Файл: Г.М. Гринфельд лекции по курсу дискретные системы автоматического управления.doc

Если на выходе квантователя установлен идеальный фильтр низких частот, обладающей частотной характеристикой:

(36)

Рис.28. Финитный спектр входного сигнала

Рис.29. Спектр выходного сигнала

Рис.30. Спектр выходного сигнала

то спектр его выходного сигнала во всем частотном диапазоне будет совпадать со спектром квантуемого сигнала, т.е. на выходе такого фильтра будет восстановлен сигнал .

Следовательно, если непрерывный сигнал обладает финитным спектром с частотой среза, то квантование по времени этого сигнала с частотойне приводит к его искажению (теорема Котельникова-Шеннона).

Необходимо отметить следующие ограничения, связанные с применением сформулированной теоремы: во-первых, частотная характеристика формирующего элемента, подключенного к выходу квантователя, существенно отличается от (36)) (в частности, для фиксатора в этом легко убедиться, сопоставив (8) и (36): во-вторых, не существует реальных сигналов с финитным спектром, хотя их высокочастотные составляющие могут быть сильно ослабленными.

4.2. Логарифмические частотные характеристики дискретных сау.

Логарифмические амплитудно- и фазо-частотные характеристики (ЛАХ и АФХ) широко используются при анализе и синтезе непрерывных САУ. Но для дискретных систем непосредственно использование обычных методов построения этих характеристик невозможно. Причина в том, что передаточные функции непрерывных САУ, по которым осуществляется построение характеристик, являются дробно-рациональными функциями комплексной переменной pи могут быть выражены в виде линейных или квадратичных множителей, а передаточные функции дискретных систем являются трансцендентными функциями оператораp.

Z-преобразование превращает трансцендентную передаточную функцию от pв рациональную отz. Но для построения ЛАХ и АФХ необходимо также, чтобы с изменением частотыкомплексная переменная, являющаяся аргументом передаточной функции, изменялась вдоль мнимой оси комплексной плоскости (например). Но поскольку зависимость между комплексными переменнымиzиpопределяются формулой (13), и, следовательно:

то при изменении частоты комплексная переменная zперемещается по единичной окружности вокруг начала координат комплексной плоскостиZ.

Поэтому необходимо введение такого преобразования, которое отражало бы единичную окружность на плоскости Zв мнимую ось другой комплексной плоскости. Такое отображение осуществляется с помощью билинейного преобразования (32), в соответствии с которым внутренняя часть единичного круга наz-плоскости отображается в левую полуплоскостьw, а внешняя часть этого круга – в правую полуплоскость.

Зависимость между w и:

Следовательно, при изменении частоты комплексная переменнаяwперемещается вдоль мнимой оси.

Введем в рассмотрение относительную псевдочастоту , равную:

На основании (37) и (38) может быть получена зависимость между и комплексной переменнойw:

которая аналогична зависимости . Разница лишь в том, что, в отличие от, является безразмерной величиной. Поэтому при построении ЛАХ и ФЧХ дискретных систем будем использовать абсолютную псевдочастоту, имеющую как и, размерность.

Зависимость между абсолютной псевдочастотой и переменной w:

Таким образом, построение ЛАХ дискретной САУ осуществляется в следующей последовательности: по передаточной функции системы на основании (32) вычисляется передаточная функция, по которой, используя (40), определяется частотная характеристика. Построение асимптотической ЛАХ по видупроизводится по тем же правилам, что и для непрерывных систем. При построении ФЧХ следует обращать внимание на наличие неминимально-фазового сомножителяв числителе функции. Определяемая им составляющая в ФЧХ равна:.

В диапазоне частот, где и, следовательно,, построение ЛАХ и АФХ дискретных систем можно производить непосредственно функции ПНЧ. Это значительно упрощает анализ точности дискретных САУ, осуществляемый по виду низкочастотного участка ЛАХ.

Пример 23. Необходимо построить ЛАХ и ФЧХ дискретной САУ, передаточная функция которой:

.

Преобразованная передаточная функция:

Частотная характеристика:

.

Рис.31. Графики ЛАХ и ФЧХ к примеру 23

Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика:

Фазо-частотная характеристика:

Графики ЛАХ и ФЧХ приведены на рис. 31.

5. Определение реакции дискретной сау

МЕЖДУ МОМЕНТАМИ КВАНТОВАНИЯ

Как уже отмечалось, Z-преобразование выходного сигнала дискретной системы определяет значение функции, только в моменты квантования. Следовательно, методZ-преобразования обладает достаточной точностью применительно к тем системам, в которых сигналы между двумя последовательными моментами квантования изменяются не существенно. Если же возникает необходимость в определении реакции системы между этими моментами, следует использовать специальные методы, например метод дробного квантования или метод модифицированногоZ-преобразования.

5.1. Метод дробного квантования.

Как и обычный метод Z-преобразования, рассматриваемый метод не позволяет найти непрерывный сигнал, а лишь определить соответствующую ему решетчатую функцию. Но дискреты этой функции разделены интервалами времени, равными(гдеN– целое число), т.е. расположены вNраз чаще по сравнению с дискретной функцией. Обозначим такую решетчатую функцию, а соответствующее ейZ-изображение -. Согласно методу дробного квантования указанноеZ-изображение равно

(41)

где может быть получена из обычной передаточной функции системызаменой в последнейzна, ина. ВеличинаNопределяется числом требуемых дополнительных значений. Если внутри интервала квантования требуетсяRдополнительных точек, то.