ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.06.2024
Просмотров: 5151
Скачиваний: 6
342 |
Глава 20. Операторные разложения |
ти импульсы, проносимые любым числом операторов. Для этого рассмотрим функции Грина локальных операторов A1(x1), A2(x2), и т. д., аргументы которых стремятся к точке x, а также других локальных операторов B1(y1), B2(y2), и т. д. с фиксированными аргументами:
áT{A1(x1), A2 (x2 ), . . . , B1(y1), B2 (y2 ). . . }ñ0
X L |
O |
(y ). . . exp(iI[ϕ]) , (20.1.4) |
|||||||||
Y |
M∏ dϕ |
(z)P a |
(x |
)a |
2 |
(x |
2 |
). . . b |
(y )b |
||
Y |
l |
QP |
1 |
1 |
1 |
1 2 |
1 |
||||
Z NM l,z |
|||||||||||
где строчные буквы a и b указывают на замену полевых операторов в А и В на с-числовые поля ϕ. Окружим теперь точку x шаром B(R)
радиусом R, который много больше, чем расстояния между точками x1, x2 и т. д., но много меньше, чем расстояние между x, y1, y2 и т. д. Поскольку действие локально, его можно записать в виде
I = z |
d4zL(z) + z |
d4zL(z). |
(20.1.5) |
z B(R) |
z / B(R) |
После этого выражение (20.1.4) можно привести к виду
áT{A1(x1), A2 |
(x2 ), . . . , B1(y1), B2 (y2 ). . . }ñ0 |
||||
X L |
O |
||||
= |
M |
∏ dϕl (z)Pb1(y1)b2 (y2 ). . . expei |
/ |
d4zL(z)j |
|
Z N |
Q |
zz B(R) |
|||
Y Mz / B(R),l |
P |
||||
X L |
O |
(20.1.6) |
|||
× |
M |
∏ dϕl (z)Pa1(x1)a2 (x2 ). . . expei |
d4zL(z)j , |
||
Z N |
Q |
zz B(R) |
|||
Y Mz B(R),l |
P |
||||
где функциональный интеграл по полям внутри шара связан граничным условием, что поля на поверхности шара гладко сшиваются с полями снаружи. Помимо этого граничного условия функциональный интеграл по полям внутри шара совершенно не зависит от поведения поля вне шара, так что интеграл по полям внутри шара можно выразить через значения полей и их производных на его поверхности, что, в свою очередь, можно записать через поля и их производные, экстраполированные снаружи шара во внутреннюю точку x. Если выразить этот интеграл в виде ряда по произведени-
20.2. Поток импульса |
343 |
ям * o(x) с-числовых полей и их производных, экстраполированных в точку x, то коэффициенты могут быть только функциями UOA1,A2 ,... (x1 - x, x2 - x, . . . ) разностей координат. так как все точки y1, y2 и т. д. находятся далеко от шара B(R), исключение этого шара из действия для полей вне шара не оказывает никакого влияния в пределе R ® 0, так что в этом пределе выражение(20.1.6) принимает
ïðè x1, x2, и т. д., стремящимся к x, вид:
T{A1(x1), A2 (x2 ), . . . , B1(y1), B2 (y2 ). . . }ñ0 |
|||
X L |
O |
z |
L(z)i |
® Y MÕ djl (z)Pb1(y1)b2 (y2 ). . . expdi |
|||
Y M l,z |
P |
||
Z N |
Q |
||
´ å UOA1,A2 ,... (x1 - x, x2 |
- x, . . . )o(x) |
(20.1.7) |
O |
||
= å UOA1,A2 ,... (x1 - x, x2 |
- x, . . . )áT{O(x), B1(y1), B2 (y2 ). . . }ñ0 |
|
O |
где O(x) — квантово-механический оператор в гейзенберговоском представлении, соответствующий o(x). В частности, совершая фу- рье-преобразование по переменным y и умножая на соответствующие коэффициентные функции, получаем для произвольных состояний |añ è áb|:
áb| T{A1(x1), A2 (x2 ), . . . }| añ ® å UOA1,A2 ,... (x1 - x, x2 - x, . . . )áb| O(x)| añ
O
(20.1.8)
Поскольку это верно для произвольных состояний, получаем обобщенную версию операторного разложения:
T{A1(x1), A2 (x2 ), . . . } ® å UOA1,A2 ,... (x1 - x, x2 - x, . . . )O(x). (20.1.9)
O
* Для того, чтобы коэффициенты такого ряда были конечны, эти произведения должны быть перенормированы умножением на подходящие бесконечные множители. Это станет яснее при выводе, представленном в следующем разделе.
344 |
Глава 20. Операторные разложения |
20.2. Поток импульса *
Рассмотрим теперь простейший пример операторного разложения: асимптотическое поведение (n+2)-точечной фейнмановской амплитуды в теории единственного действительного скалярного поля ϕ(x) массой m и плотностью лагранжиана взаимодействия −gϕ4/24, когда большой 4-импульс k втекает по одной линии и
вытекает по другой, а импульсы всех остальных внешних линий фиксированы. Мы получим в этом случае доказательство по теории возмущений вида главного члена операторного разложения, но истинной целью будет достижение более глубокого понимания того, каким образом потоки больших импульсов сквозь фейнмановские диаграммы приводят к такому разложению. В приложении к главе обсуждается расширение этих результатов на общий случай.
Определим величину Γ(k;p1,...,pn) как сумму всех связных ди-
аграмм n-частичной амплитуды рассеяния, внешние линии которых соответствуют входящим импульсам k, p−k, и исходящим импульсам p1,..., pn. (Удобно считать далее, что Γ(k;p1,...,pn) включает пропагаторы внешних линий с импульсами k и p − k, íî íå ñ èì-
пульсами p1,..., pn.) Мы хотим показать, что в любом конечном порядке теории возмущений при k → ∞
Γ(k; p . . . p |
n |
) → U |
ϕ2 |
(k)F |
(p . . . p |
n |
) + O(k−5 ) , |
(20.2.1) |
1 |
ϕ2 |
1 |
ãäå Uϕ2 (k) есть сумма слагаемых порядка** k−4, не зависящих от p1,..., pn, à Fϕ2 (p1. . . pn ) — амплитуда, отвечающая диаграмме с n ϕ-линиями и включающая единственную ϕ2 вершину, умноженная
на подходящую константу перенормировки, которая делает эту амплитуду конечной. Поскольку Fϕ2 (p1. . . pn ) — матричный элемент перенормированного оператора (ϕ2 )R ≡ Zϕ2 ϕ2 (0) , соотношение (20.2.1)
*Этот раздел лежит несколько в стороне от основной линии изложения
èможет быть опущен при первом чтении.
** Повсюду в этой главе, где утверждается, что амплитуда порядка kÀ, следует понимать, что при kr = knr, ãäå k → ∞ è nr — фиксированный 4-
вектор, амплитуда стремится к пределу kA, умноженному на сумму степеней ln k.