Файл: Бахтадзе 3 курс.doc

Несколько сложнее обстоит дело с ненулевыми начальными условиями. Для того, чтобы получить операторную запись и в этом случае, вводят некоторый вспомогательный полином , определяемый начальными условиями (6), и операторное уравнение принимает вид:

В дискретном случае полагают формально p=q, где q – оператор единичного запаздывания: .

Метод описания систем в пространстве состояний

считают самым значимым в теории систем. Вообще говоря, пространство состояний, переменные состояния использовались со времен И. Ньютона. На определенном этапе более популярными у исследователей стали модели «вход-выход». Это объясняется большей наглядностью таких моделей и относительной легкостью их интерпретации. В основном это относится к частотным методам и передаточным функциям.

Возрождение интереса к методам описания систем в пространстве состояний связывают с именами Понтрягина, Беллмана, и – в первую очередь – Р. Калмана. Благодаря этому подходу стало возможным изучение таких свойств систем как управляемость, наблюдаемость, достижимость, восстанавливаемость.

Для детерминированной системы под состоянием системы понимают ее некоторую характеристику, содержащую всю информацию о ее прошлом (прошлом состоянии, прошлом воздействии извне), необходимую для однозначного определения ее настоящего и будущего.

По сути, состояние системы в момент - это набор сведений о поведении системы, которого вместе с некоторым возможным входным воздействием, заданным придостаточно для определения выходного сигнала припри любом.

Для систем, описываемых дифференциальными уравнениями первого порядка, начальное условие в момент можно считать состоянием системы в момент.

Рассмотрим в качестве примеров три типа состояний, важных для практического анализа систем.

Примеры состояний

Нулевое состояние – это состояние , обладающее следующим свойством:

Если система находится в нулевом состоянии

и входное воздействие при всех,

то выходной сигнал системы:

при всех.

Такое состояние необязательно единственное.

Установившееся состояние (если оно существует) есть такое единственное состояние, в которое система приходит при нулевом входном воздействии независмо от начального состояния.

Состояние равновесия – это некоторое состояние (не обязательно нулевое), в котором система остается при нулевом входном воздействии при всех .

Формально задать систему в пространстве состояний означает сформулировать общие правила построения системы (1) с описанием ее внутренней структуры, т.е. пространства состояний X и двух функций (переходной и выходной) по описанию ее внешнего поведения (2).

Основные свойства систем

В общем случае для систем введены две пары различных понятий: управляемость и достижимость, с одной стороны, и наблюдаемость и идентифицируемость, с другой.

Р.Калман предлагает различать задачи наблюдения – когда текущее состояние x(t) определяется по выходным величинам в будущем иидентификации – когда текущее состояние x(t) определяется по выходным величинам в прошлом. В некотором смысле понятие идентифицируемости состоянияx(t) естественным образом дополняет понятие управляемости, а понятие наблюдаемости – понятие достижимости. Поэтому обычно ограничиваются понятиями управляемости и наблюдаемости.

Определения управляемости и наблюдаемости

Система (1) называется полностью управляемой тогда и только тогда, когда для каждого состояния в фиксированный момент временинайдется входное воздействие, переводящее систему изв начало координат.

Система (1) называется полностью наблюдаемой тогда и только тогда, когда каждому значению в фиксированный момент времениможно поставить в соответствие,.

Описание в пространстве состояний линейных систем

Существует теорема [4], которая утверждает, что каждая конечномерная гладкая линейная динамическая система (1) с непрерывным временем описывается уравнениями:

(8)

Здесь и далее - начальное условие. Справедлива и обратная теорема.

Матрицы - матрицы коэффициентов, являющиеся в общем случае функциями времени.

Стационарные линейные системы

Далее рассмотрим более узкий класс, частный случай систем (8), когда матрицы не зависят от времени, т.е.

(9)

Такие линейные системы называются стационарными. Описание таких систем в пространстве состояний состоит в выборе четверки постоянных матриц по описанию и.

Иногда этим матрицам дают такие названия: - матрица собственной динамики системы;- матрица эффективностей управляющих воздействий;С – матрица наблюдения системы; - матрицы непосредственного воздействия на выход системы.

Обычно предполагается, что проектировщик знает лишь выход системы . В некоторых случаях, т.е. известно и состояние системы.

Относительно внешних воздействий могут делаться самые разнообразные предположения. Они могут отсутствовать или быть полностью известными; могут быть детерминированными и ограниченными, а могут быть случайными с заданными вероятностными свойствами. Более подробно классы возможных возмущений будут рассмотрены ниже.

Целью управления является выбор таких или, которые придают системе заданные свойства: устойчивость, оптимальность по определенному критерию качества и т.д.

Система, в которой управление отсутствует, может быть записана в виде:

(10)

Такие системы называются открытыми.

Отметим, что если в (9) управление уже выбрано (либо в форме- т.нпрограммное управление, открытая система с программным управлением, либо в виде - в форме обратной связи), то мы получаем уравнение типа (10), но:

с иным внешним возмущением, равным , еслилибо
с другой матрицей , т.е.- если.

В последнем случае говорят о замкнутой системе.

Решение открытой системы (10) может быть записано в явном виде:

(11)

Здесь в начальный момент времени, а- матричная экспонента.

Приведем некоторые вспомогательные понятия и положения.

Определение. Матричная экспонента. Поскольку функция непрерывна и дифференцируема, то она представима в виде ряда:

Приведем основные свойства этой функции.

.
Если , то. В частности, если, то.
Если матрицы икоммутируют, т.е, то. Обратное, вообще говоря, неверно. С другой стороны, еслидля всех, то.
. Поэтому, в частности, для любой матрицы.
.
.
Если матрица обратима, то, где- некоторая постоянная матрица. В частности,, и.