ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 27.12.2024
Просмотров: 576
Скачиваний: 2
n |
n |
|||||
a) |
||||||
4n 1 |
||||||
n 1 |
||||||
Решение:
n |
n |
n |
||||||||
lim n a |
n |
= lim n |
= lim |
= |
||||||
4 n 1 |
4 n 1 |
|||||||||
n |
n |
n |
||||||||
В результате деления числителя и знаменателя на n получаем
lim |
1 |
= 14 < 1. |
||
4 |
1 |
|||
n |
||||
n |
Следовательно, ряд сходится по признаку Коши.
1 |
n |
n 2 |
||||||
б) |
||||||||
2 n |
n |
1 |
||||||
n 1 |
Решение:
lim n a |
= lim |
n |
1 |
n |
n2 |
= lim |
1 |
n |
n |
||||||
n |
= |
||||||||||||||
2n |
|||||||||||||||
n |
n |
n 1 |
n |
2 |
n 1 |
||||||||||
1 |
n |
n |
1 |
1 |
1 |
1 |
|||||||||||||
lim |
= = 1 |
= |
lim |
= |
< 1. |
||||||||||||||
2 |
2 |
n |
1 |
n |
2 |
e |
|||||||||||||
n |
n 1 |
n |
|||||||||||||||||
n |
|||||||||||||||||||
Следовательно, ряд сходится по признаку Коши.
в) sin |
n |
||||||||||||
2 n |
|||||||||||||
n 1 |
|||||||||||||
Решение: |
|||||||||||||
lim n an |
= lim n sin n |
= |
lim |
sin |
= sin 0 = 0 < 1, т. к. при |
||||||||
2 n |
2 n |
||||||||||||
n |
n |
n |
|||||||||||
n аргумент синуса |
0 . Следовательно, ряд сходится по признаку |
||||||||||||
2n |
|||||||||||||
Коши.
12
2. Теорема. Признак Даламбера.
Если для ряда с положительными членами n 1 an существует предел
lim |
a n 1 |
l , то если |
|
a n |
|||
n |
a)l < 1, ряд сходится
b)l > 1, ряд расходится
c)l = 1, вопрос о поведении ряда остается открытым.
Замечание.
Признак Даламбера удобно применять, если общий член содержит факториал и (или) n -ную степень.
Замечание. Известно, что n! 1 2 3 ... n ; (n+1)!=(n+1)n!
Пример2.
С помощью признака Даламбера исследовать сходимость рядов
n |
||
a) |
3 |
; б) |
n 1 |
n! |
n 1 |
2 n n ! |
3n n! |
|||
; в) |
. |
|||
( n 1 )! |
n 1 |
nn |
||
a) |
n |
||||||||||||||||
3 |
|||||||||||||||||
n 1 |
n! |
||||||||||||||||
Решение: |
|||||||||||||||||
a |
n |
3n |
, a |
n 1 |
3n 1 |
, поэтому |
|||||||||||
(n 1)! |
|||||||||||||||||
n! |
|||||||||||||||||
lim |
an 1 |
lim |
3 n 1 |
: |
3 n |
= lim |
3 n 1 n ! |
= |
|||||||||
an |
( n 1) |
n! |
3 n ( n 1 )! |
||||||||||||||
n |
n |
n |
|||||||||||||||
13 |
|||||||||||||||||
= lim |
3 n! |
= lim |
3 |
= |
3 |
= 0 < 1 |
|||
(n 1) n! |
n 1 |
||||||||
n |
n |
||||||||
Следовательно, ряд сходится по признаку Даламбера.
2 |
n |
n! |
||||||||||||||
б) |
||||||||||||||||
( n 1)! |
||||||||||||||||
n 1 |
||||||||||||||||
Решение: |
||||||||||||||||
Здесь a |
n |
= |
2n n! |
, |
a |
n 1 |
2n 1 |
(n 1)!, поэтому |
||||||||
(n 1)! |
(n 2)! |
|||||||||||||||
lim |
an 1 |
lim |
2 n 1 |
( n 1)! |
: |
2n |
n! |
= |
||||||||
( n 2 )! |
(n |
|||||||||||||||
a |
1)! |
|||||||||||||||
n |
n |
n |
||||||||||||||
= lim |
2 n 1 ( n 1 )! ( n 1 )! |
|||||||||||||||
2 n ( n 2 )! n ! |
||||||||||||||||
n |
||||||||||||||||
Известно, что (n+1)! = (n+1)n! и, соответственно, (n+2)! = (n+2)(n+1)!, поэто-
му
2 lim |
(n 1)! |
(n 1)n! |
2 |
lim |
n |
1 |
= |
= |
||||
(n 2)(n 1)! |
n! |
n |
2 |
|||||||||
n |
n |
|||||||||||
1 |
1 |
|||||
=2 lim |
n |
= 2 > 1 |
||||
1 |
2 |
|||||
n |
||||||
n |
||||||
Следовательно, ряд расходится по признаку Даламбера.
в) 3n n!
n 1 nn
Решение:
14
Здесь a |
= |
3n |
n! |
, a |
= |
3n (n 1)! |
, поэтому |
||
n |
3n |
n 1 |
(n 1)n 1 |
||||||
lim |
an 1 |
lim |
3n (n 1)! |
: |
3n n! |
= |
lim |
3 |
n |
1 ( n 1 )! n |
n |
= |
|||||||||||||||||
an |
(n 1)n 1 |
3n |
3 |
n |
n ! ( n 1 ) n 1 |
||||||||||||||||||||||||
n |
n |
n |
|||||||||||||||||||||||||||
=3 lim |
( n 1) n! |
n n |
= 3 lim |
( n |
1) n n |
= |
|||||||||||||||||||||||
n! |
( n 1 ) n 1 |
( n 1 ) n 1 |
|||||||||||||||||||||||||||
n |
n |
||||||||||||||||||||||||||||
n |
n |
n |
n |
||||||||||||||||||||||||||
=3 lim |
= 3 lim |
= 1 = |
|||||||||||||||||||||||||||
( n |
1) n 1 |
n 1 |
|||||||||||||||||||||||||||
n |
n |
||||||||||||||||||||||||||||
=3 lim |
1 |
= 3 1 > 1. |
|||||||||||||||||||||||||||
1 |
n |
||||||||||||||||||||||||||||
n |
e |
||||||||||||||||||||||||||||
1 |
n |
||||||||||||||||||||||||||||
Следовательно, ряд расходится по признаку Даламбера.
§ 4.3. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами. Интегральный признак сходимости
Теорема. Если функция f (x) непрерывная, положительная, невозрастающая
для х |
≥ a |
и начиная с некоторого |
номера N, |
an = f |
(n), то ряд |
|
a1 a2 |
a3 |
... an |
... an и |
|||
несобственный |
интеграл |
f ( x ) dx |
||||
n 1 |
1 |
|||||
одновременно сходятся или расходятся.
Пример.
Пользуясь интегральным признаком, исследовать на сходимость ряд
а) обобщенно-гармонический ряд |
1 |
; б) |
1 |
; |
|||
n 1 n |
n 1 |
(n 1)ln |
2 (n 1) |
||||
15
в) |
arctg n . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
n 1 |
1 n2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
а) обобщенно-гармонический ряд |
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
n 1 n |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
dx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Рассмотрим несобственный интеграл |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
1 |
при |
1, |
|||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
dx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
ln |
x |
при |
1, |
|||||||||||||||||||||||||||||||
1) |
dx |
b1 |
1 |
1 |
b1 |
1 |
||||||||||||||||||||||||||||
α > 1: |
= lim |
- |
= |
- |
lim |
= |
||||||||||||||||||||||||||||
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
x |
b |
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||
(при α > 1 и b→ ∞ выражение b1 |
0) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
dx |
1 |
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
2) |
α < 1: |
= lim |
b |
- |
= ∞ |
|||||||||||||||||||||||||||||
1 |
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
x |
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||
(при α < 1 и b→+ ∞ выражение b1 + ∞) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) |
dx |
= |
lim ( ln b ln1) = ln(+ ∞) = + ∞ |
|||||||||||||||||||||||||||||||
α =1: |
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
1, |
сходится |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
dx |
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Т.о, |
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
x |
1 |
, |
1, |
расходится |
|||||||||||||||||||||||||||||
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
На основании интегрального признака, заключаем, что ряд
16