Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001).pdf

k è p - k связаны с двумя другими внешними линиями мостиком,

состоящим из двух внутренних линий *, что дает асимптотическое поведение порядка k−4. Ïðè n ³ 4 главный вклад возникает только

от поддиаграмм, в которых две внешние линии с импульсами k и p - k связаны с n > 2 другими внешними линиями мостиком, состо-

ящим из двух внутренних линий, и это опять приводит к асимптотическому поведению порядка k−4.

Анализ случаев n = 2 и n ³ 4 осложняется тем, что произволь-

ная диаграмма может содержать несколько двухчастичных мостиков. Рассмотрим сначала случай n = 2. Определим I(k,k¢,p) как сумму вкладов в G(k; p1,p2) всех диаграмм, которые двухчастично

неприводимы в том смысле, что две внешние линии с входящими импульсами k и p - k не могут быть отделены от двух внешних линий с импульсами k¢ è p - k¢ путем разрезания любой пары внутренних линий. Тогда выражение G(k; k¢, p - k¢) - I(k, k¢, p) включает

вклады диаграмм, которые могут быть разрезаны указанным образом, и поэтому может быть записано в виде (см. рис. 20.1)

Γ(k; k¢, p − k¢) − I(k, k¢, p) = z d4k¢¢ I(k, k¢¢, p)Γ(k¢¢; k¢, p − k¢) . (20.2.3)

Рис. 20.1. Диаграммное представление интегрального уравнения (20.2.3). Заштрихованные диски, помеченные буквой G, соответствуют сумме всех связных фейнмановских диаграмм с указанными внешними линиями, а заштрихованные диски с вертикальной чертой, помеченные буквой I, соответствуют сумме всех связных диаграмм, для которых линии слева не могут быть отделены от линий справа разрезанием любой пары внешних линий.

* Случай m = 1 исключается, так как симметрия данной теории относительно преобразования ϕ → –ϕ запрещает диаграммы или поддиаграммы с

нечетным числом внешних концов. Случай m = 0 исключен, поскольку, по определению, G возникает только из связных диаграмм.

дается единственной вершиной с двумя прикрепленными к ней голыми пропагаторами:

В этом случае легко проверить правильность асимптотического поведения вида (20.2.1). Поэтому предположим, что уравнение (20.2.1) при n = 2 выполняется вплоть до некоторого заданного порядка N по g, иными словами, вплоть до этого порядка асмптотическое поведение при k → µ имеет вид

и попробуем проверить, что такое же поведение имеет место в следующем порядке. Чтобы исключить вклад в интеграл в (20.2.3) от значений k′ порядка k, перепишем (20.2.3) в виде

Γ(k; k′, p − k′) = I(k, k′, p)

+z d4k′′ I(k, k′′, p) Γ(k′′; k′, p − k′) − Uϕ2 (k′′)Fϕ2 (k′, p − k′) (20.2.6)

+Fϕ2 (k′, p − k′)z d4k′′ I(k, k′′, p)Uϕ2 (k′′) .

Поскольку I(k,k′,p) по крайней мере первого порядка, можно в пра-

вой части (20.2.6) использовать формулу (20.2.5). Отсюда во втором слагаемом в правой части область интегрирования, в которой k′′ порядка k, дает вклад, обращающийся в нуль как k−4+4−5, и поэтому этой областью можно пренебречь по сравнению с той, где k′′

остается конечным, что приводит к сходящемуся интегралу

I∞ (k) = z d4k′′ Γ(k′′; k′, p − k′) − Uϕ2 (k′′)Fϕ2 (k′, p − k′) .

Далее, поскольку главный вклад в z d4k′′I(k, k′′, p)Uϕ2 (k′′) возникает

от области интегрирования, где каждая внутренняя линия диаграмм для I(k, k′′, p) несет импульс порядка k, то дифференцирова-

ние этого интеграла по р уменьшит вклад в асимптотическое поведение на множитель порядка k−1, так что асимптотически в этом интеграле можно заменить I(k, k′, p) íà I(k,k′) ≡ I(k, k′, 0). Таким образом, при k → ∞ уравнение (20.2.6) принимает вид

Γ(k; k′, p − k′) → Fϕ2 (k′, p − k′)z d4k′′ I(k, k′′)Uϕ2 (k′′)

+ I∞ (k){1 + z d4k′′ Γ(k′′; k′, p − k′) − Uϕ2 (k′′)Fϕ2 (k′, p − k′) }. (20.2.7)

Определим поэтому Uϕ2 (k) è Fϕ2 (k′, p − k′) в порядке N + 1 по g че-

рез эти функции в более низких порядках теории возмущений соотношениями

Fϕ2 (k′, p − k′)

= C−1{1 + z d4k′′ Γ(k′′; k′, p − k′) − Uϕ2 (k′′)Fϕ2 (k′, p − k′) }, (20.2.9)

где С — константа, которую можно выбрать произвольным образом. С учетом этих определений уравнение (20.2.5) следует из уравнения (20.2.7).

Удобно выбрать константу С так, чтобы Fϕ2 (k′, p − k′) прини-

мало бы значение, равное единице, в некоторой точке ренормировки k′ = k(μ) è p = p(μ), ãäå k(μ) è p(μ) — стандартные 4-импульсы порядка μ. Тогда

C = 1 + z d4k′′Γ(k′′; k(μ), p(μ) − k(μ)) − z d4k′′Uϕ2 (k′′) . (20.2.10)

Используя (20.2.5), видим, что расходимости в двух интегралах в (20.2.10) сокращаются.

Теперь можно записать уравнение (20.2.9) в виде

Можно рассматривать Zϕ2 как константу перенормировки составного оператора ϕ2, определенного так, что составной оператор Zϕ2 ϕ2 имеет конечный двухчастичный матричный элемент Fϕ2 (k, p − k) , принимающий значение, равное единице, при k = k(μ) è p = p(μ).