Файл: Лекции (Теория вероятности).pdf

Нетрудно найти одномерную плотность распределения случайной величины X1:

Аналогичное выражение можно получить и для pX2 (y):

Независимые случайные величины

Определение 8.5 Случайные величины X и Y называют независимыми, если совместная функция распределения FX;Y (x;y) является произведением одномерных функций распределения

FX(x) и FY (y):

FX;Y (x;y) = FX(x)FY (y):

В противном случае случайные величины называют зависимыми.

Из определения 8.5 вытекает, что для независимых случайных величин X и Y события fX < xg и fY < yg являются независимыми. Можно показать, что независимыми являются и все события fx1 6 X < x2g и fy1 6 Y < y2g.

Теорема 8.3 Для того чтобы непрерывные случайные величины X и Y были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы для всех x и y pX;Y (x;y) = pX(x)pY (y):

Доказательство. Пусть случайные величины X и Y независимые. Тогда, согласно определению 5.5, FX;Y (x;y) = FX(x)FY (y): С учетом формул (8.1) и (5.2) имеем

Тем самым необходимость утверждения доказана.

Для доказательства достаточности следует воспользоваться определением 8.4 двумерной плотности распределения и определением 5.1.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 8.4 Если случайные величины X и Y независимыми, а функции '(t) и Ã(t) кусочнонепрерывны, то случайные величины '(X) и Ã(Y ) также независимы.

Пример 8.5 а. Рассмотрим двумерный вектор (X1;X2), совместная плотность распределения которого имеет вид (

p(x1;x2) =

1; x1 2 [0;1] и x2 2 [0;1]; 0; x1 62[0;1] или x2 62[0;1]:

Легко показать, что одномерные плотности распределения pX1 (x) и pX2 (x) случайных величин X1

Очевидно, что в данном случае совместная плотность распределения p(x1;x2) для всех x1, x2 является произведением одномерных плотностей pX1 (x1) и pX2 (x1). Значит, случайные величины X1 и X2 являются независимыми.

б. Также нетрудно показать, что случайные величины X1 и X2 из примера 8.4 являются зависимыми.

39

Теорема 8.5 Дискретные случайные величины X и Y являются независимыми тогда и только тогда, когда для всех возможных значений xi и yj

pi;j = PfX = xi;Y = yjg = PfX = xigPfY = yjg = pXi pYj : #

Пример 8.6 В схеме Бернулли с двумя испытаниями (см. пример 8.3)

PfX1 = 0;X2 = 0g = q2 = PfX1 = 0gPfX2 = 0g;PfX1 = 0;X2 = 1g = qp = PfX1 = 0gPfX2 = 1g; PfX1 = 1;X2 = 0g = pq = PfX1 = 1gPfX2 = 0g;PfX1 = 1;X2 = 1g = p2 = PfX1 = 1gPfX2 = 1g:

Таким образом, числа успехов X1 и X2 в первом и втором испытаниях представляют собой независимые случайные величины. Впрочем, в силу определения схемы Бернулли иного нельзя было ожидать. Убедитесь самостоятельно в том, что независимыми в совокупности являются случайные величины X1;:::;Xn числа успехов в первом, втором, . . . , n-м испытаниях по схеме Бернулли. #

Определение 8.6 Случайные величины X1, . . . , Xn, заданные на одном и том же вероятностном пространстве, называют независимыми в совокупности, если

FX1;:::;Xn (x1;:::;xn) = FX1 (x1):::FXn (xn):

Замечание 8.1 Теоремы 8.3 и 8.5 распространяются на любое число случайных величин.

Разумеется, как и для событий, из попарной независимости не следует независимость случайных величин в совокупности.

Пример 8.7 Свяжем с бросанием тетраэдра из примера 3.5 три случайные величины: X1; X2 и X3, каждая из которых может принимать значения 0 или 1, причем X1 = 1, если тетраэдр упал на грань, на которой присутствует цифра 1, и X1 = 0 в противном случае. Аналогично X2 характеризует наличие цифры 2, а X3 цифры 3. Покажем, что случайные величины X1; X2 и X3 будут попарно независимыми, но не являются независимыми в совокупности.

Действительно,

PfXi = 1g = PfXi = 0g = 12 ; i = 1;2;3;

и

PfXi = 1;Xj = 1g = 14 = PfXi = 1gPfXj = 1g; i =6 j;

т.е. Xi попарно независимы. Однако, например,

PfX1 = 1; X2 = 1; X3 = 1g = 14 =6 PfX1 = 1gPfX2 = 1gPfX3 = 1g = 18 ;

т.е. Xi, i = 1;2;3, не являются независимыми в совокупности.

40

Лекция 9

Функции от случайных величин

Скалярные функции от случайного векторного аргумента

Скалярную функцию от случайного векторного аргумента определяют так же, как и функцию от одномерной случайной величины. Для простоты изложения ограничимся рассмотрением функции от двух случайных аргументов, хотя приведенные ниже выводы можно полностью перенести на случай любого числа аргументов.

~

Рассмотрим на вероятностном пространстве (-;B;P) двумерный случайный вектор X = (X1;X2) и числовую функцию y = '(x1;x2) числовых аргументов x1 и x2.

Определение 9.1 Случайную величину

Y = '(X1;X2) = '(X1(!);X2(!))

называют функцией (скалярной) от двумерной случайной величины (двумерного случайного вектора) (X1;X2).

Ясно, что функция Y = '(X1;X2) от двумерной дискретной случайной величины (X1;X2) является дискретной случайной величиной, принимающей значения '(x1i;x2j) с вероятностью

pij = PfX1 = x1i; X2 = x2jg;

где x1i и x2j значения случайных величин X1 и X2 соответственно.

Чтобы построить ряд распределения дискретной случайной величины Y = '(X1;X2), необходимо, во-первых, не учитывать все те значения '(x1i;x2j), вероятность принять которые случайной величине Y равна нулю, а во-вторых, объединить в один столбец все одинаковые значения '(x1i;x2j) случайной величины Y , приписав этому столбцу суммарную вероятность.

Пример 9.1 Пусть Y случайная величина, равная суммарному числу успехов в двух испытаниях по схеме Бернулли, а Xi число успехов в i-м испытании, i = 1,2. Тогда

Y = X1 + X2 и '(x1;x2) = x1 + x2:

Поскольку Xi могут принимать только значения 0 или 1, то случайная величина Y может принимать четыре значения:

Y в двух испытаниях имеет биномиальное распределение.

#

В том случае, когда (X1;X2) двумерная непрерывная случайная величина с плотностью распределения pX1;X2 (x1;x2), функцию распределения случайной величины Y = '(X1;X2) можно найти

'(x1;x2)<y

41

где область интегрирования состоит из всех значений x1 и x2, для

которых '(x1;x2) < y.

Поясним геометрически вывод формулы (9.1). Пусть поверхность, определенная функцией y = '(x1;x2), имеет вид “чаши” (см. рис. 9.1) и y произвольное значение случайной величины Y = '(X1;X2). Проведем плоскость ¼, проходящую через точку (0;0;y) и ортогональную оси Oy. Обозначим через L линию пересечения плоскости ¼ и поверхности y = '(x1;x2); L0 ее проекцию на плоскость x1Ox2; D(y) ту часть плоскости x1Ox2, попадание в

которую случайного вектора (X1;X2) ведет к реализации события Рис. 9.1. fY < yg. Поскольку Y = '(X1;X2), то

D(y) = f(x1;x2) : '(x1;x2) < yg = f'(x1;x2) < yg:

События fY < yg и f(X1;X2) 2 D(y)g совпадают, и в соответствии со свойством 6 двумерной плотности распределения

ZZ

PfY < yg = Pf(X1;X2) 2 D(y)g = pX1;X2 (x1;x2)dx1dx2:

'(x1;x2)<y

Учитывая равенство PfY < yg = FY (y), приходим к формуле (9.1).

Пример 9.2 Пусть (X1;X2) двумерный случайный вектор, имеющий стандартное двумерное нормальное распределение (см. определение многомерного нормального распределения на с. 55).

Это распределение известно как распределение Релея.

Математическое ожидание функции от случайного вектора

Математическое ожидание MY функции Y = '(X1;X2) от дискретной двумерной случайной величины (X1;X2) можно найти, воспользовавшись формулой

X

MY = M'(X1;X2) = '(xi;yj)pij;

i;j

где pij = PfX1 = xi; X2 = yjg, а функции Y = '(X1;X2) от двумерной непрерывной случайной величины (X1; X2) формулой

где pX1;X2 (x;y) совместная плотность распределения случайных величин X1 и X2.

Свойства математического ожидания

Докажем теперь теорему о свойствах математического ожидания.

Теорема 9.1 Математическое ожидание удовлетворяет следующим свойствам.

1.Если случайная величина X принимает всего одно значение C с вероятностью единица (т.е., по сути дела, не является случайной величиной), то MC = C:

2.M(aX + b) = aMX + b, где a, b постоянные.

3.M(X1 + X2) = MX1 + MX2.

4.M(X1X2) = MX1 ¢ MX2 для независимых случайных величин X1 и X2.

42