий массы пиона было другим способом учтено в [27] путем комбинации результатов алгебры токов для длин пион-нуклонного рассеяния с правилом сумм для длин рассеяния, выведенным из дисперсионных соотношений для рассеяния вперед в работах: Goldberger,