ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.06.2024
Просмотров: 5204
Скачиваний: 6
20.2. Поток импульса |
351 |
||||||||||
(k, p − k) = 1 − |
g |
X1 |
F m2 |
+ 4x(1 − x) μ2 3I |
+ L . (20.2.16) |
||||||
Fϕ2 |
Y |
dx lnG |
J |
||||||||
32π |
2 |
2 |
2 |
x(1 − x) |
|||||||
Z0 |
H |
m |
+ p |
K |
|||||||
Мы выбрали здесь такую связь точки перенормировки k(μ), p(μ) для оператора ϕ2 с соответствующей точкой перенормировки для константы связи g, что p(μ)2 =4μ2/3, òàê ÷òî Fϕ2 (k, p − k) = 1 ïðè p2 = 4μ2/3.
Рассмотрим теперь случай, когда число n внешних линий с фиксированными импульсами более двух. В согласии с предыдущими рассуждениями, в пределе k → µ ведущими диаграммами в Γ(k;p1,..., pn) будут те, в которых две внешние линии, несущие фиксированные импульсы k и p−k, могут быть отделены от n внеш-
них линий с фиксированными импульсами путем разрезания пары внутренних линий:
Γ(k; p1. . . pn ) → z d4k′ I(k, k′, p)Γ(k′; p1. . . pn ) . |
(20.2.17) |
Как и ранее, невозможно просто использовать асимптотический предел для ядра I(k,k′,p) в правой части при k → ∞, поскольку существенный вклад в этот интеграл вносят значения k′ порядка k.
Преодолеть это затруднение можно, переписав (20.2.17) в виде
Γ(k; p1 . . . pn ) → w d4k′I(k, k′, p) Γ(k′; p1. . . pn ) − Uϕ2 (k′)Fϕ2 (p1. . . pn )
+ Fϕ2 (p1. . . pn )u d4k′I(k′, k, p)Uϕ2 (k′),
(20.2.18) где, по индукции, предполагаем, что вплоть до некоторого заданного порядка N
Γ(k; p1. . . pn ) → Uϕ2 (k)Fϕ2 (p1. . . pn ), |
(20.2.19) |
с поправочными членами порядка 1/k5. Теперь с помощью предела (20.2.4) и уравнения (20.2.8) можно переписать (20.2.18) в виде
Γ(k; p1 . . . pn ) → I∞ (k)w d4k′ Γ(k′; p1. . . pn ) − Uϕ2 (k′)Fϕ2 (p1. . . pn )
+ Fϕ2 (p1. . . pn ) Uϕ2 (k) − CI∞ (k) .
352 |
Глава 20. Операторные разложения |
Это согласуется с (20.2.19) в порядке N + 1, если принять, что
CFϕ2 (p1 . . . pn ) = w d4k′ Γ(k′; p1 . . . pn ) − Uϕ2 (k′)Fϕ2 (p1 . . . pn )
или, используя выражения (20.2.10) и (20.2.12),
Fϕ2 (p1 . . . pn ) = Zϕ2 z d4k′ Γ(k′; p1 . . . pn ) . |
(20.2.20) |
Полученное выражение просто утверждает, что Fϕ2 (p1. . . pn ) есть матричный элемент перенормированного оператора Zϕ2 ϕ2 , òàê
что соотношение (20.2.1) соответствует формуле (20.2.2) для операторного произведения. В частности, как было показано, — одна и та же коэффициентная функция независимо от того, какие значения принимают n или импульсы р1,..., ðn.
Строго говоря, оператор (ϕ2)R не является ведущим слагаемым в операторном разложении произведения двух ϕ. Существует
еще операторная единица, имеющая меньшую размерность, чем (ϕ2)R, но она была исключена из уравнения (20.2.2), поскольку (как
и указыает индекс С) мы отбросили несвязные диаграммы. Как отмечено выше, при k → ∞ диаграммы для Γ(k) ïðè n = 0 (è pμ = 0)
доминируют в области интегрирования, где все внутренние линиии несут импульсы порядка k, и U1(k) − вклад от этой области.
Операторы более высокой размерности и более общие теории будут рассмотрены в приложении к этой главе.
20.3. Ренормгрупповые уравнения для коэффициентных функций
Как отмечалось ранее, одно из свойств операторного разложения, делающее его столь полезным, заключается в том, что зависимость коэффициентных функций от импульсов определяется уравнениями ренормгруппы. Это есть следствие того, что коэффициентные функции возникают из предельных значений сумм фейнмановских диаграмм (типа I∞(k) в разделе 20.2), в которых все су-
щественные импульсы одновременно устремляются к бесконечности, так что можно, не сталкиваясь с сингулярностями, положить массы равными нулю. Тем не менее, из-за эффектов перенормировки коэффициентные функции в операторном разложении не подчиняются простым законам масштабных преобразований: эти функции
