Файл: Groda_Prikladnaya_mekhanika.pdf

ного момента времени, называемого начальным моментом. От этого момента будем отсчитывать время движения, считая, что в начальный момент t=0. Обычно за начальный принимают момент начала движения под действием заданных сил. Положение, которое точка занимает в начальный момент, называется начальным положением, а ее скорость в этот момент – начальной скоростью. Чтобы однозначно решить основную задачу динамики, надо кроме действующих сил знать еще начальные условия, т. е. положение и скорость точки в начальный момент времени.

В случае прямолинейного движения начальные условия задаются в

виде

при t = 0, x = x0, υ = υ0

По начальным условиям можно определить конкретные значения постоянных С1 и С2 и найти частное решение дифференциального уравнения, задающее закон движения точки, в виде

x = x(t, x0, υ0 ) .

Вцелом решение задач динамики точки путем интегрирования соответствующих дифференциальных уравнений движения, сводится к следующим операциям.

1.Составление дифференциального уравнения движения. Для его составления в случае прямолинейного движения надо:

а) выбрать начало отсчета (как правило, совмещая его с начальным положением точки) и провести координатную ось, направляя ее вдоль траектории и, как правило, в сторону движения; если под действием приложенных сил точка может находиться в каком–нибудь, положении в равновесии, то начало отсчета удобно помещать в положении статического равновесия;

б) изобразить движущуюся точку в произвольном положении (но так, чтобы было x>0 и υ>0; последнее существенно, когда среди сил есть силы, зависящие от скорости) и показать все действующие на точку силы;

в) подсчитать сумму проекций всех сил на координатную ось и подставить эту сумму в правую часть дифференциального уравнения движения; при этом надо обязательно все переменные силы выразить через те величины t, x или υ), от которых эти силы зависят.

2.Интегрирование дифференциального уравнения движения.

3.Определение постоянных интегрирования.

4.Нахождение искомых в задаче величин и исследование полученных результатов.

Вкачестве иллюстрации намеченной схемы решения задачи рассмотрим конкретные задачи, в которых сила F, действующая на материальную точку массы m

1.является постоянной (F0, начальные условия x0, υ0);

2.зависит от времени (F=F0exp(–t/τ), начальные условия x0, υ0);

3.зависит от скорости (F=-μυ2, начальные условия x0=0, υ0≠0);

4.зависит от расстояния (F=kx3, начальные условия x0=0, υ0=0).

35

Лекция 11

Колебания материальной точки

•Введение

Учение о колебаниях составляет основу ряда областей физики и техники. Хотя колебания, рассматриваемые в различных областях, например в механике, радиотехнике, акустике и др., отличаются друг от друга по своей физической при роде, основные законы этих колебаний во всех случаях остаются одними и теми же. Поэтому изучение механических колебаний является важным не только по той причине, что такие колебания очень часто имеют место в технике, но и вследствие того, что результаты, полученные при изучении механических колебаний, могут быть использованы для изучения и уяснения колебательных явлений в других областях.

•Свободные колебания

Начнем с изучения свободных колебаний точки без учета сил сопротивления. Рассмотрим точку М, движущуюся прямолинейно под действием одной только восста-

навливающей силы F, направленной к неподвиж-

ному центру О и пропорциональной расстоянию от этого центра. Проекция силы F на ось Ох будет

Fx = −cx

Сила F, как видим, стремится вернуть точку в равновесное положение О, где F=0; отсюда и наименование «восстанавливающая» сила. Примером, такой силы является сила упругости пружины.

Составляя дифференциальное уравнение движения в проекции на ось х, получим:

mx&&= −cx

Деля обе части равенства на m и вводя обозначение k2 = mc

приведем уравнение к виду

&&x + k2x = 0

Полученное линейное однородное дифференциальное уравнение представляет собой дифференциальное уравнение свободных колебаний при отсутствии сопротивления.

Решение этого уравнения второго порядка ищут в виде х=Сеnt. Что приводит к следующему характеристическому уравнению для определения n.

n2 + k2 = 0

Поскольку корни этого уравнения являются чисто мнимыми (n=±ik), то, как известно из теории дифференциальных уравнений, общее решение уравнения имеет вид

x =C1 cos kt +C2 sin kt

36

где С1 и С2 – постоянные интегрирования. Если вместо постоянных С1 и С2 ввести постоянные А и α, такие, что С1=A sinα и С2=A cosα

x = Asin (kt +α) (*)

Это другой вид решения уравнения свободных колебаний, в котором постоянными интегрирования являются А и α. Им удобнее пользоваться для общих исследований.

Скорость точки в рассматриваемом движении

υx = x& = Ak cos(kt +α)

Колебания, совершаемые точкой по закону (*), называются гармони-

ческими колебаниями.

Всем характеристикам этого движения можно дать наглядную кинематическую интерпретацию. Рассмотрим точку В, движущуюся равномерно по окружности радиуса А из положения В0, определяемого углом DOB0=α. Пусть постоянная угловая скорость вращения радиуса ОВ равна k. Тогда в произвольный момент времени t угол φ=DOB=α+kt и легко видеть, что проекция М точки В на диаметр, перпендикулярный DE, движется по закону x = Asin (kt +α), где x=ОM, т е. со-

вершает гармонические колебания.

Величина А, равная наибольшему отклонению точки М от центра колебаний О, называется амплитудой колебаний. Величина φ=DOB=α+kt называется фазой колебаний. Фаза φ в отличие от координаты х определяет не только положение точки в данный момент времени, но и направление ее последующего движения; например, из положения М при фазе, равной φ, точка движется вправо, а при фазе, равной (π-φ) – влево. Фазы, отличающиеся на 2π считаются одинаковыми.

Величина α определяет фазу начала, колебаний (начальная фаза). Например, при α=0 колебания происходят по закону синуса (начинаются от центра О со скоростью, направленной вправо), при φ=π/2 – по закону косинуса (начинаются из положения х=А сo скоростью υ0=0). Величина k, совпадающая с угловой скоростью вращения радиуса ОВ, называется кру-

говой частотой колебаний.

Промежуток времени Т (или τ), в течение которого точка совершает одно полное колебание, называется периодом колебаний. По истечении периода фаза изменяется на 2π. Следовательно, должно быть kT=2π, откуда

период

T = 2π/ k

Величина ν, обратная периоду и определяющая число колебаний, совершаемых за 1 с, называется частотой колебаний:

ν =1/T = k / 2π

37

Отсюда видно, что величина k отличается от ν только постоянным множителем 2π. В дальнейшем мы обычно для краткости частотой колебаний будем называть и величину k.

Найдем теперь значения постоянных интегрирования А, α, С1 и С2. Считая, что при t=0 х=х0 и υх=υ0, получим

x0 = Asin (α)

υ0 = Ak cos(α)

Свойства свободных колебаний. В заключение отметим следующие важные свойства свободных колебаний:

1)амплитуда и начальная фаза колебаний зависят от начальных (или краевых) условий;

2)частота k, а следовательно, и период Т колебаний от начальных условий не зависят и являются неизменными характеристиками данной колеблющейся системы.

•Влияние постоянной силы на свободные колебания точки

Пусть на точку М кроме восстанавливающей силы F, направленной к центру О (численно F=cOM), действует еще постоянная по модулю и направлению сила Р. В этом случае положением равновесия точки М, где си-

ла Р уравновешивается силой F, будет точка О1 отстоящая от О на расстоянии OО1=λст которое определяется равенством

cλñò = P λñò = P / c

Величину λст назовем статическим отклонением.

Примем О1 за начало координат и направим ось О1х в сторону действия силы Р. Тогда Fx = −c(x + λñò ) и Px = P . В результате, составляя урав-

Это уравнение совпадает с дифференциальным уравнением свободных гармонических колебаний. Отсюда заключаем, что постоянная сила

Р, не изменяя характера колебаний, смещает центр колебаний в сторону действия силы на величину статического отклонения λст.

38

Выражая период колебаний через λст получим

T = 2π mλñò

P

Таким образом, период колебаний пропорционален корню квадратному из статического отклонения λст.

•Свободные колебания при вязком сопротивлении

Рассмотрим, как влияет на свободные колебания сопротивление, создаваемое силой вязкого трения, т. е. силой, пропорциональной первой степени скорости: R=-μυ (знак минус указы-

вает, что сила R направлена противоположно υ). Пусть на точку при ее движении действуют восстанавливающая сила F и сила сопротивления R. Тогда дифференциальное уравнение движения будет

Легко проверить, что величины k и b и имеют одинаковые размерности (1/время); это позволяет, сравнивать их с друг с другом.

Полученное дифференциальное уравнение представляет собой диф-

ференциальное уравнение свободных колебаний при сопротивлении,

пропорциональном скорости. Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид

n2 + 2bn + k2 = 0 ,

а его корни

n = −b ± b2 − k2 = 0

1. Рассмотрим случай, когда k>b, т. е. когда сопротивление по срав-

нению с восстанавливающей силой мало. Введя обозначение

k1 = k2 −b2

получим, что n = −b ±ik1, т. е. корни характеристического уравнения явля-

ются комплексными.

Тогда общее решение дифференциального уравнения будет иметь следующий вид

x = e−bt (C1 cos k1t +C2 sin k1t )

или

x = Ae−bt sin (k1t +α)

Входящие в общее решение величины А, α, С1 и С2 являются постоянными интегрирования и определяются по начальным условиям.

39