Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 5171

Скачиваний: 6

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

20.4. Свойства симметрии коэффициентных функций

355

Кроме того, если записать уравнение ренормгруппы для константы связи в виде

m

d

= -

g

gμ2

gμ4 ,

(20.3.8)

dm

8

2

p

тогда

ó κ

d

2

8p2

2

õô

gμ ® -

ln gκ + const.

dm

b

Подстановка этого выражения в (20.3.5) приводит к асимптотическому поведению

UOl

(kn) ® k4

−

+

+

O

) å

é

−8π2c b ù

′ é

8π2c b ù

4n(l)

N(l)

N(

ê(g2κ )

ú

COl′ ê(g2κ )

ú

,

(20.3.9)

′

′

ë

ûll′

ë

ûO ′,O

l

,O

ãäå COl′′

— постоянная матрица, равная матрице UOl′′ (0, n) , умножен-

ной на постоянные множители. не вычисляемые в рамках теории возмущений, поскольку они возникают от тех частей интегралов в (20.3.5), где gμ íå ìàëà. Ïðè k ® ¥ константа связи ведет себя как g2κ ® 8p2 / b ln k , так что формулу (20.3.9) можно также записать в

âèäå

UOl (kn) ® k4

−4n(l)+N(l)+N(O ) å é(ln k)−8π2c b ù

BOl′′

é(ln k)8π2c b ù

, (20.3.10)

ê

ú

ê

ú

l′,O′ ë

ûll′

ë

ûO′,O

ãäå BOl′′ — другая постоянная матрица. Условие справедливости выражений (20.3.9) и (20.3.10) заключается в том, чтобы g2κ 8p2 = 1 , но ln k не должен быть настолько велик, чтобы в асимптотическое поведение давал вклад только один собственный вектор с-матрицы. Мы используем выражение (20.3.10) при изучении в разделе 20.6 глубоконеупругого рассеяния.

20.4. Свойства симметрии коэффициентных функций

Полезность операторного разложения в значительной степени усиливается тем фактом, что коэффициентные функции отражают

356

Глава 20. Операторные разложения

всю симметрию лежащей в основе теории, даже если эта симметрия частично или полностью спонтанно нарушена4. Для доказательства рассмотрим операторное разложение произведения перенормированных операторов Oi(x), линейно преобразующихся под действием преобразований некоторой симметрии с сохраняющимся током Jμ(x), в том смысле, что

[J0 (x, t), O (y, t)] = -d3 (x - y)å tijOj (y, t),

(20.4.1)

j

ãäå tij — постоянная матрица. Можно записать операторное разложение как утверждение, что когда x1,..., xn совместно стремятся к x (а все отношения разностей x1 - x,..., xn - x фиксированы), то

áb| ToOi1 (x1). . . Oin (xn )t| añ ® å Uii1 ... in (x1 - x, . . . , xn - x)áb| Oi (x)| añ .

i

(20.4.2)

Предположим далее, что симметрия с током Jμ спонтанно на-

рушена, причем соответствующий голдстоуновский бозон p удовлетворяет соотношению

áVAC| J

μ

(0)| pñ =

Fpπμ

.

(20.4.3)

(2p)3 2

2p0π

Тогда, как мы видели в разделе 19.2, матричный элемент операторного произведения между состояниями с дополнительным голдстоуновским бозоном малой энергии равен

áb| ToOi1 (x1). . . Oin

(xn )t| pañ =

1

(2p)3 2

2p0π F

X

4

μ

(20.4.4)

´ Y d

x

áb| ToOi1 (x1). . . Oin (xn )J

(x)t| añ,

¶x

μ

Z

поскольку в интеграле в правой части выражения (20.4.4) выживает только вклад голдстоуновского полюсного члена. Используя выражение (20.4.1) и сохранение тока, можно записать выражение (20.4.4) в виде

20.4. Свойства симметрии коэффициентных функций

357

áb| ToOi1 (x1). . . Oin

(xn )t| pañ = -

1

(2p)3 2 2p0π F

(20.4.5)

n

´ å å tir jr

áb| ToOi1 (x1). . . Ojr (xr ). . . Oin (xn )t| añ.

r =1 jr

Применим теперь операторное формулы. В пределе, когда все находим:

разложение к обеим частям этой x1,..., xn совместно стремятся к x,

å Uii1 ...in (x1 - x, . . . , xn

- x)áb| Oi

(x)| añ = -

1

(2p)3 2 2p0π F

i

n i1 ...j ...i ( - , . . . , - )áb| ( )| añ. (20.4.6)

å å å tir jr Ui r n x1 x xn x Oi x

r =1 jr i

Как частный случай формулы (20.4.5) имеем

áb| Oi (x)| pañ = -

1

å tij

áb| Oj (x)| añ.

(20.4.7)

(2p)

3 2

0

2pπ F j

Поскольку все это верно для произвольных состояний áb| è |añ, коэффициенты при áb| Oj |añ с обеих сторон равенства (20.4.6) должны

быть равны, так что

n

0 = -å tijUii1 ... in (x1 - x, . . . , xn

- x) + å å tir jr Uji1 ... jr ... in (x1

- x, . . . , xn

- x).

i

r =1 jr

(20.4.8)

Это можно переформулировать как условие, что функция Uii1 ... in (x1 - x, . . . , xn - x) инвариантна относительно преобразований

симметрии, порождаемой генератором t, причем действие этой симметрии на нижний индекс контраградиентно действию на верхние интексы в том смысле, что матрица t заменяется на -tT. Это такое

же соотношение, какое можно было ожидать, если бы порожденная током Jμ симметрия не была спонтанно нарушена.

358

Глава 20. Операторные разложения

20.5. Правила сумм для спектральных функций

Правила сумм для спектральных функций — это ограничения на спектральные функции различных токов 5. Рассмотрим сначала множество токов Jaμ, которые совершенно произвольны, не считая

того, что они являются лоренцовскими 4-векторами, а затем рассмотрим более частные случаи. Для определения спектральных функций токов используем лоренц-инвариантность и записываем

å d4 (p - pN )áVAC| Jaμ (0)| NñáVAC| Jbν (0)| Nñ* =

N

, (20.5.1)

(2p)-3 q(p0)

d

hmn - pmpn

p2 r(1)

(-p2 ) + pmpnr(0)

(-p2)

i ab

ab

по аналогии с формулами (19.2.19)-(19.2.10) или (10.7.4). Совершая фурье-преобразование и используя полноту состояний |Nñ, можно

записать это выражение в виде

áJaμ (x)Jbν (0)ñVAC =

w dm2 hmnr(ab1) (m2 ) - er(ab0) (m2 ) + r(ab1) (m2 )m2 j¶m¶n D+ (x; m2 ), (20.5.2)

ãäå D+(x; m2) — функция, определенная выражением (5.2.7):

D+ (x; m2 ) =

1

z

d4pq(p0 )d(p2

+ m2 )eip×x .

(20.5.3)

(2p)3

Предполагая, что операторы токов выбраны эрмитовыми, на основании (20.5.1) немедленно приходим к выводу, что ρ(ab1) (μ2 ) è ρ(ab0) (μ2 )

являются положительными эрмитовыми матрицами. Кроме того, выбирая пространственноподобные xμ (для которых функция D+(x)

четна) и используя в (20.5.2) трансляционную инвариантность и при- чинность, находим, что матрицы ρ(ab1) (μ2 ) è ρ(ab0) (μ2 ) симметричны.

Далее, при x ® 0 è x2 > 0 функция D+(x; m2) ведет себя как

m2

L

F gm

I

1O

1

x2

D+ (x; m2 ) ®

+

MlnG

J

-

P

+ O(x2 ),

(20.5.4)

4p2x2

8p2

M

H

2 K

2 P

N

Q

20.5. Правила сумм для спектральных функций

359

ãäå g — постоянная Эйлера. Поэтому первые несколько слагаемых в среднем по вакууму разложения Jαμ (x)Jβν (0) имеют вид

1

L

ημν

4xμxν O

áJαμ (x)Jβν

(0)ñVAC ® -

NM

-

QP v dm2 er(0)αβ (m2)

+ r(1)αβ (m2)

m2 j

2p2

(x2)2

(x2)3

-

hμν

x dm2r(0)αβ (m2) m2 +

xμxν

v dm2 er(0)αβ (m2) m2 + r(1)αβ (m2)j

4p2x2

2p2 (x2)2

+

O x2

) .

(20.5.5)

(ln

Отсюда, если некоторая линейная комбинация åαβ cαβ áJαμ (x)Jβν (0)ñVAC двухточечных функций имеет при x ® 0 сингулярность, про кото-

рую можно показать, что она слабее чем порядка 1/x4, òî

å cαβ v dm2 er(0)αβ (m2 ) + r(1)αβ (m2 ) m2 j = 0,

(20.5.6)

αβ

Если же, кроме того, сингулярность слабее, чем 1/x2, òî

å cαβ x dm2r(1)αβ (m2 ) = 0

(20.5.7)

αβ

è

å cαβ x dm2r(0)αβ (m2 ) m2 = 0.

(20.5.8)

αβ

Выражения (20.5.6), (20.5.7) и (20.5.8) известны, соответственно, как первое, второе и третье правило сумм для спектральных функций.

Посмотрим, как все это осуществляется в наиболее интересном случае, когда Jαμ (x) - сохраняющиеся токи в теории типа кван-

товой хромодинамики. Из сохранения токов следует, что свертка выражения (20.5.1) с pμ обращается в нуль, поэтому ρ(0)αβ (−p2 ) должна быть пропорциональна d(-p2) и поэтому автоматически удовлет-

воряет третьему правилу сумм для спектральных функций (20.5.8) при любых cαβ. Åñëè ρ(αβ0) (−p2 ) δ(−p2 ) , вклады в выражение (20.5.1) могут возникать только от слагаемых |Bañ в сумме по состояниям,

отвечающих единственной безмассовой частице Ba нулевого спина, на практике являющейся голдстоуновским бозоном. Для таких одночастичных состояний из лоренц-инвариантности следует, что

Смотрите также файлы