Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001).pdf

M.L., Miyazawa, H., and Oehme, R., Phys. Rev., 99, 986 (1955); Goldberger, M.L., in Dispersion Relations and Elementary Particles

(Wiley, New York, 1960), p. 146.

20.Weinberg, S., Current Algebra — Rapporteur's Report, in Proc. Int. Conf. on High Energy Physics, Vienna, 1968 (CERN, Geneva, 1968), p. 253.

21.Gell-Mann, M., Physics, 1, 63 (1964).

22.Weinberg, S., Phys. Rev. Lett., 16, 879 (1966).

23.Weinberg, S., Phys. Rev. Lett., 18, 188 (1967).

24.Gell-Mann, M. and Le1vy, M., Nuovo Cimento, 16, 705 (1960).

25.Weinberg, S., Phys. Rev., 166, 1568 (1968).

26.Weinberg, S., Physica, 96A, 327 (1979).

27.Эти длины рассеяния впервые были вычислены с помощью техники алгебры токов в работе: Weinberg, S., Phys. Rev. Lett., 17, 616 (1966).

28.Обзор см.: Donoghue, J.F., Golowich, E., and Holstein, B.R.,

Dynamics of the Standard Model (Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1992), sec. VI-4. Измерения сдвига энергии и ширины 1s состояния атома p–p за счет сильного Bвзаимодействия2

привели к результатам: a(π–p → π–p) = a + a =

2¸ 1/2 3/2

0,0885(9)mπ–1 è a(π–p → π0n) = (a3 – a1) = –0,136(10)mπ–1;

Sigg, D. et al., preprint ETHZ-IPP PR-95-4, July 1995.

29. Weinberg, S., Phys. Lett., B251, 288 (1990);1¤ Nucl Phys., B363, 3 (1991); Phys. Lett., B295, 114 (1992); Ordo1¤ ez, C., and van Kolck, U., Phys. Lett., B291, 459 (1992); Ordo ez, C., Ray, L., and van Kolck, U., Phys. Rev. Lett., 72, 1982 (1004); van Kolck, U., Phys. Rev., C49, 2932 (1994); van Kolck, U., Frriar, J., and Goldman, T., Phys. Lett. B (to be1¤published). Обзор данного подхода к ядерным силам см.: Ordo ez, C., Ray, L., and van Kolck, nucl-th/

9511380; Friar, J., Few-Body Systems Suppl., 99, 1 (1996). Применение этой техники к связанным ядерным процессам см.: Park, T.-S., Min, D.-P., and Rho, M., Phys. Rep., 233, 341 (1993); Beane, S.R., Lee, C.Y.. and van Kolck, U., Phys. Rev., C52, 2915 (1995).

30.Weinberg, S., [27]. Длины пион-нуклонного рассеяния были независимо рассчитаны в работе: Tomozawa, Y., Nuovo Cimento, 46A, 707 (1966).

30a. Adler, S.L., Phys. Rev., 140, B736 (1965).

31.Coleman, S., Wess, J., and Zumino, B., Phys. Rev., 177, 2239 (1969); Callan, C.G., Coleman, S., Wess, J., and Zumino, B., Phys. Rev., 177, 2247 (1969).

32.Palais, R.S., J. Math. Mech., 6, 673 (1957); Mostow, G.D., Annals of Math., 65, 432 (1957).

32a. Обсуждение других возможностей см.: Weinberg, S., Physica Scripta, 21, 773 (1980).

33.Gell-Mann, M., Cal. Tech. Synchrotron Laboratory Report CTSL20 (1961), неопубликовано. Эта работа воспроизведена вместе другими статьями по SU(3) симметрии в сборнике: Gell-Mann, M. and Ne'eman, Y., The Eightfold Way (Benjamin, New York, 1964).

34.Ne'eman, Y., Nucl. Phys., 26, 222 (1961).

35.Gell-Mann, M., Oakes, R.J., and Renner, B., Phys. Rev., 175, 2195 (1968); Glashow, S. and Weinberg, S., Phys. Rev. Lett., 20, 224 (1968).

36.Dashen, R., Phys. Rev., 183, 1245 (1969). Поправки были рассмотрены в работе: Langacker, P. and Pagels, H., Phys. Rev.,

D8, 4620 (1973). Отсутствие электромагнитных поправок к массе π0 было доказано в модели работы [17] в статье: Guralnik,

G.S., Nuovo Cimento, 36, 1002 (1965).

37.Weinberg, S., contribution to a Festschrift for I.I. Rabi, Trans. N.Y. Acad. Sci., 38, 185 (1977).

38.Gell-Mann, M. [33]; Okubo, S., Progr. Theor. Phys., 27, 949 (1962).

38a. Leutwyler, H., Bern-CERN preprint CERN-TH/96-44, hep-ph/ 9602366, to be published (1996).

38b. Donoghue, J.F., Golowich, E., and Holstein, B.R., [28].

39.Gasser, J. and Leutwyler, H., Nucl. Phys., B250, 465 (1985); см. также: Gasser, J. and Leutwyler, H., Ann. Phys., 158, 142 (1984).

40.Обзоры см.: Leutwyler, H., in Proc. XXVI Int. Conf. on High Energy Nuclear Physics, Dallas, 1992, ed. J. Sanford (American Inst. of Physics, New York, 1993), p. 185; Meissner, U.G., Rep. Progr. Phys., 56, 903 (1993); Pich, A., Valencia preprint FTUV/ 95-4, February 1995; Bijnens, J., Ecker, G., and Gasser, J., in The Daphne Physics Handbook, Vol. 1, eds. L. maiani, G. Pancheri, and N. Paver (INFN, Frascati, 1995), ch. 3 and 3.1; Ecker, G., preprint hep-ph/9501357, to be published in Progress in Particle and Nuclear Physics, Vol. 35 (Pergamon Press, Oxford).

41.Coleman, S. and Glashow, S., Phys. Rev. Lett., 6, 423 (1961); Okubo, S., Phys. Lett., 4, 14 (1963).

42.Wess, J. and Zumino, B., Phys. Lett, 37B, 95 (1971).

43.Witten, E., Nucl. Phys., B223, 422 (1983).

44.Bott, R. and Seely, R., Comm. Math. Phys., 62, 235 (1978).

45.D'Hoker, E. and Weinberg, S., Phys. Rev., D50, R6050 (1994).

46.Encyclopedic Dictionary of Mathematics, eds. S. Iyanaga and Y. Kawada (MIT Press, Cambridge, 1980); Greub, W., Halperin, S., and Vanstone, R., Connections, Curvature and Cohomology, Vol. III (Academic Press, New York, 1976); Borel, A., Ann. Math.

338Глава 19. Спонтанно нарушенные глобальные симметрии

(2)57, 115 (1953); Borel, A., Collected Papers, Vol. I (Springer Verlag, Berlin, 1983).

47.Weingarten, D., Phys. Rev. Lett., 51, 1830 (1983).

48.Preskill, J. and Weinberg, S., Phys. Rev., D24, 1059 (1981). В этой работе была предложена модифицированная версия более ранних рассуждений 'т Хофта, который рассматривал предел больших масс кварков; см.: 't Hooft, G., in Recent Developments in Gauge Theories, eds. G. 't Hooft et al. (Plenum, New York, 1980); reprinted in Dynamical Gauge Symmetry Breaking, eds. E. Farhi and R. Jackiw (World Scientific, Singapore, 1982), and in G. 't Hooft, Under the Spell of the Gauge Principle (World Scientific, Singapore, 1994). См. также раздел 22.5.

49.Vafa, C. and Witten, E., Nucl. Phys., B234, 173 (1984); Commun. Math. Phys., 95, 257 (1984).

50.Vafa, C. and Witten, E., Phys. Rev. Lett., 53, 535 (1984).

51.Glashow, S.L., in Hadrons and Their Interactions, ed. A. Zichichi (Academic Press, New York, 1968); Glashow, S.L., Jackiw, R., and Shei, S.-S., Phys. Rev., 187, 1916 (1969); Gell-Mann, M., in

Proc. Third Topical Conf. on Part. Phys., eds. W.A. Simonds and S.F. Tuan (Western periodicals, Los Angeles, 1970); in Elementary Particle Physics (Springer-Verlag, Bonn, 1972); Acta Phys. Austriaca Suppl., IX, 1972 (1972); Fritzsch, H. and Gell-Mann, M., in Proc. XVI Int. Conf. on High Energy Physics, eds. J.D. Jackson and A. Roberts (Fermi Nat. Acc. Laboratory, Batavia, IL, 1972); Phys. Lett., 47B, 365 (1973).

52.Weinberg, S., Phys. Rev., D11, 3583 (1975).

20

Операторные разложения

Часто нам необходимо знать, как ведет себя амплитуда, если 4-импульс, вносимый одним оператором и уносимый другим, стремится к бесконечности, а 4-импульсы всех остальных внешних линий фиксированы. Например, в разделе 20.6 мы увидим, что полное сечение рассеяния электрона на начальном адроне Н с образованием произвольных адронов в конечном состоянии определяется в силу соотношения унитарности линейной комбинацией (с известными коэффициентами) компонент амплитуды

z d4xe-ik×x áH| Jm (x)Jn(0)| Hñ

где k — 4-импульс, передаваемый от электрона к адронам, а Jμ(x) — электромагнитный ток. В случае глубоконеупругого рассе-

яния электронов не запрещено стремление к бесконечности импульса k, вносимого одним оператором тока и уносимого другим. Аналогично, в разделе 20.5 при изучении предела больших импульсов для различных пропагаторов и выводе соответствующих правил сумм для спектральных функций мы столкнемся с вычислением предела при больших импульсах для похожих фурье-об- разов, с той разницей, что одно из адронных состояний |Hñ çàìå-

нится на вакуум.

Если бы произведение операторов типа Jμ(x)Jν(0) было аналитичным по xμ, то его фурье-образ падал бы экспоненциально при

стремлении фурье-переменной k к бесконечности. Ведущие слагаемые в предельном выражении фурье-образа при больших импульсах возникают от сингулярностей произведения операторов при стремлении пространственно-временных аргументов друг к другу.

ãäå FABC(x - y) — сингулярные с-числовые функции. Из размерного анализа следует, что FABC(x - y) ведет себя при x ® y как степень dC - dA - dB разности x - y, ãäå dO — размерность оператора О в

степенях массы или импульса. Поскольку dO растет при добавлении полей или производных к оператору О, степень сингулярности FABC(x - y) для операторов С растущей сложности уменьшается.

Примечательно то, что разложение операторного произведения яв-

ляется операторным соотношением; иначе говоря, применяя его к любому матричному элементу áb|A(x)B(x)|añ, мы получаем те же са-

мые функции FABC(x - y) для всех состояний |añ è |bñ.

Именно ослабление сингулярности в (20.1.1) для операторов C(y) растущей сложности делает разложение полезным для заклю- чений о поведении произведения A(x)B(y) при x ® y. Приведенные

выше простые аргументы, основанные на подсчете степеней, модифицируются эффектами перенормировки: разложение (20.1.1) должно быть сформулировано с помощью операторов, перенормированных на некотором масштабе m, после чего m войдет наряду с x - y в коэффициентную функцию FABC(x - y). В разделе 20.3 мы увидим, что в асимптотически свободных теориях FABC(x - y) на самом деле

ведет себя так, как предсказывает размерный анализ, т. е. как степень dC - dA - dB разности x - y, только с точностью до степени логарифма ln(x - y)2. Похоже, что даже в более общих теориях син-

гулярности, связанные с различными операторами C(y), будут ослабляться с ростом сложности операторов.

В импульсном пространстве соответствующее утверждение означает, что при k ® ¥

ãäå VABC(k) è UABC(k) — функции kμ, все быстрее падающие при

больших k для все более и более сложных членов ряда.

Мы собираемся вывести обобщенную версию вильсоновского разложения, в которой одновременно устремляются к бесконечнос-