Файл: OTIP.pdf

7.5. Расчет вынужденной динамической погрешности при случайных возмущающих воздействиях

В ряде случаев поступающие на входы измерительной системы сигналы представляют собой реализацию случайных процессов, для которых известны математические ожидания и корреляционные функции. Очевидно, на выходе прибора тоже можно получить математические ожидания и корреляционные функции.

Пусть оператор преобразования в расчетной характеристике yр прибора

является интегро-дифференциальным оператором; входной сигнал X (t) является стационарной случайной функцией с математическим ожиданием mx и корреляционной функцией Rx (τ) . Тогда математическое ожидание и корреляционная функция выходного сигнала будут определяться по формулам:

где h(ξ) – импульсная переходная функция прибора.

Если входной сигнал задан в виде спектральной плотности Sx (ω) , то спектральная плотность выходного сигнала будет

характеристика).

Дисперсия на выходе прибора как суммарная характеристика погрешности будет равна

91

Таким образом, по известным характеристикам входного сигнала mx , Rx (τ) или Sx (ω) можно найти реакцию прибора в виде my , Ry (τ) , Dy , S y (ω) .

Пример 7.3. Для прибора с передаточной функцией

W ( p) = b0 + b1 p a0 + a1 p

найти математическое ожидание my и дисперсию Dy , если на вход прибора

подается сигнал с mx и корреляционной функцией Rx (τ) = Dxe−α τ . Математическое ожидание на выходе согласно (7.27)

получена с помощью преобразования Фурье корреляционной функции на входе. Квадрат модуля передаточной функции

8. СУММИРОВАНИЕ СОСТАВЛЯЮЩИХ РЕЗУЛЬТИРУЮЩЕЙ ПОГРЕШНОСТИ

8.1. Основы теории расчетного суммирования погрешностей

92

Задача определения расчетным путем оценки результирующей погрешности по известным оценкам ее составляющих называется задачей суммирования погрешностей и возникает во многих случаях в практике измерений.

Для определения погрешности отдельного прибора или измерительного преобразователя необходимо суммировать все составляющие его погрешности (основной, от колебания температуры, от колебания напряжения и др.). При создании измерительных каналов встает задача суммирования погрешностей нескольких измерительных преобразователей, образующих данный измерительный канал. Таким образом, задача расчетного суммирования погрешностей – одна из основных задач как при создании средств измерений, так и при оценке погрешностей результатов самих измерений.

Трудность проведения такого суммирования заключается в том, что все составляющие погрешности должны рассматриваться как случайные величины, принимающие в каждой частной реализации самые разнообразные значения. С точки зрения теории вероятностей они могут быть наиболее полно описаны своими законами распределения, а их совместное действие – соответствующим многомерным законом распределения. Однако в такой постановке задача суммирования погрешностей практически неразрешима уже для 3–4 составляющих (не говоря уже о 30–40), так как операции с многомерными законами непреодолимо сложны. Поэтому практический путь решения задачи суммирования состоит в том, чтобы вместо определения многомерных законов распределения подобрать для характеристики составляющих такие числовые оценки (например, математическое ожидание, СКО, квантильный множитель, энтропийное значение погрешности, энтропийный коэффициент и др.), оперируя с которыми, можно было бы определить соответствующие числовые оценки результирующей погрешности без определения результирующих законов распределения рассматриваемых случайных величин.

При этом необходимо учитывать, что:

1)числовые характеристики законов распределения составляющих могут изменяться в диапазоне изменения измеряемой величины;

2)отдельные составляющие погрешности могут быть коррелированы между собой;

3)при суммировании случайных величин законы их распределения существенно деформируются, т. е. форма закона распределения суммы может резко отличаться от формы закона распределения составляющих.

Правила суммирования погрешностей основываются на предположении

(ограничении), что погрешность по абсолютному значению всегда много меньше самой измеряемой величины. Поэтому изменение погрешности в зависимости от изменения значений самой измеряемой величины может учитываться путем разделения всех суммируемых составляющих погрешности на аддитивные и мультипликативные. Далее предполагается, что сумма аддитивных составляющих дает значение аддитивной части результирующей погрешности, а сумма мультипликативных составляющих – мультипликативной.

93

Впределах диапазона изменения измеряемой величины не более десятикратного изменение результирующей погрешности может быть с достаточной точностью представлено прямой линией. Поэтому достаточно найти значение результирующей погрешности в начале и конце такого диапазона и описать результирующую погрешность линейной двучленной формулой.

При диапазоне изменения измеряемой величины более десятикратного он может быть разбит на участки и результирующая погрешность определена в начале и конце каждого участка.

Для устранения влияния деформации формы законов распределения при суммировании погрешностей все суммируемые составляющие представляются своими СКО σ и все операции расчетного суммирования производятся только над этими средними квадратическими значениями погрешностей.

Учет взаимных корреляционных связей между суммируемыми составляющими производится путем использования различных правил суммирования для жестко коррелированных и слабо коррелированных составляющих.

Врезультате суммирования СКО исходных составляющих получают СКО, соответственно, аддитивной и мультипликативной составляющих результирующей погрешности. Среднее квадратическое отклонение аддитивной составляющей характеризует результирующую погрешность в начале диапазона измерений (при x ≈ 0), а для определения СКО результирующей погрешности в конце диапазона измерений СКО аддитивной и мультипликативной составляющих должны быть просуммированы. Если диапазон измерений простирается на несколько порядков измеряемой величины, то такое суммирование производится

внескольких точках диапазона, а затем принимается решение о методе описания изменения результирующей погрешности во всем диапазоне.

Чаще всего результирующую погрешность желательно выразить не в виде СКО, а в виде энтропийного или доверительного интервала неопределенности.

Этот переход от СКО σ к энтропийному э или доверительному д значениям

погрешности является с теоретической точки зрения самой трудной операцией при суммировании погрешностей. Дело в том, что

формы закона распределения результирующей погрешности, а вся излагаемая методика нацелена на то, чтобы обойтись без точного определения результирующего закона распределения суммы всех составляющих.

Дисперсия суммы коррелированных и некоррелированных случайных величин. Из теории вероятностей известно, что дисперсия суммы двух случайных величин в общем случае

D(x1 + x2 ) = D(x1) + D(x2 ) + 2K x1x2 ,

94