Файл: Лекции (Теория вероятности).pdf

Лекция 7

Основные законы распределения случайных величин

Биномиальное распределение

PfX = ig = Pn(i) = Cni piqn¡i;i = 0;n;

или, что тоже самое, рядом распределения, представленным в таблице 7.1, где 0 < p; q < 1 и p+q = 1.

Проверим корректность определения биномиального распределения. Действительно, Pn(i) > 0 и

Пример 7.1 Найдем математическое ожидание случайной величины X, распределенной по биномиальному закону (число успехов в n испытаниях по схеме Бернулли с вероятностью успеха p):

Биномиальное распределение является не чем иным, как распределением числа успехов X в n испытаниях по схеме Бернулли с вероятностью успеха p и неудачи q = 1 ¡ p (cм. 4).

Пример 7.2 Пусть X число успехов в n испытаниях по схеме Бернулли. Дисперсию X можно подсчитать так же, как в примере 7.1 было подсчитано математическое ожидание, а именно непосредственно воспользоваться определением 6.3 дисперсии. Однако мы поступим другим образом. Для этого представим X в виде суммы X = X1 + ::: + Xn, где Xi число успехов в i-ом испытании. Дисперсия каждого слагаемого равна:

DXi = (0 ¡ MXi)2q + (1 ¡ MXi)2p = (¡p)2q + (1 ¡ p)2p = p2q + q2p = pq(p + q) = pq:

Позднее (см. теор. 9.2) будет доказано, что дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий каждого слагаемого. Учитывая, что случайные величины Xi являются независимыми, получаем

DX = DX1 + ::: + DXn = npq:

Распределение Пуассона

Дискретная случайная величина X распределена по закону Пуассона, если она принимает целые неотрицательные значения с вероятностями

30

Распределение Пуассона также называют законом редких событий, поскольку оно всегда проявляется там, где производится большое число испытаний, в каждом из которых с малой вероятностью происходит “редкое” событие. В соответствии с законом Пуассона распределены, например, число вызовов, поступивших в течение суток на телефонную станцию; число метеоритов, упавших в определенном районе; число распавшихся частиц при радиоактивном распаде вещества.

Пример 7.3 Пусть случайная величина X имеет распределение Пуассона. Тогда

Пример 7.4 Найдем дисперсию случайной величины X, распределенной по закону Пуассона. Для этого воспользуемся свойством 3 дисперсии. Математическое ожидание MX = ¸ было найдено в примере 7.3. Определим второй момент:

и, значит, дисперсия X, так же как и математическое ожидание, совпадает с параметром ¸.

Геометрическое распределение

Снова рассмотрим схему Бернулли. Пусть X число испытаний, которое необходимо провести, прежде чем появится первый успех. Тогда X дискретная случайная величина, принимаю-

когда в первом испытании произошла неудача, а во втором Таблица 7.3.

успех. Но вероятность такого события (см. теорему 4.3), равна qp, т.е. PfX = 1g = qp: Аналогично X = 2, если в первых двух испытаниях произошли неудачи, а в третьем успех, и, значит, PfX = 2g = qqp: Продолжая эту процедуру, получаем PfX = ig = pqi; i = 0; 1;::: Таким образом, случайная величина X имеет ряд распределения, представленный в таблице.

Случайную величину с таким рядом распределения называют распределенной согласно геометрическому закону.

Правильность составления таблицы вытекает из равенства

31

Равномерное распределение

Случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке [a; b], если ее плотность распределения p(x) и функция распределения F (x) равны

Графики плотности распределения p(x) и функции распределения F (x) приведены на рис. 7.1. Вероятность попадания равномерно распределенной случайной величины в интервал (x1; x2), лежащий внутри отрезка [a; b], рав-

на F (x2) ¡F (x1) = (x2 ¡x1)=(b ¡a), т.е. пропорциональна длине этого интервала. Таким обра-

зом, равномерное распределение реализует схе- Рис. 7.1. му геометрической вероятности при бросании точки на отрезок [a; b].

Пример 7.6 Найдем математическое ожидание равномерно распределенной на отрезке [a; b] случайной величины X. Поскольку в этом случае p(x) = 0 при x < a и x > b, то

Как и следовало ожидать, MX совпадает с серединой отрезка [a; b].

Пример 7.7 Дисперсия равномерно распределенной на отрезке [a; b] случайной величины X определяется формулой

Экспоненциальное распределение

Случайная величина распределена по экспоненциальному (показательному) закону, если она имеет плотность распределения p(x) и функцию распределения F (x)

Пример 7.8 Найдем математическое ожидание и дисперсию экспоненциально распределенной случайной величины X. Применяя формулу интегрирования по частям, получим

32

Нормальное распределение

Случайная величина распределена по нормальному (или гауссову) закону, или имеет нормальное (гауссово) распределение, если ее плотность

Нормальное распределение зависит от двух параметров: m и ¾. Всюду в далее запись X » N(¹;¾2) будет означать, что X нормальная случайная величина с параметрами ¹ и ¾.

Графики плотности 'm;¾(x) и функции

нормального распределения для различных значений m и ¾ приведены на рис. 7.3. Как следует из этих рисунков, па-

раметр m определяет положение “центра симметрии” плотности нормального распределения, т.е. график плотности нормального распределения симметричен относительно прямой x = m, а ¾ разброс значений случайной вели-

чины относительно центра симметрии. Если m = 0 и ¾ = 1, то такой нормальный закон называют стандартным и его функцию распределения обозначают ©(x), а плотность распределения

'(x). Z

Как известно из курса математического анализа, интеграл e¡x2=2dx не может быть выра-

жен через элементарные функции. Поэтому во всех справочниках и в большинстве учебников по теории вероятностей приведены таблицы значений функции стандартного нормального распределения. Покажем, как, используя эту таблицу, найти вероятность попадания случайной величины, распределенной по нормальному закону с произвольными параметрами m и ¾, в интервал (a; b).

В соответствии со свойством 2 плотности распределения (см. теорему 5.2) вероятность попадания случайной величины X, распределенной по нормальному закону с параметрами m и ¾, в интервал (a; b) задается формулой

Проводя замену x = (y ¡ m)=¾, этот интеграл можно записать в виде

Таким образом, окончательно получаем

µb ¡ m¶ µa ¡ m¶

Pfa < X < bg = © ¡ © : (7.1)

¾ ¾

Пример 7.9 Найдем математическое ожидание случайной величины X, распределенной по нормальному закону c параметрами m и ¾:

Первый интеграл равен нулю в силу нечетности подынтегральной функции, а второй равен единице как интеграл от стандартной нормальной плотности. Таким образом, MX = m; т. е. параметр m имеет смысл математического ожидания случайной величины X.

33