Файл: Бахтадзе 3 курс.doc

Посмотрим, как изменяется математическое ожидание и корреляционная функция случайного процесса. Пусть случайная функция X(t) имеет одномерную функцию плотности вероятности f(x,t). Если к случайной величине добавить неслучайную X(t)+ +(t), то закон распределения не изменится. Действительно, (t) означает, что при заданном t - (t) имеет вполне определенное значение. Поэтому при одном и том же t значения X(t) и X(t)+(t) будут иметь одну и ту же вероятность. От прибавления в момент t постоянной величины к X(t) закон распределения только лишь сместится по оси X.

f (y,t)=f[x+),t].

Рассмотрим выражение

Y(t)=X(t)+(t) (5) где Y- случайная величина, X - случайная величина,  - константа (при заданном t).

Найдем дифференциал от левой и правой частей (5): dy=dx (при фиксированном t).

Умножаем (5) на f(y,t)dy и интегрируем:

Так как пределы интегрирования , то

Отсюда следует: m_y=m_x+(t).

Итак, при прибавлении к случайной функции неслучайного слагаемого к ее математическому ожиданию прибавляется то же неслучайное слагаемое.

Корреляционную функцию случайной функции у(t) можно определить следующим образом:

Таким образом, при прибавлении неслучайного слагаемого к случайной функции корреляционная функция случайной функции не меняется.

5.5.2. Интегрирование случайной функции

Пусть

Запишем интеграл как предел суммы:

Применим к последнему выражению операцию математического ожидания:

Математическое ожидание интеграла от случайной функции равно интегралу от ее математического ожидания.

Определим корреляционную функцию Ky(t₁,t₂). По определению корреляционной функции

Перемножив последние выражения, получим:

Последнее выражение можно переписать в виде двойного интеграла:

Применив операцию математического ожидания и меняя ее в правой части с операцией интегрирования, получим:

что дает окончательно

Следовательно, чтобы получить корреляционную функцию интеграла от случайной функции, необходимо дважды проинтегрировать корреляционную функцию исходной случайной функции - первый раз по одному аргументу, затем по другому.

5.5.3. Дифференцирование случайной функции

Пусть

Найдем характеристики случайной функции Y(t): m_y(t) и K_y(t₁,t₂).

Запишем Y(t) как предел отношения

Применяя операцию математического ожидания, получим:

Таким образом, математическое ожидание производной от случайной функции равно производной от ее математического ожидания.

Будем искать корреляционную функцию K_y(t₁,t₂).

По определению

Подставим выражения для

Выражение в квадратных скобках представим в виде второй смешанной частной производной:

Так как математическое ожидание производной равно производной математического ожидания, получим:

Следовательно, чтобы найти корреляционную функцию производной случайного процесса, нужно дважды продифференцировать корреляционную функцию исходной случайной функции: сначала по одному аргументу, затем по другому.

5.5.4. Сложение случайных функций

Если на вход динамической системы поступает не одна случайная функция Х(t₁), а две или больше, то возникает задача сложения случайных функций. Точнее эту задачу можно определить как задачу определения характеристик суммы по характеристикам слагаемых.

Если складываемые случайные функции не коррелированны между собой, задача решается просто. В случае зависимости функций - слагаемых для решения задачи необходимо знать еще одну характеристику - взаимную корреляционную функцию.

Взаимной корреляционной функцией двух случайных функций Х(t) и Y(t) называется неслучайная функция двух аргументов t₁ и t₂, которая при каждой паре значений t₁ и t₂ равна корреляционному моменту соответствующих сечений случайной функции Х(t) и случайной функции Y(t):

Взаимная корреляционная функция, как и автокорреляционная функция, не изменяется при прибавлении к случайным функциям любых неслучайных слагаемых, а значит и при центрировании случайных функций. Из определения следует важное свойство взаимной корреляционной функции: К_xy(t₁,t₂)=K_yx(t₂,t₁).

Случайные функции Х(t) и Y(t) называются некоррелированными, если взаимная корреляционная функция равна нулю при всех значениях t₁, t₂. При решении практических задач о некоррелированности случайных функций судят в большинстве случаев не по равенству взаимной корреляционной функции нулю. Наоборот, взаимную корреляционную функцию полагают равной нулю, если на основании соображений о физических свойствах процессов их можно считать независимыми. Если известны математические ожидания и корреляционные функции двух случайных функций Х(t) и Y(t), а так же их взаимная корреляционная функция, то можно определить характеристики суммы этих двух случайных функций:

Z(t)=X(t)+Y(t).

В соответствии с теоремой сложения математических ожиданий

m_z(t)=m_x(t)+m_y(t),

т.е. математическое ожидание суммы двух случайных функций равно сумме их математических ожиданий. Найдем корреляционную функцию

Учитывая, что Z(t)=X(t)+Y(t), после подстановки получим:

Если случайные функции Х(t) и Y(t) не коррелированны, выражение Kz(t₁,t₂) принимает вид: Kz(t₁,t₂)=Kx(t₁,t₂)+Ky(t₁,t₂).

Корреляционная функция суммы двух не коррелированных случайных функций равна сумме их корреляционных функций.

5.6. Стационарные случайные процессы

Случайный процесс называется стационарным, если все плотности вероятности не зависят от изменения начала отсчета времени, т.е. если имеют место равенства

f₁(x,t)=f₁(x,t+);

f₂(x₁,t₁,x₂,t₂)=f(x₁,t+,x₂,t+)

Первое из уравнений означает, что функция f₁ вообще не зависит от t: f₁(x,t)=f₁(x). Второе уравнение означает, что f₂ остается неизменной, если разность t₂-t₁= постоянна:

f₂(x₁,t₁,x₂,t₂)=f(x₁,x₂,)

Итак, вероятностные характеристики стационарного случайного процесса не зависят от начала отсчета времени. Стационарный случайный процесс, это процесс, статистический характер которого неизменен во времени.

5.6.1. Эргодическая теорема

Стационарные случайные процессы обладают эргодическим свойством. Смысл его заключается в том, что все «средние», рассчитанные по множеству реализаций, равны соответствующим «средним», рассчитанным по времени для одной какой-нибудь реализации. Так, например,