Файл: OTIP.pdf

то можно уменьшить динамические погрешности прибора. Очевидно, число уравнений (7.12) не может превышать числа независимых параметров, входящих в передаточную функцию W ( p) .

Пример 7.1. Дана передаточная функция прибора

Перейдем к новой переменной q = pωo и приведем выражение (7.13) к виду

В этом выражении только один независимый параметр d, поэтому из системы (7.12) можно взять только одно уравнение.

Определим такое значение параметра d, при котором погрешности прибора минимальны. Для этого найдем производные функции (7.14) и поочередно будем

приравнивать их нулю. Заметим, что уравнение W I (0) = 0 дает физически нереализуемую систему. Если W II (0) = 0 , то d = 0,5. Аналогично из W III (0) = 0

Оптимальные значения коэффициента относительного затухания с точки зрения минимума операционных погрешностей являются d = 0,7–0,8. По критерию минимума yдин(t) получаются несколько меньшие значения d.

Динамические погрешности приборов можно рассматривать в частотной области. Для этой цели от комплексной частотной погрешности H(ω) переходят к амплитудно- и фазочастотной погрешностям

где A(ω) = H (ω)2 = H 2 (ω).

Разлагая A(ω) в ряд по ω и подставляя в первое уравнение (7.15), получим

86

7.3. Расчет динамической погрешности, вызванной несоответствием параметров номинальным значениям

Несоответствие параметров номинальным значениям, возникающее при изготовлении или эксплуатации измерительного прибора, приводит к появлению не только статической, но и динамической погрешности. Расчет этой погрешности осуществляют методами теории чувствительности.

Пусть при номинальных значениях параметров, сигнал на выходе системы равен yo (t) . Предположим, что значение одного из параметров отклоняется от

номинального значения на величину α, при этом выходной сигнал будет функцией как времени, так и α

а динамическая погрешность, обусловленная отклонением параметра, определится из выражения

Тогда динамическую погрешность (7.17) с учетом (7.18) и (7.19) можно записать в виде

Если α мало, то для практических целей можно ограничиться первым слагаемым функции (7.20):

Из выражений (7.20), (7.21) следует, что функции чувствительности характеризуют влияние отклонения параметра α на изменение выходного сигнала.

Заметим, что аналогом zI (t, 0) при переходе к статическому режиму работы прибора является коэффициент влияния (∂ f ∂qs )qS O в формуле (5.13).

Таким образом, зная выражение для выходного сигнала y(t, α) , можно путем

его дифференцирования и приравнивания α к нулю непосредственно определить функции чувствительности по выражениям (7.19).

Можно функции чувствительности определить и через передаточную функцию прибора.

87

Пусть измерительная цепь описывается передаточной функцией W ( p) , тогда с учетом α передаточная функция примет вид W ( p, α) . Согласно преобразованию Лапласа

y( p, α) =W ( p, α) x( p) .

В этом случае оригинал выходного сигнала можно определить с использованием обратного преобразования Лапласа

y(t, α) = L−1[W ( p, α) x( p)].

Дифференцируя последнее равенство по α и приравнивая α к нулю, определим значения функций чувствительности:

Пример 7.2. Апериодическое звено.

Определим динамическую погрешность апериодического звена, вызванную отклонением постоянной времени от номинального значения, при входном сигнале в виде единичного скачка.

Передаточная функция апериодического звена имеет вид

W ( p) = Tp1+1,

где T – постоянная времени рассматриваемого звена. Изображение входного сигнала в виде скачка имеет вид

x( p) =1 p .

Тогда изображение выходного сигнала можно определить из выражения

Пусть постоянная времени T увеличилась на величину α: Tα = T + α.

Определим динамическую погрешность, возникающую в результате этого изменения. Измененная передаточная функция имеет вид

Найдем функцию чувствительности в соответствии с выражением (7.22):

88

Тогда искомая функция динамической погрешности определяется согласно выражению (7.21):

yдин = − αTt e−tT .

Методы теории чувствительности могут быть применены также и для случайных отклонений параметров от номинальных значений. Пусть α есть случайная величина с математическим ожиданием M[α] и среднеквадратическим отклонением σα . Применим операцию математического ожидания к выражению

(7.21) и получим

M [ yдин]= z I (t, 0) M[α].

Найдем дисперсию выражения (7.21)

D[ yдин]= (z I (t, 0))2 σ2α ,

следовательно, среднеквадратическое отклонение динамической погрешности σ yдин равно

σ yдин = D[ yдин]= z I (t, 0) σα .

Заметим, что теория чувствительности позволяет получить приближенное решение, когда изменения параметра сравнительно малы. Однако для практических инженерных расчетов такая точность, как правило, является достаточной.

7.4. Расчет динамической погрешности при возмущающих воздействиях, ограниченных по модулю

Оценим влияние возмущающих факторов на измерительный прибор, работающий в динамическом режиме. На практике часто о возмущениях, действующих на объект, имеется очень мало априорной информации. В этом случае основываются на предположении о максимально возможном значении воздействий, то есть ограничивают воздействие по модулю.

При такой постановке задачи расчета точности ее решение выполняют в два этапа:

–определение наиболее неблагоприятного из возможных видов воздействия, вызывающего наибольшее отклонение сигнала на выходе прибора;

–определение динамической погрешности прибора при найденном наиболее неблагоприятном виде воздействия.

Пусть возмущающее воздействие η(t) ограничено по модулю некоторым

значением L:

89

Требуется из множества возможных функций η(t) , удовлетворяющих условию

(7.24), найти наименее благоприятный вариант функции, приводящий к максимально возможной динамической погрешности, и вычислить это максимальное значение погрешности.

При неизменном входном сигнале x(t) = const искомое значение вынужденной динамической погрешности будет определяться величиной выходного сигнала, вызванного возмущающим воздействием η(t) . Выходной сигнал можно определить с помощью интеграла свертки

Согласно данной формуле определяется максимальное отклонение, накопленное за интервал времени от 0 до t. Преобразуем (7.25) с учетом (7.24):

t t

y(t) ≤ ∫ η(t − τ) h(τ) dτ ≤ L ∫ h(τ)dτ.

0 0

Следовательно, искомое максимально возможное отклонение будет достигаться при таком входном сигнале h(t), при котором η(t − τ) = L , если h(τ) > 0 и η(t − τ) = −L если h(τ) < 0 .

Таким образом,

t

ymax (t) = L∫ h(τ)dτ.

0

Если взять верхний предел интегрирования равным бесконечности, то можно найти предел максимально возможного значения выходного сигнала (динамической погрешности)

График функции (7.26) называется кривой накопления Булгакова. Ее можно построить, если известна переходная характеристика u(t).

h(t) = dud(ττ) .

На рис. 7.1 показан пример построения кривой накопления Булгакова. На участке от 0 до τ1 выполняется неравенство dudτ > 0 , поэтому кривая накопления

совпадает с переходной характеристикой. На интервале от τ1 до τ2 наблюдается dudτ < 0 , поэтому участок BC* получается зеркальным отображением участка

BC. На интервале от τ2 до τ3 имеет место dudτ > 0 , поэтому участок C*D*

получился путем параллельного переноса участка CD переходной характеристики. Дальнейшее построение осуществляется аналогично.

90