Файл: Тема 7.doc

Таким образом, анализируя формулы моментов распределения в табл. 7.14, можно сделать следующие выводы:

• начальный момент первого порядка представляет собой среднюю арифметическую и используется как показатель центра распределения ();

• начальные моменты 2-го, 3-го и 4-го порядков не имеют самостоятельного значения, а используются для упрощения вычислений центральных моментов. Например, используя начальные моменты 1-го и 2-го порядка, можно получить дисперсию по такой формуле:

(7.67)

• центральный момент 1-го порядка всегда равен нулю в соответствии с нулевым свойством средней арифметической ();

• центральный момент 2-го порядка представляет собой дисперсию и служит основной мерой колеблемости признака ();

• центральный момент 3-го порядка служит мерой асимметрии распределения, а если распределение симметрично, он равен нулю();

• центральный момент четвертого порядка применяется при вычислении показателя эксцесса;

• условные моменты 1-го, 2-го, 3-го и 4-го порядков не имеют самостоятельного значения, а используются для упрощения вычислений центральных моментов.

---

7.8 Изучение формы распределения

Для обобщающей характеристики особенностей формы распределения применяются кривые распределения. Кривая распределения выражает графически (полигон, гистограмма) закономерность распределения единиц совокупности по величине варьирующего признака. Различают эмпирические и теоретические кривые распределения.Эмпирическая кривая распределения - это фактическая кривая распределения, полученная по данным наблюдения, в которой отражаются как общие, так и случайные условия, определяющие распределение.Теоретическая кривая распределения - это кривая, выражающая функциональную связь между изменением варьирующего признака и изменением частот и характеризующая определенный тип распределения. При этом теоретическое распределение играет роль некоторой идеализированной модели эмпирического распределения, а сам анализ вариационного ряда сводится к сопоставлению эмпирического и теоретического распределений.

Кривые распределения бывают симметричными и асимметричными. В зависимости от того, какая ветвь кривой вытянута - правая или левая, различают правостороннюю или левостороннюю асимметрию. Кривые распределения могут быть одно-, двух- и многовершинными.

Для однородных совокупностей, как правило, характерны одновершинные распределения. Многовершинность свидетельствует о неоднородности изучаемой совокупности. Появление двух и более вершин делает необходимой перегруппировку данных с целью выделения более однородных групп. Для симметричных распределений частоты любых двух вариант, равноотстоящих в обе стороны от центра, равны между собой. Рассчитанные для таких рядов распределений характеристики равны: ,;. Если указанные соотношения нарушены, то это свидетельствует о наличии асимметрии распределения. Так, при разности междуиположительные и асимметрия правосторонняя, а при, наоборот, разностииотрицательные и асимметрия левосторонняя.

---

При сравнительном изучении асимметрии нескольких распределений с разными единицами измерения вычисляется относительный показатель асимметрии ():

,или

(7.68)

Его величина может быть положительной и отрицательной. В первом случае речь идет о правосторонней асимметрии, а во втором - о левосторонней (рис. 7.4).

В симметричном распределении центральный момент 3-го порядка , поэтому чем он больше, тем больше и асимметрия. Эта особенность и используется для характеристики асимметрии.Коэффициент асимметрии равен отношению центрального момента 3-го порядка к среднему квадратическому отклонению в кубе, т.е.

.

(7.69)

Если , то асимметрия правосторонняя, а если , то асимметрия левосторонняя. Чем числитель ближе к 0, тем асимметрия меньше. Этот показатель асимметрии более точен по сравнению с предыдущими и применяется более широко. Принято считать, что асимметрия выше 0,5 (независимо от знака) считается значительной; если она меньше 0,25, то незначительной.

Оценка существенности проводится на основе средней квадратической ошибки, коэффициента асимметрии, которая зависит от числа наблюдений () и рассчитывается по формуле:

.

(7.70)

В случае асимметрия существенна и распределение признака в генеральной совокупности несимметрично. В противном случае асимметрия несущественна и ее наличие может быть вызвано случайными обстоятельствами.

---

Для симметричных распределений может быть рассчитан показатель эксцесса (). Наиболее точно он определяется по формуле с использованием центрального момента 4-го порядка:

.

(7.71)

На рис. 7.5 и 7.6 представлены два распределения: островершинное (Ек положительный) и плосковершинное (отрицательный). В нормальном распределении.

Среднеквадратическая ошибка эксцесса () рассчитывается по формуле:

.

(7.72)

где - число наблюдений.

Для определения асимметрии и эксцесса можно пользоваться упрощенными формулами, предложенными Линдбергом:

(7.73)

где - удельный вес (%) количества тех вариант, которые превосходят среднюю арифметическую, в общем количестве вариант данного ряда;

50 - удельный вес (%) вариант, превосходящих среднюю арифметическую ряда нормального распределения.

,

(7.74)

где - доля (%) количества вариант, лежащих в интервале, равном половине среднего квадратического отклонения (в ту или другую сторону от величины средней в общем количестве вариант данного ряда);

---

38,29 - доля (%) количества вариант, лежащих в интервале, равном половине среднего квадратического отклонения (в ту или другую сторону от величины средней), в общем количестве вариант ряда нормального распределения.

Необходимо отметить, что хотя показатели асимметрии и эксцесса характеризуют непосредственно лишь форму распределения признака в пределах изучаемой совокупности, однако их определение имеет не только описательное значение. Часто асимметрия и эксцесс дают определенные указания для дальнейшего исследования социально-экономических явлений. Например, появление значительного отрицательного эксцесса может указывать на качественную неоднородность исследуемой совокупности. Кроме того, эти показатели позволяют сделать вывод о возможности отнесения данного эмпирического распределения к типу кривых нормального распределения.

---