Файл: Лекции (Теория вероятности).pdf

Пример 7.10 Дисперсия случайной величины X, распределенной по нормальному закону с параметрами m и ¾, имеет вид

Таким образом, дисперсия нормально распределенной случайной величины совпадает с квадратом второго параметра.

34

Лекция 8

Случайные векторы

Функция распределения случайного вектора

Определение 8.1 Совокупность случайных величин X1 = X1(!); :::; Xn = Xn(!); заданных на одном и том же вероятностном пространстве (-;B;P), называют многомерной (n-мерной)

случайной величиной, или n-мерным случайным вектором. При этом сами случайные величины X1;X2;:::;Xn называют координатами случайного вектора.

Пример 8.1 Отклонение точки разрыва снаряда от точки прицеливания при стрельбе по плоской цели можно задать двумерной случайной величиной (X;Y ), где X отклонение по дальности, а Y отклонение в боковом направлении.

При стрельбе по воздушной цели необходимо рассматривать трехмерный случайный вектор (X;Y ;Z), где X, Y , Z координаты отклонения точки разрыва зенитного снаряда от точки прицеливания в некоторой пространственной системе координат.

Пример 8.2 При испытании прибора на надежность совокупность внешних воздействий в некоторый момент времени можно описать случайным вектором (X;Y ;Z;:::). Здесь, например, X температура окружающей среды, Y атмосферное давление, Z амплитуда вибрации платформы, на которой установлен прибор и т.д. Размерность этого вектора зависит от количества учитываемых факторов и может быть достаточно большой. #

Cвойства многомерных случайных векторов мы будем в основном изучать на примере двумерного случайного вектора, делая, если это потребуется, пояснения для случайного вектора произвольной размерности.

Напомним, что рассмотрение одномерной случайной величины начиналось с обсуждения способа задания ее закона распределения. В частности, закон распределения одномерной случайной величины можно задать с помощью функции распределения. То же можно сказать и по отношению к n-мерному случайному вектору. Отметим, что в дальнейшем для пересечения событий fX1 < x1g;:::;fXn < xng вместо записи

fX1 < x1g \ ::: \ fXn < xng

будем использовать запись

fX1 < x1;:::;Xn < xng:

Определение 8.2 Функцией распределения (вероятностей)

F (x1;:::;xn) = FX1;:::;Xn (x1;:::;xn)

(n-мерного) случайного вектора (X1;:::;Xn) называют функцию, значение которой в точке (x1;:::;xn) 2 Rn равно вероятности совместного осуществления (пересечения) событий fX1 < x1g;:::;fXn < xng, т.е.

F (x1;:::;xn) = FX1;:::;Xn (x1;:::;xn) = PfX1 < x1;:::;Xn < xng:

Функцию распределения F (x1;:::;xn) называют также совместной n-мерной функцией распределения случайных величин X1; :::; Xn. Значение двумерной функции распределения в точке (a1;a2), согласно определению 8.2, представляет собой не что иное, как вероятность попадания точки с координатами (X1;X2) в квадрант с вершиной в точке (a1;a2).

35

Теорема 8.1 Двумерная функция распределения удовлетворяет следующим свойствам.

1.0 6 F (x1;x2) 6 1:

2.F (x1;x2) неубывающая функция по каждому из аргументов x1 и x2.

3.F (¡1;x2) = F (x1;¡1) = 0:

4.F (+1;+1) = 1.

5.Pfa16X1 < b1; a26X2 < b2g = F (b1; b2) ¡ F (b1; a2) ¡ F (a1; b2) + F (a1; a2).

6.F (x1;x2) непрерывная слева в любой точке (x1;x2) 2 R2 по каждому из аргументов x1 и

x2 функция.

7. FX1;X2 (x;+1) = FX1 (x), FX1;X2 (+1;x) = FX2 (x).

Доказательство. Утверждения 1 и 2 доказываются точно так же, как и в одномерном случае (см. теорему 5.1).

События fX1 < ¡1g и fX2 < ¡1g являются невозможными, а пересечение невозможного события с любым событием, как известно, также невозможное событие, вероятность которого равна нулю. Отсюда с учетом определения 8.2 вытекает утверждение 3.

Аналогично из того, что события fX1 < +1g и fX2 < +1g так же, как и их пересечение, являются достоверными, вероятность которых равна единице, вытекает утверждение 4.

Чтобы найти вероятность попадания двумерной случайной ве-

личины (X1;X2) в прямоугольник fa1 6 x1 < b1; a2 6 x2 < b2g (на рис. 8.1 заштрихован), сначала определим вероятность по-

падания в полуполосу fx1 < a1; a2 6 x2 < b2g (отмечена двойной штриховкой). Но эта вероятность представляет собой вероятность

попадания в квадрант fx1 < a1; x2 < b2g за вычетом вероятности попадания в квадрант fx1 <

a1; x2 < a2g, т.е. PfX1 < a1; a2 6 X2 < b2g = F (a1;b2) ¡ F (a1;a2): Аналогично, PfX1 < b1; a2 6 X2 < b2g = F (b1;b2) ¡ F (b1;a2):Теперь осталось заметить, что вероятность попадания в прямоугольник

fa1 6 x1 < b1; a2 6 x2 < b2g совпадает с вероятностью попадания в полуполосу fx1 < b1; a2 6 x2 < b2g из которой вычитается вероятность попадания в полуполосу fx1 < a1; a2 6 x2 < b2g, откуда следует

утверждение 5.

Подобно одномерному случаю доказывается и утверждение 6.

Наконец, событие fX2 < +1g является достоверным, поэтому fX1 < x1g \ fX2 < +1g = fX1 < x1g: Аналогично fX1 < +1g \ fX2 < x2g = fX2 < x2g: Отсюда приходим к утверждению 7, которое устанавливает естественную связь между двумерной функцией распределения FX1;X2 случайного вектора (X1;X2) и функциями FX1 и FX2 , которые называют одномерными (говорят также

частными, или маргинальными) функциями распределения случайных величин X1 и X2.

Дискретные двумерные случайные векторы

Определение 8.3 Двумерную случайную величину (X;Y ) называют дискретной, если каждая из случайных величин X и Y является дискретной.

Так же как и в одномерном случае, распределение двумерной дискретной случайной величины

числены все возможные значения y1, . . . , yj, . . . , ym случайной

величины Y , а в левом столбце значения x1, . . . , xi, . . . , xn случайной величины X. На пересечении столбца “yj” со строкой “xi” находится вероятность pij = PfX = xi;Y = yjg совместного осуществления событий fX = xig и fY = yjg:

В этой таблице обычно добавляют еще одну строку “PY ” и столбец “PX”.

На пересечении столбца “PX” со строкой “xi” записывают число pXi = pi1 + ::: + pim: Но pXi представляет собой не что иное, как вероятность того, что случайная величина X примет значе-

ние xi, т.е. pXi = PfX = xig: Таким образом, первый и последний столбцы таблицы дают нам ряд распределения случайной величины X.

Аналогично, в последней строке “PY ” помещены значения pY j = p1j + ::: + pnj; а первая и последняя строки дают ряд распределения случайной величины Y . Используя таблицу 8.1, нетрудно

36

определить совместную функцию распределения FX;Y (x;y). Ясно, что для этого необходимо просуммировать pij по всем тем значениям i и j, для которых xi < x; yj < y, т.е.

и на пересечении столбца “0” со строкой “0” нужно записать q2 (табл. 8.2). Далее, X1 = 1 и X2 = 0, если в первом испытании произошел успех, а во втором неудача, и, значит,

PfX1 = 1;X2 = 0g = pq:

Аналогично заполняем второй столбец:

PfX1 = 0;X2 = 1g = qp; PfX1 = 1;X2 = 1g = p2:

Наконец, на пересечении столбца “PX1 ” и строки “0” должно стоять

PfX1 = 0g = q2 + pq = q(q + p) = q;

а на пересечении столбца “PX1 ” и строки “1”

PfX1 = 1g = pq + p2 = p(p + q) = p:

Построим теперь совместную функцию распределения случайных величин X1 и X2:

F (x1;x2) = PfX1 < x1;X2 < x2g:

Поскольку при x1 6 0 или x2 6 0 нет ни одного элементарного исхода !, для которого или X2(!) < x2, то для таких x1 и x2 событие fX1 < x1;X2 < x2g невозможное, и, значит F (x1;x2) = 0 при x1 6 0

Наконец, если x1 > 1 и x2 > 1, то событие fX1 < x1; X2 < x2g достоверно, и, следовательно,

F (x1;x2) = 1:

Непрерывные случайные векторы

Определение 8.4 Непрерывной двумерной случайной величиной (X;Y ) называют такую двумерную случайную величину (X;Y ), совместную функцию распределения которой F (x1;x2) = PfX < x1;Y < x2g можно представить в виде сходящегося несобственного интеграла:

Zx1 Zx2 Zx1 Zx2 Zx2 Zx1

F (x1;x2) = p(y1;y2)dy1 dy2 = dy1 p(y1;y2)dy2 = dy2 p(y1;y2)dy1:

¡1¡1 ¡1 ¡1 ¡1 ¡1

Функцию p(x1;x2) = pX;Y (x1;x2) называют совместной (двумерной) плотностью распределения случайных величин X и Y , или плотностью распределения случайного вектора (X;Y ). Так же как и в одномерном случае, будем предполагать, что p(x1;x2) непрерывная (или непрерывная за исключением отдельных точек или линий) функция по обоим аргументам. Тогда в соответствии с определением непрерывной случайной величины и теоремой о дифференцировании

37

интеграла с переменным верхним пределом совместная плотность распределения представляет собой (в точках ее непрерывности) вторую смешанную производную совместной функции распределения:

Заметим, что аналогичный смысл имеет совместная (n-мерная) плотность распределения случайных величин X1;:::;Xn, или плотность распределения случайного вектора

(X1;:::;Xn):

p(x1;:::;xn) = @nF (x1;:::;xn):

Теорема 8.2 Двумерная плотность распределения обладает следующими свойствами.

1. p(x1;x2) > 0.

Zb1 Zb2

2. Pfa1 < X < b1;a2 < Y < b2g = dx1 p(x1;x2)dx2:

a1 a2

Z+1Z+1

3.p(x1;x2)dx1dx2 = 1:

¡1¡1

Доказательство. Свойства 1 5 аналогичны свойствам одномерной плотности распределения. Свойство 6 является обобщением свойства 2.

Докажем утверждения 7 и 8.

Из свойства 7 двумерной функции распределения и определения 8.4 двумерной плотности распределения вытекает:

откуда, дифференцируя интегралы по переменному верхнему пределу и учитывая формулу (5.2), получаем утверждения 7 и 8 для одномерных плотностей распределения pX(x) и pY (y) случайных величин X и Y .

Пример 8.4 Рассмотрим двумерную случайную величину, плотность распределения которой име-

Для определения коэффициента A воспользуемся свойством 3 двумерной плотности распределения. Поскольку p(x1;x2) = 0 при x21 + x22 > R2, то

38